数学的通性通法在教学中的运用

孙克红

数学是一门系统性很强的科学，首先，任何一个数学概念和规律都是包含在一定的知识体系当中。只有深刻地理解了所有概念、规律的关系，以及他们在整个数学知识体系中的地位和作用，理解才够深刻，记忆才会牢固，运用才会得心应手。其次，在一定范围内的概念和规律，也有主次之分。因此，在数学教学中，不仅要掌握个别的概念和规律，而且要掌握其知识体系；不仅要掌握知识体系而且要突出重点、难点，以点带面，抓住知识的“纲”，做到“纲举目张”。

数学的通性通法就是数学系统知识的“纲”。例如，集合和逻辑语言的运用；设未知数列方程或不等式问题原理；函数关系的建立与研究；数形结合；配方法；待定系数法；立体问题的平面转化等等。数学的通性通法，还说明在研究自然科学、工程技术、农业、商业、经济、政治中的实际问题时，需要从事物的定量分析中将其数学化，建立数学模型，再利用模型来解决这类问题。其过程是：实际问题——数学化——数学模型——检验——应用。

因此，马克思说：“一种科学只有在成功地运用数学时才能达到真正完美的境地。”在这里我们只探讨数学通性通法在数学教学中的应用。

一、注意知识的系统性，形成知识体系

不少数学知识、概念和规律在出现时具有一定的离散性，如果教师不能系统地加以把握，那么学生得到的就是一些零星、孤立、毫无联系的东西，既不利于理解，又容易遗忘。

例如，“距离”这个概念，从初二“两点间的距离”开始，到立体几何中“两条异面直线间的距离”，再到解析几何中“点到直线的距离”和“两条平行线之间的距离”，概念的延续和拓展时间达四年之久，如果教师在教学中不能将新旧知识系统化，教学效果将大打折扣。

再如，对于“数”的学习和认识，从小学的“自然数、整数、分数”到初中的“有理数、无理数、实数”，再到高中的“复数”，学习时间前后多达11年之久。如果数学教师在高中的教学阶段中不能把集合和复数的概念加以系统化，形成“数”的体系，那么学生在解决“数集”的问题时，必然会遇到困难而错误百出。

二、教给学生推导方法

对于一些公式的学习，在学生学好基本公式的基础上，教师可教给学生必要的推导方法，让学生从根本上理解、掌握、运用和记忆这些公式。这样既减轻学生的记忆负担，又让学生学到了方法。

例如，由直线方程的点斜式推导斜截式、两点式、截距式；由余弦的和角公式推导余弦的差角、倍角、半角公式，再推导正弦的差角、和角、倍角、半角公式，再推导正切的差角、倍角、半角公式等。

三、根据数学的通性通法，进行数学概括

根据数学的通性通法，将一些表面上没有联系，但又具有共性的公式、定理、性质加以概括。

例如，由圆的任意方程和圆心在原点的方程之间的关系，推导和记忆坐标平移公式；在解析几何中，根据圆锥曲线的定义推导和记忆它的标准方程、性质等。将诱导公式总结为“纵变横不变，符号看象限”：1.当角的终边在纵坐标轴Y轴上（即90度、270度）时，函数名称变为它的余弦函数；当角的终边在横坐标轴X轴上（即0度、180度、360度等）时，函数名称不变；2.所得三角函数的符号，根据原角所在象限的原三角函数的名称来确定（-a看做是0-a，四象限）。

四、将某类问题的解法、步骤进行归纳，提出解决问题的“通法”

例如，一元二次不等式的解法步骤：

1.将原有不等式化为ax+bx+c>0：或者ax+bx+c<0的形式；

2.如二次项的系数a为负，则化为正；

3.根据相应的一元二次方程ax+bx+c=0的解的情况及不等号，求解并写出集合的形式等。

再如，求任意角的三角函数数值的步骤：

1.如果角为负值，则利用引导公式“-a”化为正角；

2.如果角的值大于360°，则利用引导公式“k×360°+a”化为0°到360°的角；

3.若角不是锐角，再利用“180°±a”“360°-a”或者其他诱导公式化为锐角，并求值。

五、联系实际，特别是联系学生的专业实际

数学的特点之一是抽象，正因为有高度的抽象性，所以才有广泛的应用性。我们有理由认为并强调“数学只有当它应用到各个学科时，才能显示出它的生命力，才能得到进一步发展”。正如我国著名的数学家华罗庚所说：“数学是一个原则，无数内容；是一种方法，到处可用。”可是，现在不少教师在数学教学中，很不注意联系实际生活实践。这样使得本来具有广泛使用价值的数学学科失去了本来的价值，成为教育的摆设，变成了无源之水、无本之木。学生既不知道为什么学数学，造成学生学习中缺乏兴趣；也不知道如何学习，造成本来抽象的知识无法理解、无法掌握；更不知道学习数学有什么价值、用途，成了书呆子。

联系实际，一是联系学生专业实际，让学生看到并体会到数学知识在专业上的应用的广泛性，理解数学知识和技能对于思维能力训练、专业技术形成的重要作用。这就需要教师善于学习，不仅要熟悉数学教材，而且对于学生的专业知识也要有所了解。二是联系社会生活和学生思想实际，让学生看到数学知识是从自然科学工程技术乃至农业、商业、经济、政治的实际生活中概括、抽象、提炼出来的，具有广泛的、一般的科学规律。同时，数学又对其他学科的发展起着指导和推动作用。这就要求教师不仅要接触学生、了解学生，而且要从日新月异的现代化建设中吸取有益的营养。

数学要联系实际，是对于整个数学教学体系而言，在整个知识系统中将必要的数学知识生活化，这是可能的，也是必要的。有些数学知识可以直接和学生的其他专业知识（化学、物理、生物、地理等）发生直接的联系，有些则只是间接地联系。如果每一个概念和规律都和实际相联系那是不可能的，也是没有必要的，数学教师不能把联系实际庸俗化。

最后，联系实际要从学生的实际水平出发，也就是联系的实际应该是学生在生活和学习过程中已有的知识，或者虽然没有但是经过教师介绍能够接受的知识，不要去联系那些专业性太强的，不是学生认知范围的知识领域。专业性太强、学生不易理解的内容就会在课堂教学中喧宾夺主。数学学科的特点决定了数学教师的教学不只是知识的传授，还应该把知识活学活用，让数学知识走向生活，服务生产，服务社会。

（责编 金 东）