谈高考中的周期函数

王卫学

周期性是函数的一个重要性质，也是高考中每年必考的知识。掌握到何种程度，才能在高考中游刃有余呢？对此，笔者就自己的一点认识与大家共勉。

一、定义

函数f（x）定义在数集A上，如果存在正数T，对任意x∈A有x+T∈A，且f（x+T）=f（x），称函数f（x）是周期函数，T称为函数f（x）的一个周期。

二、几点注意事项

1.如果T是函数f（x）的周期，则2T也是它的周期

事实上，f（x+2T）=f（x+T+T）=…=f（x）=f（x-2T）.显然，如果T是函数f（x）的周期，则nT（n是整数）也是它的周期。如果函数f（x）有最小的正周期，通常将这个最小正周期称为函数f（x）的周期。

2.周期函数不一定有最小正周期

对一般函数而言，都可求出最小正周期。这一规律从图象上看更为直观，且图象还具有一定的对称性。但一些特殊周期函数并没有最小正周期。

如：f（x）=a（a为常数）或D（x）=0 x∈R-Q1 x∈Q；

再如：函数f（x）=sinx，x∈（-∞，0），是周期函数，其最大负周期为-2π；

3.周期函数的定义域至少一端趋向∞

由周期函数的定义可知，若x∈M，只需x+T∈M，当然有（x+T）+T∈M，…，x+kT∈M。因此，周期函数的定义域一定是无限集，即定义域与区间的一端无界，但不要求定义域两端无界。

4.几个重要结论

（1）f（x+a）=-f（x），则最小正周期为|2a|；

（2）f（x+a）=+1/f（x），则最小正周期为|2a|；

（3）f（a+x）=f（a-x），f（b+x）=f（b-x），则最小正周期为2|a-b|

三、最小正周期的求法

⒈定义法

例1.求函数y=|sinx|+|cosx|的最小正周期。

解：∵=|sinx|+|cosx|

=|-sinx|+|cosx|

=|cos（x+π/2）|+|sin（x+π/2）|

=|sin（x+π/2）|+|cos（x+π/2）|

=f（x+π/2）

对定义域内的每一个x，当x增加到x+π/2时，函数值重复出现，因此函数的最小正周期是π/2.

2.公式法

这类题目是通过三角函数的恒等变形，转化为一个角的一种函数的形式，用公式去求。其中Asin（ωx+？渍）、Acosωx+？渍正余弦型函数求最小正周期的公式为T=2π/|ω|，Aant（ωx+？渍）正切型函数T=π/|ω|.y=f（kx+b）型类似正切型函数。若y=f（x）最小正周期为T，则y=f（kx+b）最小正周期为T/|k|.

例2.求函数y=cotx-tanx的最小正周期。

解：y=1/tanx-tanx=（1-tanx^2）/tanx=2*（1-tanx^2）/（2tanx）=2cot2x

∴T=π/2

3.最小公倍数法

设f（x）与g（x）是定义在公共集合上的两个三角周期函数，T1、T2分别是它们的周期，且T1≠T2，则f（x）±g（x）的最小正周期T1、T2的最小公倍数。

例3.求函数y=sin3x+cos5x的最小正周期。

解：设sin3x、cos5x的最小正周期分别为T1、T2，则T1=2π/3，T2=2π/5，所以y=sin3x+cos5x的最小正周期T=2π.

四、图象法

例4.求y=|sinx|的最小正周期。

解：由y=|sinx|的图象

可知y=|sinx|的周期T=π.

注意：（1）一个函数的周期通常是指最小正周期。

（2）常值函数是周期函数，但没有最小正周期。

五、高考题欣赏

例1.（2013山东理10）已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f（x）=x3-x，则函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为

（A）6 （B）7 （C）8 （D）9

【答案】A

例2.（2013陕西理3）设函数f（x）（x∈R）满足f（-x）=f（x），f（x+2）=f（x），则函数y=f（x）的图像是 （ ）

■

■

【答案】B

例3.（2013全国新课标理11）设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ω x+φ）（ω>0，|φ|<）■的最小正周期为π，且f（-x）=f（x）则

（A）y=f（x）在（0，■）单调递减 （B）y=f（x）在（■，■）单调递减

（C）y=f（x）在（0，■）单调递增 （D）y=f（x）在（■，■）单调递增

【答案】A

例4.（2013全国大纲卷12）已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中正确的是

（A）y=f（x）的图像关于（π，0）中心对称

（B）y=f（x）的图像关于x=■对称

（C）f（x）的最值为■

（D）f（x）既是奇函数，又是周期函数

答案：D

周期性是函数的一个重要性质，也是高考中每年必考的知识。掌握到何种程度，才能在高考中游刃有余呢？对此，笔者就自己的一点认识与大家共勉。

一、定义

函数f（x）定义在数集A上，如果存在正数T，对任意x∈A有x+T∈A，且f（x+T）=f（x），称函数f（x）是周期函数，T称为函数f（x）的一个周期。

二、几点注意事项

1.如果T是函数f（x）的周期，则2T也是它的周期

事实上，f（x+2T）=f（x+T+T）=…=f（x）=f（x-2T）.显然，如果T是函数f（x）的周期，则nT（n是整数）也是它的周期。如果函数f（x）有最小的正周期，通常将这个最小正周期称为函数f（x）的周期。

2.周期函数不一定有最小正周期

对一般函数而言，都可求出最小正周期。这一规律从图象上看更为直观，且图象还具有一定的对称性。但一些特殊周期函数并没有最小正周期。

如：f（x）=a（a为常数）或D（x）=0 x∈R-Q1 x∈Q；

再如：函数f（x）=sinx，x∈（-∞，0），是周期函数，其最大负周期为-2π；

3.周期函数的定义域至少一端趋向∞

由周期函数的定义可知，若x∈M，只需x+T∈M，当然有（x+T）+T∈M，…，x+kT∈M。因此，周期函数的定义域一定是无限集，即定义域与区间的一端无界，但不要求定义域两端无界。

4.几个重要结论

（1）f（x+a）=-f（x），则最小正周期为|2a|；

（2）f（x+a）=+1/f（x），则最小正周期为|2a|；

（3）f（a+x）=f（a-x），f（b+x）=f（b-x），则最小正周期为2|a-b|

三、最小正周期的求法

⒈定义法

例1.求函数y=|sinx|+|cosx|的最小正周期。

解：∵=|sinx|+|cosx|

=|-sinx|+|cosx|

=|cos（x+π/2）|+|sin（x+π/2）|

=|sin（x+π/2）|+|cos（x+π/2）|

=f（x+π/2）

对定义域内的每一个x，当x增加到x+π/2时，函数值重复出现，因此函数的最小正周期是π/2.

2.公式法

这类题目是通过三角函数的恒等变形，转化为一个角的一种函数的形式，用公式去求。其中Asin（ωx+？渍）、Acosωx+？渍正余弦型函数求最小正周期的公式为T=2π/|ω|，Aant（ωx+？渍）正切型函数T=π/|ω|.y=f（kx+b）型类似正切型函数。若y=f（x）最小正周期为T，则y=f（kx+b）最小正周期为T/|k|.

例2.求函数y=cotx-tanx的最小正周期。

解：y=1/tanx-tanx=（1-tanx^2）/tanx=2*（1-tanx^2）/（2tanx）=2cot2x

∴T=π/2

3.最小公倍数法

设f（x）与g（x）是定义在公共集合上的两个三角周期函数，T1、T2分别是它们的周期，且T1≠T2，则f（x）±g（x）的最小正周期T1、T2的最小公倍数。

例3.求函数y=sin3x+cos5x的最小正周期。

解：设sin3x、cos5x的最小正周期分别为T1、T2，则T1=2π/3，T2=2π/5，所以y=sin3x+cos5x的最小正周期T=2π.

四、图象法

例4.求y=|sinx|的最小正周期。

解：由y=|sinx|的图象

可知y=|sinx|的周期T=π.

注意：（1）一个函数的周期通常是指最小正周期。

（2）常值函数是周期函数，但没有最小正周期。

五、高考题欣赏

例1.（2013山东理10）已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f（x）=x3-x，则函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为

（A）6 （B）7 （C）8 （D）9

【答案】A

例2.（2013陕西理3）设函数f（x）（x∈R）满足f（-x）=f（x），f（x+2）=f（x），则函数y=f（x）的图像是 （ ）

■

■

【答案】B

例3.（2013全国新课标理11）设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ω x+φ）（ω>0，|φ|<）■的最小正周期为π，且f（-x）=f（x）则

（A）y=f（x）在（0，■）单调递减 （B）y=f（x）在（■，■）单调递减

（C）y=f（x）在（0，■）单调递增 （D）y=f（x）在（■，■）单调递增

【答案】A

例4.（2013全国大纲卷12）已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中正确的是

（A）y=f（x）的图像关于（π，0）中心对称

（B）y=f（x）的图像关于x=■对称

（C）f（x）的最值为■

（D）f（x）既是奇函数，又是周期函数

答案：D

周期性是函数的一个重要性质，也是高考中每年必考的知识。掌握到何种程度，才能在高考中游刃有余呢？对此，笔者就自己的一点认识与大家共勉。

一、定义

函数f（x）定义在数集A上，如果存在正数T，对任意x∈A有x+T∈A，且f（x+T）=f（x），称函数f（x）是周期函数，T称为函数f（x）的一个周期。

二、几点注意事项

1.如果T是函数f（x）的周期，则2T也是它的周期

事实上，f（x+2T）=f（x+T+T）=…=f（x）=f（x-2T）.显然，如果T是函数f（x）的周期，则nT（n是整数）也是它的周期。如果函数f（x）有最小的正周期，通常将这个最小正周期称为函数f（x）的周期。

2.周期函数不一定有最小正周期

对一般函数而言，都可求出最小正周期。这一规律从图象上看更为直观，且图象还具有一定的对称性。但一些特殊周期函数并没有最小正周期。

如：f（x）=a（a为常数）或D（x）=0 x∈R-Q1 x∈Q；

再如：函数f（x）=sinx，x∈（-∞，0），是周期函数，其最大负周期为-2π；

3.周期函数的定义域至少一端趋向∞

由周期函数的定义可知，若x∈M，只需x+T∈M，当然有（x+T）+T∈M，…，x+kT∈M。因此，周期函数的定义域一定是无限集，即定义域与区间的一端无界，但不要求定义域两端无界。

4.几个重要结论

（1）f（x+a）=-f（x），则最小正周期为|2a|；

（2）f（x+a）=+1/f（x），则最小正周期为|2a|；

（3）f（a+x）=f（a-x），f（b+x）=f（b-x），则最小正周期为2|a-b|

三、最小正周期的求法

⒈定义法

例1.求函数y=|sinx|+|cosx|的最小正周期。

解：∵=|sinx|+|cosx|

=|-sinx|+|cosx|

=|cos（x+π/2）|+|sin（x+π/2）|

=|sin（x+π/2）|+|cos（x+π/2）|

=f（x+π/2）

对定义域内的每一个x，当x增加到x+π/2时，函数值重复出现，因此函数的最小正周期是π/2.

2.公式法

这类题目是通过三角函数的恒等变形，转化为一个角的一种函数的形式，用公式去求。其中Asin（ωx+？渍）、Acosωx+？渍正余弦型函数求最小正周期的公式为T=2π/|ω|，Aant（ωx+？渍）正切型函数T=π/|ω|.y=f（kx+b）型类似正切型函数。若y=f（x）最小正周期为T，则y=f（kx+b）最小正周期为T/|k|.

例2.求函数y=cotx-tanx的最小正周期。

解：y=1/tanx-tanx=（1-tanx^2）/tanx=2*（1-tanx^2）/（2tanx）=2cot2x

∴T=π/2

3.最小公倍数法

设f（x）与g（x）是定义在公共集合上的两个三角周期函数，T1、T2分别是它们的周期，且T1≠T2，则f（x）±g（x）的最小正周期T1、T2的最小公倍数。

例3.求函数y=sin3x+cos5x的最小正周期。

解：设sin3x、cos5x的最小正周期分别为T1、T2，则T1=2π/3，T2=2π/5，所以y=sin3x+cos5x的最小正周期T=2π.

四、图象法

例4.求y=|sinx|的最小正周期。

解：由y=|sinx|的图象

可知y=|sinx|的周期T=π.

注意：（1）一个函数的周期通常是指最小正周期。

（2）常值函数是周期函数，但没有最小正周期。

五、高考题欣赏

例1.（2013山东理10）已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f（x）=x3-x，则函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为

（A）6 （B）7 （C）8 （D）9

【答案】A

例2.（2013陕西理3）设函数f（x）（x∈R）满足f（-x）=f（x），f（x+2）=f（x），则函数y=f（x）的图像是 （ ）

■

■

【答案】B

例3.（2013全国新课标理11）设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ω x+φ）（ω>0，|φ|<）■的最小正周期为π，且f（-x）=f（x）则

（A）y=f（x）在（0，■）单调递减 （B）y=f（x）在（■，■）单调递减

（C）y=f（x）在（0，■）单调递增 （D）y=f（x）在（■，■）单调递增

【答案】A

例4.（2013全国大纲卷12）已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中正确的是

（A）y=f（x）的图像关于（π，0）中心对称

（B）y=f（x）的图像关于x=■对称

（C）f（x）的最值为■

（D）f（x）既是奇函数，又是周期函数

答案：D