浅谈高中数学模型的应用

薛映霞

新课标对高中数学提出了新的要求，要求学生通过学习提高数学知识的实际运用能力，能通过思维的创造性和建模能力来运用数学知识，通过问题的现象看到实质，把实际问题看成数学问题中的一个模型，利用解决数学的各种方法使实际问题获得解决。培养学生的数学建模思想，不仅能使学生对数学知识的掌握按照数学思想的类型分成一个个模块，还能激发学生对数学的热情，通过对建模思想的认真探索培养自己良好的道德品质，不畏艰难的意志和要学好数学的决心。

一、数学建模的涵义

在把实际问题进行数学模型的创建时，实质就是把实际问题中所蕴含的数学知识提取出来，形成一个具有实际意义的数学模型，运用数学语言和数学公式对这个数学模型进行研究探索，进而达到解决实际问题的目的。教师在培养学生的数学建模意识时，就要提高学生分析数学问题的能力，通过把实际问题抽象简化成为数学问题，利用学生已有的知识进行解决。数学建模从本质上说就是进行一系列的发现问题、提出问题、解决问题的过程，这个过程对学生的数学能力要求很高，学生必须具备敏锐的观察力和分析力，能把实际问题与自己掌握的数学模型相联系，然后进行提取，在数学世界中解决实际问题，最后把结果再带入问题中进行验证。

二、数学建模基本过程

（一）问题分析

数学模型就是现实世界中的问题同数学知识进行联系的工具，最初在进行数学建模时，就是要把实际问题用数学语言和数学符号进行表述。在把现实问题转化成数学模型时，学生要充分对这个问题进行了解，了解问题的成因和背景，把对解决问题能提供帮助的数据都收集起来，以更好地对问题进行抽象和概况。

（二）合理的简化假设

在实际的生产和生活中，往往受到各方面因素的影响，要解决的问题是时刻变化的，在解决这种多变问题时，要把问题进行合理假设，通过假设把问题简单化，然后运用数学模型进行解决。在进行假设时，要根据问题的背景进行合理假设，假设进行得合理，通过运用数学建模思想这个问题就能获得解决；如果假设不合理或者假设没有根据实际情况进行，那么可能利用数学建模求解出来的答案就不适合实际问题，这就是一个不成功的建模过程。所以，学生在进行建模思想的运用时，一定要根据事实进行假设，才能得出合理有效的解决问题的方法。

（三）建立模型

通过假设，把实际问题中的相关变量之间建立等量关系，从而建立数学问题。在建立模型时，学生要根据从实际问题中提取出的常量和变量建立合适的数学模型，使问题能获得解决。在建立数学模型时我们要遵循以下原则：有简单方法时一定要用简单方法，能运用初等工具时一定要用初等工具，一定要使建立的模型最简单，最易解决。

（四）求解数学模型

数学模型建立之后，接下来就是要对所建立的模型求解。在求解过程中，要使用适当的数学工具，使数学模型在简单有效的方法下获得解决。如果遇到的问题比较复杂，通过一般的数学工具解决不了，那么就可以在事实的基础上对所建立的模型进行细微变化，使模型获得解决。

（五）模型分析、检验、修改与推广

所建数学模型求解出来之后，就要把求得的结果带入实际问题中进行分析检验，以验证所得的答案是否能满足现实要求，并将不合理的结果进行修改。

案例：教师在对不等式进行讲解时，先让学生回忆在探究|x|=3的几何意义时运用了数学中的数轴，之后提出|x|>3和|x|<3的几何意义是什么？

教师通过数轴来引入不等式意义的探究，这也是把数轴这个数学模型引入了课堂。假设x是数轴上的一个数，那么当它在哪个范围内取值时|x|>3，在哪个范围内取值时|x|<3，这就需要学生通过建立数学模型进行问题的解决。然后学生通过建立数学模型，最后得出|x|>3和|x|<3的取值范围，理解了它们的几何意义。

这个案例是运用学生学过的知识对新知识进行建模，通过建模让学生能更清楚、更深刻地理解了不等式的几何意义。可见数学建模思想的运用能促进学生学习数学知识，在不断提高数学建模思想的过程中，学生的数学能力也在不断提高。

数学建模除了可以让学生能更好地接受新知识以外，还常用来解决生活中的实际问题。

三、高中常见数学应用模型

（一）函数模型

我们可以从生活中很多现象中抽象出函数模型，例如，如何控制才能使用水量达到最低？如何能使工厂的收入最高？如何使生产化肥的工厂用原材料最省等等。这些问题都能通过函数模型进行解决。

（二）数列模型

数学中的数列主要应用在从特殊到一般来进行研究的问题中，利用数列模型可以解决我们生活中的很多问题。例如，银行利率的增长率是多少？我国每年人口出生率是多少？细胞分裂的速度是多少等等诸多问题。

（三）不等式模型

在最值问题的求解时常用到这个模型，通过从实际问题中概括出来数学式子，然后再运用解不等式的方法获得最值。

（四）解析几何模型

解析几何模型在一些建筑中比较常见，例如拱形桥的修建中就设计到了解析几何的模型。把拱形桥中涉及的数学问题分析、概括出来，就能运用数学语言解决拱形桥中的拱高和半径等问题。

（五）排列、组合模型

排列组合模型的应用很广泛，在很多现实问题中都可以运用到这个模型。

（六）概率模型

在高中数学学习中，学生需要了解概率模型。概率模型是从具有不确定事件中提取出来的数学模型，通过解决概率模型问题来解决实际问题中的几率问题。

生活中存在数学模型的现象很多，学生在日常生活中要养成对事物进行深入分析的习惯，善于把实际问题的本质提取出来，把现实问题抽象成数学模型，从而获得问题的解决。

通过数学建模，学生对数学问题能从整体上进行深入理解和研究。学生把数学模型应用到现实生活中，能激发学生对数学知识探索的兴趣，同时运用所学的知识能解决他们身边的遇到的问题，这就能大大激发学生要学好数学的决心。

（责编 张景贤）