由“木尺断口”问题浅谈数学模型在教学中的渗透

汪赫

数学家布克说过：“模型化是数学中的一个基本概念，它处于所有数学应用之心脏，也处于某些最抽象的纯数学的核心之中”。而所谓“模型化”就是将原本复杂的、具有现实背景的或多样化表现形式的问题本质化、简洁化、一般化，并最终以数学符号、语言、关系式等形式表达出来。数学模型思想在全日制义务教育阶段的总体要求是“渗透”，那么考虑到初中生的认识能力和理解水平，怎样在平时的教学中渗透数学模型思想呢？《数学课程标准》倡导以“问题情境-建立模型-解释、应用与拓展（反思）”作为中小学数学课程的一种基本表述模式，这就需要教师在平时的教学中善于发现和利用教材中常见的数学模型以及平时例题、练习中出现的数学模型，培养学生模型化思维，简化解题过程，拓宽解题思路。

现我以浙教版初一下学期第一章《平行线》常常出现的“木尺断口”问题为例。

何为“木尺断口”问题？如图1所示，是一根木尺折断后的情形，由于木尺折断后的断口一般是参差不齐的，我们不妨把这类平行线的问题称为“木尺断口”问题。

一、基本图形和基本方法

（1）基本图形：

①基本图形“凹”型，如图2，已知AB∥CD，求∠B，∠E，∠D三个角之间的关系。

②基本图形“凸”型，如图3，已知AB∥CD，求∠B，∠E，∠D三个角之间的关系。

（2）基本方法：得到结论的方法有很多，本题也是进行初步辅助线教学的典例，但是最常见也是学生最容易想到的方法之一就是过点E做AB或者CD的平行线，从而利用“两直线平行，内错角相等”得到结论。

（3）基本结论：

①基本圖形“凹”型：∠E=∠B+∠D。

②基本图形“凸”型：∠E+∠B+∠D=360°。

二、应用基本图形和基本方法

（1）基本图形的应用

例1：如图4，已知直线l1∥l2，将一把含30°角的直角三角尺按如图所示的位置放置，∠1=25°，则∠2等于（B）

【评析】显然本题也可以由左侧的基本图形“凸”型解决。通过此题，大大地缩短了学生的思维长度。

（2）基本方法的应用

例2：如图6，已知AB∥CD。

（1）请说明∠B+∠G+∠D=∠E+∠F的理由。

（2）若将图6变形成图7，上面的关系式是否仍成立？写出你的结论并说明理由。

【分析】图6明显是由多个基本图形复合而成的图形，可以借助于基本图形中的基本方法轻松解决问题，图7的图形与图6的图形有较大的相似度，可以模仿解决图6的方法解决图7。

【得出结论】由上题可引导学生总结出进一步的模型结论：类似的“木尺断口”问题中，所有“凸”角的和等于所有“凹”角的和。

通过以上例子的分析和解答，应在教学中注意例题和练习中数学模型的发现、推广和应用。不仅注意模型本身的推广，也要注意方法的推广，让学生初步建立模型思想，明白数学中的概念、原理、法则、定理等实际上是所研究对象经抽象之后而成的一种符号表达，是对所研究对象的模拟与模型化。数学其实也是一种模型的科学，数学研究的过程就是模型化的过程。

参考文献：

1.李明振.数学建模方法研究.南京：江苏教育出版社，2014.

2.李善良.初中数学教学实践与反思.长春：东北师范大学出版社，2012.

3.傅佑珊.平面几何基本图形的方法与教学实践北京教育学院学报，1997.

（作者单位：浙江省忂州华茂外国语学校）