点击高考中的函数问题

叶海明

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2016）18-0083-02

函数是高考的一个重点知识，试题涉及函数的性质、零点与方程的根、导数与不等式的应用，考查了数形结合、分类讨论及函数与方程思想的应用及推理、探究能力。客观题中主要考查函数的性质的应用，中等难度为主。压轴题中重点考查函数与导数、不等式的综合应用。

一、关注函数的定义域

函数问题要先明确函数的定义域，要正确把握基本初等函数的定义域，尤其关注对数函数及根式与分式有意义的条件，直接考查定义域的题目，多出现在客观题中，属中等难度。但在函数问题中，如求单调区间及判断函数的奇偶性问题中，往往容易忽略要先求函数的定义域，导致解题的失误，要切记函数的第一步是求定义域。

例1：函数f（x）=的定义域为 。

本题综合了对数函数、二次函数、根式三个知识点，考查了根式、对数有意义的条件及对数不等式、一元二次不等式。由ln（2x2-x）≥0，可得定义域为（-∞，-0.5]∪[1，+∞）。

例2：已知函数f（x）的定义域为（-1，0），则函数f（2x+1）的定义域为 。

抽象函数的定义域就是要关注f（x）中的x等价于f（2x+1）中的2x+1，则2x+1的取值范围为（-1，0），可得所求的定义域为（-1，-0.5）。变式：已知函数f（2x+1）的定义域为，则函数f（x）的定义域为 。

二、关注函数的基本性质

函数的基本性质包括单调性、奇偶性、周期性，经常以基本初等函数、复合函数、分段函数及抽象函数为载体来进行考查，考题主要涉及两个方面：一是函数的单调性、奇偶性、周期性的判断；二是函数单调性、奇偶性、周期性的简单应用。多为客观题，属中等难度。

例3：函数f（x）=|ln（2-x）|的单调递增区间为 。

本题是复合函数的单调性问题，综合考查对数函数、一次函数及分段函数，先求函数的定义域为（-∞，2），对ln（2-x）进行分类讨论，脱去绝对值，将函数f（x）转化为分段函数，利用复合函数的单调性，可知所求的单调递增区间为（1，2）。复合函数的单调性的口诀要切记：同号为正，异号为负。本题也可以利用函数图像的变换，作出函数的图像，根据图像特征来判断函数的单调递增区间。

例4：奇函数f（x）的定义域为R，f（x+2），为偶函数f（1）=1，则f（8）+f（9）= 。

偶函数f（x+2）关于y轴对称，则函数f（x）关于直线x=2对称，因为奇函数f（x）关于原点对称，作出函数f（x）的简图，可知函数f（x）的周期为8，则f（8）=f（0）=0，f（9）=f（1）=1，所以f（8）=f（9）=1。函数的基本性质既有定义，又有图像特征，借助函数的图像特征，可以化繁为简，降低解题难度，这也是数形结合思想在函数中的一个应用。

例5：设a=0.60.4，b=0.40.6，c=0.40.4，则a，b，c的大小关系为 。

构造函数y=0.6x，y=0.4x，并作出两个函数的图像，并找到a，b，c三个数，可以得出a>c>b。利用函数图像来比较数的大小，形象且直观。若a=log2%i，b=log0.5%i，c=%i-2，情况如何呢？构造函数y=log2x，y=log0.5x，y=%ix，并作出三个函数的图像，可以发现a>0、b<0、c>0，则b最小，a、c不好判断，这时通常就要借助1作为中间量来进行比较，易得a>1、c<1，所以a>c>b。比较数的大小，本质上是在考查指数函数与对数函数的图像与性质，通过函数的图像就可以比较出数的大小，若不好比较，借助一个常数（通常为1）就可以解题。

三、关注函数的零点

例6：已知函数f（x）=2x+x3-2，在下列区间中，包含f（x）的零点的区间是（ ）。

A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，4）

判断零点在区间上是否有零点，可以直接利用零点存在性定理，将区间两个端点代入函数表达式，只要对应的函数值异号，就可以判断函数在区间上有零点。变式：函数f（x）在区间（0，1）内的零点个数是多少个？零点的个数问题，要构造函数：y=2x与y=-x3+2，并作出两个函数的图像，两个函数的图像在区间（0，1）内的交点个数就是函数f（x）在区间（0，1）内的零点个数，交点个数是1个，则零点个数也是1个。

四、关注恒成立及存在性问题

例7：若[1，2]内的任意一个实数x，使不等式2x（x-a）<1恒成立，求a的取值范围。

函数恒成立问题要将参数与变量分离，可得a>x-0.5x，构造函数f（x）=x-0.5x，因为a>x-0.5x恒成立，则a大于函数f（x）的最大值。因为y=x为增函数，y=0.5x为减函数，所以f（x）在[1，2]上为增函数，则f（x）的最大值为1.75，故a>1.75。变式：若存在[1，2]內的实数x，使不等式2x（x-a）<1成立，求a的取值范围。变式是存在性问题，存在性问题与恒成立问题刚好相反，此时要使a>x-0.5x成立，则a大于函数f（x）的最小值，可知f（x）的最小值为0.5，故a>0.5。恒成立与存在性问题要注意二者的区别：（1）若f（x）≤a恒成立，则fmax≤a；若f（x）≤a有解，则fmin≤a；（2）若f（x）≥a恒成立，则fmin≤a；若f（x）≤a有解，则fmax≤a，可以发现寻找的最值情况刚好相反，不能混淆。

例8：若函数f（x）=kx-lnx在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围为 。

因为函数f（x）=kx-lnx在区间（1，+∞）单调递增，所以f（x）=k-≥0在（1，+∞）上恒成立，即k≥在x∈（1，+∞）上恒成立。因为的最大值为1，所以k的取值范围为k≥1。本题是用导数来求解函数的单调性问题，同时也是恒成立问题。用导数来求解函数的单调性问题时，须注意若求函数的单调递增区间，则令f '（x）>0，但若函数f（x）在区间（a，b）单调递增，则f '（x）≥0在区间（a，b）恒成立，单调递减情况类似。

函数问题要关注定义域，解题过程中要注意函数图像的应用，数形结合思想的应用会给解题带来很大的便利，导数为研究函数的性质提供了新的工具，也是解决函数主观题的主要工具，恒成立及存在性问题的基本思路是通过分离参数，转化为求函数的最值。