对正四面体的研究性学习1

范世祥

正四面体是中学数学立体几何中最经典的几何体之一，以此为载体的试题屡见不鲜。本文针对正四面体进行研究性学习，研究的内容和方法对立体几何的学习有启发和迁移作用。

一、正三角形的研究

正四面体的每个面都是正三角形，根据空间问题平面化思想，为了更好地研究正四面体，我们先从正三角形开始说起。

问题1 已知正三角形的边长为a，分别计算它的高、面积、外接圆的半径以及内切圆的半径。

解析 如图1，结合解三角形知识，容易求出以下四个参数的值：

（1）高h=a；

（2）面积S=a；

（3）外接圆的半径R=a；

（4）内切圆的半径r=a。

评注 正三角形的“四心”（外心、内心、重心、垂心）合一，统称为正三角形的中心，且中心O是每条高线（中线、角平分线）的一个三等分点。希望同学们能熟记这四个参数的值，对今后的解题会大有帮助。

二、正四面体的研究

问题2 已知正四面体的棱长为a，分别计算它的表面积、高、体积、外接球的半径、内切球的半径、相对棱的距离与夹角、侧棱与底面所成角的余弦值、相邻侧面所成二面角的余弦值。

解析 如图2，正四面体P-ABC，设点P在平面ABC内的射影为H，可知点H为等边三角形ABC的中心，连接PH，由问题1可知，HA=a，HE=a。

（1）正四面体的表面积等于4个全等的等边三角形的面积之和，故S=4×a=a。

（2）在Rt△PHA中，PH==a。

（3）下面用两种方法计算正四面体的体积。

方法一：V=S·PH=×a×a=a；

方法二：将正四面体放入正方体中（如图3），此时正四面体的棱长就是正方体的面对角线的长，所以正方体的棱长为a，而正四面体的体积就是正方体的体积减去四个等大的三棱锥，

所以有V=V-4V=a-4××a=a。

（4）下面用三种方法计算正四面体的外接球的半径R。

方法一：如图2，易知外接球的球心O在高PH上，连接OA，

在Rt△OHA中，OH=PH-R=a-R，OA=R，HA=a，

所以R=a-R+a，解得R=a；

方法二：将正四面体放入正方体中（如图3），此时正四面体的外接球的直径就是正方体的体对角线的长，即2R=×a，解得R=a；

方法三：外接球的半径为OP=R，内切球的半径为OH=r，

根据等体积法，可得V=V+V+V+V，即Sh=4×Sr，所以h=4r，

进而R=OP=PH=a（球心O将高线分成3∶1）。

（5）由（4）可知，内切球的半径为OH=r=PH=a。

（6）将正四面体放入正方体中（如图3），此时正四面体的相对棱的距离就是该正方体的棱长，即a。

（7）将正四面体放入正方体中（如图3），此时正四面体的相对棱的夹角就是该正方体面对角线的夹角，即。

（8）如图2，由题意可知，侧棱PA与底面ABC所成的角就是∠PAH，

在Rt△PHA中，cos∠PAH==。

（9）如图2，由题意可知，二面角P-AB-C的平面角就是∠PEH，

在Rt△PHE中，cos∠PEH==。

评注 以上所研究的正四面体的9个参数，涉及正四面体中的多个几何量度，有距离（点到面的距离，异面直线的距离），有角度（异面直线所成角，线面角，二面角），还涉及与球有关的问题，熟练掌握其求解方法对其他的几何体问题的解决也大有裨益。

三、应用举例

例1 在正四面体P-ABC中，E、F分别是PC、AB的中点，则EF与BC所成的角大小为 。

解析 将正四面体放入正方体中（如图3），此时正四面体的相对棱的中点的连线与侧棱所成的角为。

例2 正四面体A-BCD的四个顶点都在同一个球面上，则A与B两点与球心O连线的夹角余弦值为？摇 。

解析 在△AOB中，OA=OB=a，AB=a，由余弦定理可得cos∠AOB=-。

例3 一个三棱锥铁框架的棱长均为2，其内置一气球，使气球充气至尽可能膨胀（保持球的形状），则此球的表面积为 。

解析 由题意可知，该球与相对棱相切，即球的直径为相对棱的距离，将该正四面体置于一个正方体中，易知相对棱的距离为，所以此球的表面积为S=4π·=2π。

例4 已知正四面体A-BCD的棱长为9，点P是面ABC上的一个动点，满足点P到面DAB、DBC、DCA的距离成等差数列，则P到面DCA的距离的最大值是 。

解析 正四面体的高为h=a=3，

设点P到面DAB、DBC、DCA的距离分别为d、d、d，

由等体积法可知，h=d+d+d，即3=d+d+d，所以d+d=2d=2，

当d=0时，d取得最大值为2。

水有源，故其流不穷；木有根，故其生不穷。几何中的基本图形与基本运算蕴含的丰富几何思想方法是组成几何问题的基础。通过以上问题的解决，我们发现，正四面体的有关知识已经成为高考或模考命题的重要素材，如果我们能从研究最简单的几何体入手，掌握研究的思想与方法，无疑能抓住问题的核心，对学生理解数学本质有很大的帮助！