等差数列基本题型“知三求二”析解

李敏

在等差数列的通项公式与前n项和公式中含有5个基本量：a1，d，n，an，Sn。关于这5量之间的运算是一类基础题型，称为“知三求二”，根据条件和结论要求可分为10类，限于篇幅，只就较为典型的5类进行分析求解，旨在抛砖引玉。

一、已知a1，d，n求an，Sn型

例1 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=3，公比d=-2，求a5与S5。

分析：分别把已知条件代入等差数列的通项公式an与前n项和公式Sn求解。

解：a5=3+（5-1）×（-2）=-5；

点评：在等差数列的通项公式与前n项和公式中涉及的5个量中，a1与d又是最基本的两个量，是构成等差数列的两大支柱，因此一般a1与d为已知，则只有直接将相关的量代入通项公式与前n项和公式就可求得an与Sn。

变式拓展1：在{an}中，a1=15，3an+1=3an-2（n∈N*），求an与S6。

二、已知a1，an，n求d，Sn型

例2 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=-10，a5=-38，求公比d和S5。

分析：先利用等差数列的通项公式建立方程求公差d的值，然后把相关量代入等差数列的前n项和公式求S5。

点评：利用a1与an的值代入通项公式可求得公差d，然后再将相关的已知量与所求得的量代入前n项和公式即可求得Sn。

例3 等差数列的{an}的前n项和为Sn，已知a3=12，S12>0，S13<0。（1）求出公差d的取值范围；（2）指出S1，S2，…，Sn中哪一项最大，并说明理由。

解：（1）设Sn=An2+Bn，∵a3=S3-S2=5A+B=12，∴B=12-5A，即Sn=An2+（12-5A）n。由题意得S12=144A+12（12-5A）点评：借助二次函数的性质研究等差数列前n项和的最值问题，是常用的方法。一般需抓住“三点一轴”来考虑问题。三点是指开口方向、n取值范围的两个端点，一轴是对称轴。

变式拓展2：在等差数列{an}中，a1=-60，a17=-12。（1）求通项an；（2）求此数列前30项的绝对值的和。

三、已知a1，an，d求n，Sn型

例4 等差数列{an}中，首项a1=-1，公差d=5，如果an=124，求n和Sn。

分析：先根据等差数列的通项公式建立方程求出n，然后把相关量已知量及所求得的量代入等差数列的前n项和公式求Sn。

解：依题意，由通项公式得-1+（n-1）×5=124，解得n=26。

变式拓展3：等差数列{an}中，首项a1=-3，a5=5，如果an=25，求n和Sn。

四、已知a1，d，Sn求n，an型

例5 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=3，d=4，Sn=36，求n和an。

分析：先利用等差数列的前n项和公式建立方程求出n，然后把相关量代入等比数列的通项公式求an。

变式拓展4：在等差数列{an}中，公差为d，a1∶a3=1∶3，且Sn∶d=30∶1，求n和an∶d。

五、已知an，d，Sn求a1，n型

∴n2-7n-30=0，∴（n-10）（n+3）=0，又n∈N*，

∴n=10，a1=-3。

点评：已知an，d，Sn求a1，n，只需依据等差数列的通项公式与前n项和公式列方程组求解。

（作者单位：河南省郑州幼儿师范高等专科学校）endprint

在等差数列的通项公式与前n项和公式中含有5个基本量：a1，d，n，an，Sn。关于这5量之间的运算是一类基础题型，称为“知三求二”，根据条件和结论要求可分为10类，限于篇幅，只就较为典型的5类进行分析求解，旨在抛砖引玉。

一、已知a1，d，n求an，Sn型

例1 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=3，公比d=-2，求a5与S5。

分析：分别把已知条件代入等差数列的通项公式an与前n项和公式Sn求解。

解：a5=3+（5-1）×（-2）=-5；

点评：在等差数列的通项公式与前n项和公式中涉及的5个量中，a1与d又是最基本的两个量，是构成等差数列的两大支柱，因此一般a1与d为已知，则只有直接将相关的量代入通项公式与前n项和公式就可求得an与Sn。

变式拓展1：在{an}中，a1=15，3an+1=3an-2（n∈N*），求an与S6。

二、已知a1，an，n求d，Sn型

例2 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=-10，a5=-38，求公比d和S5。

分析：先利用等差数列的通项公式建立方程求公差d的值，然后把相关量代入等差数列的前n项和公式求S5。

点评：利用a1与an的值代入通项公式可求得公差d，然后再将相关的已知量与所求得的量代入前n项和公式即可求得Sn。

例3 等差数列的{an}的前n项和为Sn，已知a3=12，S12>0，S13<0。（1）求出公差d的取值范围；（2）指出S1，S2，…，Sn中哪一项最大，并说明理由。

解：（1）设Sn=An2+Bn，∵a3=S3-S2=5A+B=12，∴B=12-5A，即Sn=An2+（12-5A）n。由题意得S12=144A+12（12-5A）点评：借助二次函数的性质研究等差数列前n项和的最值问题，是常用的方法。一般需抓住“三点一轴”来考虑问题。三点是指开口方向、n取值范围的两个端点，一轴是对称轴。

变式拓展2：在等差数列{an}中，a1=-60，a17=-12。（1）求通项an；（2）求此数列前30项的绝对值的和。

三、已知a1，an，d求n，Sn型

例4 等差数列{an}中，首项a1=-1，公差d=5，如果an=124，求n和Sn。

分析：先根据等差数列的通项公式建立方程求出n，然后把相关量已知量及所求得的量代入等差数列的前n项和公式求Sn。

解：依题意，由通项公式得-1+（n-1）×5=124，解得n=26。

变式拓展3：等差数列{an}中，首项a1=-3，a5=5，如果an=25，求n和Sn。

四、已知a1，d，Sn求n，an型

例5 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=3，d=4，Sn=36，求n和an。

分析：先利用等差数列的前n项和公式建立方程求出n，然后把相关量代入等比数列的通项公式求an。

变式拓展4：在等差数列{an}中，公差为d，a1∶a3=1∶3，且Sn∶d=30∶1，求n和an∶d。

五、已知an，d，Sn求a1，n型

∴n2-7n-30=0，∴（n-10）（n+3）=0，又n∈N*，

∴n=10，a1=-3。

点评：已知an，d，Sn求a1，n，只需依据等差数列的通项公式与前n项和公式列方程组求解。

（作者单位：河南省郑州幼儿师范高等专科学校）endprint

在等差数列的通项公式与前n项和公式中含有5个基本量：a1，d，n，an，Sn。关于这5量之间的运算是一类基础题型，称为“知三求二”，根据条件和结论要求可分为10类，限于篇幅，只就较为典型的5类进行分析求解，旨在抛砖引玉。

一、已知a1，d，n求an，Sn型

例1 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=3，公比d=-2，求a5与S5。

分析：分别把已知条件代入等差数列的通项公式an与前n项和公式Sn求解。

解：a5=3+（5-1）×（-2）=-5；

点评：在等差数列的通项公式与前n项和公式中涉及的5个量中，a1与d又是最基本的两个量，是构成等差数列的两大支柱，因此一般a1与d为已知，则只有直接将相关的量代入通项公式与前n项和公式就可求得an与Sn。

变式拓展1：在{an}中，a1=15，3an+1=3an-2（n∈N*），求an与S6。

二、已知a1，an，n求d，Sn型

例2 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=-10，a5=-38，求公比d和S5。

分析：先利用等差数列的通项公式建立方程求公差d的值，然后把相关量代入等差数列的前n项和公式求S5。

点评：利用a1与an的值代入通项公式可求得公差d，然后再将相关的已知量与所求得的量代入前n项和公式即可求得Sn。

例3 等差数列的{an}的前n项和为Sn，已知a3=12，S12>0，S13<0。（1）求出公差d的取值范围；（2）指出S1，S2，…，Sn中哪一项最大，并说明理由。

解：（1）设Sn=An2+Bn，∵a3=S3-S2=5A+B=12，∴B=12-5A，即Sn=An2+（12-5A）n。由题意得S12=144A+12（12-5A）点评：借助二次函数的性质研究等差数列前n项和的最值问题，是常用的方法。一般需抓住“三点一轴”来考虑问题。三点是指开口方向、n取值范围的两个端点，一轴是对称轴。

变式拓展2：在等差数列{an}中，a1=-60，a17=-12。（1）求通项an；（2）求此数列前30项的绝对值的和。

三、已知a1，an，d求n，Sn型

例4 等差数列{an}中，首项a1=-1，公差d=5，如果an=124，求n和Sn。

分析：先根据等差数列的通项公式建立方程求出n，然后把相关量已知量及所求得的量代入等差数列的前n项和公式求Sn。

解：依题意，由通项公式得-1+（n-1）×5=124，解得n=26。

变式拓展3：等差数列{an}中，首项a1=-3，a5=5，如果an=25，求n和Sn。

四、已知a1，d，Sn求n，an型

例5 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=3，d=4，Sn=36，求n和an。

分析：先利用等差数列的前n项和公式建立方程求出n，然后把相关量代入等比数列的通项公式求an。

变式拓展4：在等差数列{an}中，公差为d，a1∶a3=1∶3，且Sn∶d=30∶1，求n和an∶d。

五、已知an，d，Sn求a1，n型

∴n2-7n-30=0，∴（n-10）（n+3）=0，又n∈N*，

∴n=10，a1=-3。

点评：已知an，d，Sn求a1，n，只需依据等差数列的通项公式与前n项和公式列方程组求解。

（作者单位：河南省郑州幼儿师范高等专科学校）endprint