“不等式恒成立问题”的教学再设计

洪慧琼

高三数学的两种主要课型是复习课和讲评课，解题教学是其重点，单纯的求解应转变为解法的拟定及具体实施，把能力培养置于首位。于是，笔者对一节“不等式的恒成立问题”的教学设计进行了反思及再设计，并在后续教学中进行了尝试，取得了预期的效果。

一、教学引入——预设练习，暴露问题

1.设计意图

考虑到学生已经具备一定的解答问题的知识方法，只是尚未系统化。因此，在新的教学设计中，将这节解题课转变成一节习题课，试图通过对学生前期解答的分析，来了解学生的解题思路，对学生解题中暴露的问题进行整理分析，增加学生的亲切感，更能引起重视，帮助学生由最近发展区靠近解题要点。

2.教学过程

学生分析预习作业的错误原因，交流解题经验：

（1）关于x的不等式（a2+4a-5）x2-2（a+5）x+3>0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是________。

3.说明与反思

高三教学中，新课较少，习题课增加。本课即为一节有主题的习题课。然而一部分“懂而不会”的高三学生，对习题课极不重视。为解决这一问题，教师需在“备学生”上多下工夫。本课设计以学生的错误引入，让学生感受到内容的重要性。其中，作业（1）旨在巩固学生对常规问题的解决及分类讨论的能力，让学生在自我反思中发现二次项系数讨论的重要性；作业（2）则是在学生的解答中整理多种解法，一方面将解法归纳，另一方面通过解法对比体现解题过程中观察及思考的重要性。

二、教学重点

（一）重点突破，以“理”服人

1.设计意图

高三学生，由于已经学会了高中阶段的数学知识，一些新的知识方法常常会对其认知结构产生冲击，导致对新内容的吸收较为困难。所以切不能将教学内容强加于学生，那样学生从根本上不能掌握，也使学生对教师失去了信任。苏霍姆林斯基曾说：“在人们的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望感到自己是一个发明者、研究者、探索者，而在孩子的精神世界中，这种需要则特别强烈。”因此，本课在教学重点环节的处理，改变了过去教师传授讲解的生硬方式，而是创设环境，给予学生表达自己想法的空间，平等地与学生交流，让学生自然过渡到新方法的运用中。

2.教学过程

例1 已知关于x的不等式（m-m2）4x+2x+1≥0在x∈（-2，-1）上恒成立，求实数m的取值范围。

教师：请问这里要分几种情况讨论？请你把需要讨论的情形逐一画在黑板上。

学生：（在黑板上画出了开口向上的三种情况及开口向下的一种情况。）

教师：很好，需要分成四种情况讨论。请问你是仍要将此方法进行到底，还是愿意再尝试一下第二种解法？

教师：我们发现解法二明显简便，那么在遇到这类问题时应如何判断解法的选择呢？

学生：这要具体情况具体分析了。比如定义域为R，我会先考虑解法一；定义域为给定区间，讨论起来比较复杂，就试试解法二。

3.说明与反思

此例的求解思路是本课的重点，希望通过对该问题的剖析，使学生学会在“弄清问题”之后，如何有效“拟定计划”。当学生的第一反应是选择较为复杂的方法时，万万不能随意打断，将预设的想法强加于学生。《新课标》中指出：“数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理。”教师不能帮学生“拟定计划”，而应教会学生“拟定计划”的能力。所以，用了“仍要......还是愿意......”这样的语言，给学生空间去探索发现，希望做到以“理”服人，使学生自然地认同解法二在此处的优势。试图借上述例子中最后一个问题设计，培养学生解题后“回顾反思”的习惯。解题者通过回顾所完成的解答，重新考虑和检查结果及思路，巩固知识并培养分析能力。

（二）设计变式，突破难点

1.设计意图

变式设计的目的，一是提高教学效率，不增加同类型的重复解题；二是凸显“恒成立”与“能成立”问题的区别，迫使学生对难点进行思考。此外，变式中精心设计数据，使解题中亦蕴含另一难点，即等号的取舍问题。力求通过一个变式，实现两个难点的共同突破，让变式的设置更有效。

2.教学过程

例1的变式：若关于x的不等式（m-m2）4x+2x+1≥0在0∈（-2，-1）有解，求实数m的取值范围。

3.说明与反思

该题是本节课的难点。教学中，学生对于“恒成立”感觉比较直观，理解问题不大。而“能成立”，一方面容易与“恒成立”混淆，另一方面较为抽象，学生往往处理不好。所以，教师在此处的处理不能急躁。设计中采用变式，节省难点前的变形环节，给学生时间去消化难点，并充分考虑另一难点——等号问题。

笔者在这节高三解题课的教学中，转变了原有的教学方式。虽然课堂上没能完成思考题，使得本课留下了遗憾，但这样费时费力地在“变量难以分离”问题中与各层次学生进行思维上的交流与碰撞，教学效果中的能力培养证明，这样做是值得的。一位诗人曾说，“幸福的日子使人聪明”。教师的解题教学要有意识地营造使学生不断进取而取得思维成就的环境，让学生不断在思维成功的幸福中取得良性循环，越学越想学，越学越灵活，给学生以“渔”的技能，把能力培养真正落到实处。无论是哪个阶段的孩子，需要的都是一个自由和谐、富有个性、独立自主的学习生态环境，只有在这样的学习环境中，学生才能更高效地吸收知识，得到健康的成长。

（作者单位：华东师范大学第一附属中学）endprint

高三数学的两种主要课型是复习课和讲评课，解题教学是其重点，单纯的求解应转变为解法的拟定及具体实施，把能力培养置于首位。于是，笔者对一节“不等式的恒成立问题”的教学设计进行了反思及再设计，并在后续教学中进行了尝试，取得了预期的效果。

一、教学引入——预设练习，暴露问题

1.设计意图

考虑到学生已经具备一定的解答问题的知识方法，只是尚未系统化。因此，在新的教学设计中，将这节解题课转变成一节习题课，试图通过对学生前期解答的分析，来了解学生的解题思路，对学生解题中暴露的问题进行整理分析，增加学生的亲切感，更能引起重视，帮助学生由最近发展区靠近解题要点。

2.教学过程

学生分析预习作业的错误原因，交流解题经验：

（1）关于x的不等式（a2+4a-5）x2-2（a+5）x+3>0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是________。

3.说明与反思

高三教学中，新课较少，习题课增加。本课即为一节有主题的习题课。然而一部分“懂而不会”的高三学生，对习题课极不重视。为解决这一问题，教师需在“备学生”上多下工夫。本课设计以学生的错误引入，让学生感受到内容的重要性。其中，作业（1）旨在巩固学生对常规问题的解决及分类讨论的能力，让学生在自我反思中发现二次项系数讨论的重要性；作业（2）则是在学生的解答中整理多种解法，一方面将解法归纳，另一方面通过解法对比体现解题过程中观察及思考的重要性。

二、教学重点

（一）重点突破，以“理”服人

1.设计意图

高三学生，由于已经学会了高中阶段的数学知识，一些新的知识方法常常会对其认知结构产生冲击，导致对新内容的吸收较为困难。所以切不能将教学内容强加于学生，那样学生从根本上不能掌握，也使学生对教师失去了信任。苏霍姆林斯基曾说：“在人们的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望感到自己是一个发明者、研究者、探索者，而在孩子的精神世界中，这种需要则特别强烈。”因此，本课在教学重点环节的处理，改变了过去教师传授讲解的生硬方式，而是创设环境，给予学生表达自己想法的空间，平等地与学生交流，让学生自然过渡到新方法的运用中。

2.教学过程

例1 已知关于x的不等式（m-m2）4x+2x+1≥0在x∈（-2，-1）上恒成立，求实数m的取值范围。

教师：请问这里要分几种情况讨论？请你把需要讨论的情形逐一画在黑板上。

学生：（在黑板上画出了开口向上的三种情况及开口向下的一种情况。）

教师：很好，需要分成四种情况讨论。请问你是仍要将此方法进行到底，还是愿意再尝试一下第二种解法？

教师：我们发现解法二明显简便，那么在遇到这类问题时应如何判断解法的选择呢？

学生：这要具体情况具体分析了。比如定义域为R，我会先考虑解法一；定义域为给定区间，讨论起来比较复杂，就试试解法二。

3.说明与反思

此例的求解思路是本课的重点，希望通过对该问题的剖析，使学生学会在“弄清问题”之后，如何有效“拟定计划”。当学生的第一反应是选择较为复杂的方法时，万万不能随意打断，将预设的想法强加于学生。《新课标》中指出：“数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理。”教师不能帮学生“拟定计划”，而应教会学生“拟定计划”的能力。所以，用了“仍要......还是愿意......”这样的语言，给学生空间去探索发现，希望做到以“理”服人，使学生自然地认同解法二在此处的优势。试图借上述例子中最后一个问题设计，培养学生解题后“回顾反思”的习惯。解题者通过回顾所完成的解答，重新考虑和检查结果及思路，巩固知识并培养分析能力。

（二）设计变式，突破难点

1.设计意图

变式设计的目的，一是提高教学效率，不增加同类型的重复解题；二是凸显“恒成立”与“能成立”问题的区别，迫使学生对难点进行思考。此外，变式中精心设计数据，使解题中亦蕴含另一难点，即等号的取舍问题。力求通过一个变式，实现两个难点的共同突破，让变式的设置更有效。

2.教学过程

例1的变式：若关于x的不等式（m-m2）4x+2x+1≥0在0∈（-2，-1）有解，求实数m的取值范围。

3.说明与反思

该题是本节课的难点。教学中，学生对于“恒成立”感觉比较直观，理解问题不大。而“能成立”，一方面容易与“恒成立”混淆，另一方面较为抽象，学生往往处理不好。所以，教师在此处的处理不能急躁。设计中采用变式，节省难点前的变形环节，给学生时间去消化难点，并充分考虑另一难点——等号问题。

笔者在这节高三解题课的教学中，转变了原有的教学方式。虽然课堂上没能完成思考题，使得本课留下了遗憾，但这样费时费力地在“变量难以分离”问题中与各层次学生进行思维上的交流与碰撞，教学效果中的能力培养证明，这样做是值得的。一位诗人曾说，“幸福的日子使人聪明”。教师的解题教学要有意识地营造使学生不断进取而取得思维成就的环境，让学生不断在思维成功的幸福中取得良性循环，越学越想学，越学越灵活，给学生以“渔”的技能，把能力培养真正落到实处。无论是哪个阶段的孩子，需要的都是一个自由和谐、富有个性、独立自主的学习生态环境，只有在这样的学习环境中，学生才能更高效地吸收知识，得到健康的成长。

（作者单位：华东师范大学第一附属中学）endprint

高三数学的两种主要课型是复习课和讲评课，解题教学是其重点，单纯的求解应转变为解法的拟定及具体实施，把能力培养置于首位。于是，笔者对一节“不等式的恒成立问题”的教学设计进行了反思及再设计，并在后续教学中进行了尝试，取得了预期的效果。

一、教学引入——预设练习，暴露问题

1.设计意图

考虑到学生已经具备一定的解答问题的知识方法，只是尚未系统化。因此，在新的教学设计中，将这节解题课转变成一节习题课，试图通过对学生前期解答的分析，来了解学生的解题思路，对学生解题中暴露的问题进行整理分析，增加学生的亲切感，更能引起重视，帮助学生由最近发展区靠近解题要点。

2.教学过程

学生分析预习作业的错误原因，交流解题经验：

（1）关于x的不等式（a2+4a-5）x2-2（a+5）x+3>0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是________。

3.说明与反思

高三教学中，新课较少，习题课增加。本课即为一节有主题的习题课。然而一部分“懂而不会”的高三学生，对习题课极不重视。为解决这一问题，教师需在“备学生”上多下工夫。本课设计以学生的错误引入，让学生感受到内容的重要性。其中，作业（1）旨在巩固学生对常规问题的解决及分类讨论的能力，让学生在自我反思中发现二次项系数讨论的重要性；作业（2）则是在学生的解答中整理多种解法，一方面将解法归纳，另一方面通过解法对比体现解题过程中观察及思考的重要性。

二、教学重点

（一）重点突破，以“理”服人

1.设计意图

高三学生，由于已经学会了高中阶段的数学知识，一些新的知识方法常常会对其认知结构产生冲击，导致对新内容的吸收较为困难。所以切不能将教学内容强加于学生，那样学生从根本上不能掌握，也使学生对教师失去了信任。苏霍姆林斯基曾说：“在人们的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望感到自己是一个发明者、研究者、探索者，而在孩子的精神世界中，这种需要则特别强烈。”因此，本课在教学重点环节的处理，改变了过去教师传授讲解的生硬方式，而是创设环境，给予学生表达自己想法的空间，平等地与学生交流，让学生自然过渡到新方法的运用中。

2.教学过程

例1 已知关于x的不等式（m-m2）4x+2x+1≥0在x∈（-2，-1）上恒成立，求实数m的取值范围。

教师：请问这里要分几种情况讨论？请你把需要讨论的情形逐一画在黑板上。

学生：（在黑板上画出了开口向上的三种情况及开口向下的一种情况。）

教师：很好，需要分成四种情况讨论。请问你是仍要将此方法进行到底，还是愿意再尝试一下第二种解法？

教师：我们发现解法二明显简便，那么在遇到这类问题时应如何判断解法的选择呢？

学生：这要具体情况具体分析了。比如定义域为R，我会先考虑解法一；定义域为给定区间，讨论起来比较复杂，就试试解法二。

3.说明与反思

此例的求解思路是本课的重点，希望通过对该问题的剖析，使学生学会在“弄清问题”之后，如何有效“拟定计划”。当学生的第一反应是选择较为复杂的方法时，万万不能随意打断，将预设的想法强加于学生。《新课标》中指出：“数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理。”教师不能帮学生“拟定计划”，而应教会学生“拟定计划”的能力。所以，用了“仍要......还是愿意......”这样的语言，给学生空间去探索发现，希望做到以“理”服人，使学生自然地认同解法二在此处的优势。试图借上述例子中最后一个问题设计，培养学生解题后“回顾反思”的习惯。解题者通过回顾所完成的解答，重新考虑和检查结果及思路，巩固知识并培养分析能力。

（二）设计变式，突破难点

1.设计意图

变式设计的目的，一是提高教学效率，不增加同类型的重复解题；二是凸显“恒成立”与“能成立”问题的区别，迫使学生对难点进行思考。此外，变式中精心设计数据，使解题中亦蕴含另一难点，即等号的取舍问题。力求通过一个变式，实现两个难点的共同突破，让变式的设置更有效。

2.教学过程

例1的变式：若关于x的不等式（m-m2）4x+2x+1≥0在0∈（-2，-1）有解，求实数m的取值范围。

3.说明与反思

该题是本节课的难点。教学中，学生对于“恒成立”感觉比较直观，理解问题不大。而“能成立”，一方面容易与“恒成立”混淆，另一方面较为抽象，学生往往处理不好。所以，教师在此处的处理不能急躁。设计中采用变式，节省难点前的变形环节，给学生时间去消化难点，并充分考虑另一难点——等号问题。

笔者在这节高三解题课的教学中，转变了原有的教学方式。虽然课堂上没能完成思考题，使得本课留下了遗憾，但这样费时费力地在“变量难以分离”问题中与各层次学生进行思维上的交流与碰撞，教学效果中的能力培养证明，这样做是值得的。一位诗人曾说，“幸福的日子使人聪明”。教师的解题教学要有意识地营造使学生不断进取而取得思维成就的环境，让学生不断在思维成功的幸福中取得良性循环，越学越想学，越学越灵活，给学生以“渔”的技能，把能力培养真正落到实处。无论是哪个阶段的孩子，需要的都是一个自由和谐、富有个性、独立自主的学习生态环境，只有在这样的学习环境中，学生才能更高效地吸收知识，得到健康的成长。

（作者单位：华东师范大学第一附属中学）endprint