破解天体运动问题的“金三角”

侯建敏

天体运动问题是高考的重点内容之一。近几年对这类题目考查的频率很高，无论是全国卷，还是独立命题省市的高考卷，几乎年年必考，但年年各不相同，真可谓是千变万化。其实这些题在解法上有惊人的相似之处。下面总结一下这类问题的解题方法。

一、常用公式总结

天体运动问题中公式看似有很多，但仔细归纳起来就三个。

①F=F

当天体在高空运行时，设天体质量为m，环绕的中心天体质量为M，轨道半径为r，则有F=G；

当天体在星球表面近地环绕运行时，设天体质量为m，星球质量为M，星球半径为R，则有F=G。

圆周运动的向心力公式又有多种表达形式，

即F=ma=m=mωr=mr。

当天体做匀速圆周运动时，中心天体对它的万有引力提供所需的向心力，所以有F=F。综合以上两种力的表达式，F=F就有8种具体形式。

例如G=ma，G=m，G=mr等。

②F=mg

如果不考虑星球的自转，天体m在星球表面时F=mg，设星球质量为M，半径为R，其表面的重力加速度为g，则有G=mg；

天体在星球高空时，设距球心r处的重力加速度为g′，则有G=mg′。

③mg=F

当天体在星球表面近地环绕运行时，也可以看成绕行天体的重力提供所需的向心力，设绕行天体的质量为m，星球表面的重力加速度为g，则有mg=F；

当天体在高空环绕运行时，天体所在轨道的重力加速度为g′，则有mg′=F。

又因为重力近地时为mg，高空时为mg′，向心力又有四种表达式，因此mg=F也有8种具体形式。

如果把以上公式总结一下，可以用右图的三角形表示。这个三角形表示的公式几乎可以求解所有的天体运动问题，所以我们称之为“金三角”。

二、天体运动问题归类例析

1.星球半径问题

例1 （2015年海南卷）若在某行星和地球上相对于各自水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为2∶。已知该行星质量约为地球的7倍，地球的半径为R，由此可知，该行星的半径为（ ）。

A.R？摇 ？摇B.R？摇 ？摇C.2R？摇 ？摇D.R

解析 设行星表面的重力加速度为g′，水平方向运动的距离为x′，运动时间为t′，在行星表面根据平抛运动公式得x′=vt′，h=g′t′，

解得g′=。

同理，在地球表面上有g=，

两式相比得==。

在地球表面上有G=mg，

在行星表面上有G=mg′，

以上两式相比得=·=×=2。所以答案为C。

点评 本题先用平抛运动公式求出重力加速度之比，然后用两个“金三角”中的②式相比求解。

2.轨道半径问题

例2 地球同步卫星到地心的距离r可用地球质量M、地球自转周期T与引力常量G表示为r= 。

解析 根据万有引力定律及圆周运动知识G=mr，可得r=。

点评 本题是用“金三角”中的①式直接求解的。

3.质量问题

例3 （2015年江苏卷）过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51pegb”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。行星“51pegb”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的。该中心恒星与太阳的质量比约为（ ）。

A.1/10 ？摇B.1 ？摇C.5？摇 D.10

解析 行星“51pegb”绕其中心恒星做匀速圆周运动，

则有G=m′r′，

地球绕太阳做匀速圆周运动，则有G=mr，

两式相比得==≈1.04，

所以答案为B。

点评 本题是用两个“金三角”中的①式相比来求解的。

4.密度问题

例4 （2014年广东卷）如图所示，飞行器P绕某星球做匀速圆周运动，星球相对飞行器的张角为θ，下列说法正确的是（ ）。

A.轨道半径越大，周期越长

B.轨道半径越大，速度越大

C.若测得周期和张角，可得到星球的平均密度

D.若测得周期和轨道半径，可得到星球的平均密度

解析 飞行器P绕星球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有G=mr （1），

解得T=2π，可知半径越大则周期越大，所以选项A正确；

再根据G=m，解得v=，可知轨道半径越大则环绕速度越小，所以选项B错误；

又由（1）式还可解得M=，如果知道张角θ，则该星球半径为R=rsin，再根据 ρ==，若测得周期，则可得到星球的平均密度，所以选项C正确；

而选项D因无法计算星球半径，从而无法求出星球的平均密度，选项D错误。答案为AC。

点评 本题是用“金三角”中的①式和几何关系来求解的。

5.向心加速度问题

例5 “嫦娥”一号和“嫦娥”二号卫星相继完成了对月球的环绕飞行，标志着我国探月工程的第一阶段已经完成。设“嫦娥”二号卫星环绕月球的运动为匀速圆周运动，它距月球表面的高度为h，已知月球的质量为M、半径为R，引力常量为G，则“嫦娥”二号卫星绕月球运动的向心加速度a= 。

解析 “嫦娥”二号卫星环绕月球为匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有G=ma，解得a=。

点评 本题是用“金三角”中的①式直接来求解的。

6.线速度问题

例6 （2015年全国卷）我国发射的“嫦娥”三号登月探测器靠近月球后，先在月球表面附近的近似圆轨道上绕月运行；然后经过一系列过程，再在离月面4 m高处做一次悬停（可认为是相对于月球静止）；最后关闭发动机，探测器自由下落。已知探测器的质量约为1.3×10 kg，地球质量约为月球的81倍，地球半径约为月球的3.7倍，地球表面的重力加速度大约为9.8 m/s2，则此探测器（ ）。

A.在着陆前的瞬间，速度大小约为8.9 m/s

B.悬停时受到的反冲作用力约为2×10 N

C.从离开近月圆轨道到着陆这段时间内，机械能守恒

D.在近月圆轨道上运行的线速度小于人造卫星在近地圆轨道上运行的线速度

解析 设月球表面附近重力加速度为g′，在月球表面有G=mg′，

在地球表面附近有G=mg，

两式相比并代入数据得g′=g=g，

着陆前的瞬间速度v==≈3.6 m/s，所以选项A错误；

根据平衡条件得反冲力F=mg′≈2×10 N，所以选项B正确；

因为离开近月轨道时有一个悬停过程，相当于“刹车”，推动力做了负功，所以机械能不守恒，选项C错误；

人造卫星在近地圆轨道上运行时有mg=，解得v=，

“嫦娥”三号在近月圆轨道运行时有mg′=，解得v′==R，

所以v′

点评 本题先用“金三角”中的②式求出月球表面附近的重力加速度，然后再用两个“金三角”中的③式求解。