重视解题后反思，提高学生的思维能力

蒋佑上

《普高数学课标》明确要求教师要“注重提高学生的数学思维能力，强调培养学生反思迁移能力”。重视学生的题后反思能力的培养可以有效避免解题的错误，深化、掌握解题思路；是对思维进程、思维结果进行的再认识、调整和提高的过程；是优化解题方法，引申、拓广题目结论，提高分析问题、解决问题的能力；培养学生思维的深刻性、广阔性、批判性和灵活性；达到举一反三、融会贯通的目标。解题后我们怎样反思比较有效呢？我认为可以从以下几个方面进行。

一、反思思考过程

回顾解题的思考过程，对解题思路、分析、运算过程、语言的表述进行反思，理清思维的障碍和突破点。具体可以提出几个问题反思：1.本题运用了哪些思维方法？2.解题过程中运用到哪些知识和技能？3.哪些步骤比较容易发生错误？原因何在？如何防止？4.解决问题的关键何在？如何进行突破？解题过程中最初遇到哪些困难？后来又是如何解决的？有哪些成功的经验和失败的教训？

解：设所求点为P（x，y），∵PF1⊥PF2，∴P点在以F1F2为直径的圆上，故有x2+y2=25的圆上，又P（x，y）在椭圆上，有+=1。联立上面两方程得P（-3，±4）、P（3，±4）。

做完本题可做如下思考：由于求解的是一个点，因此可以设定点的坐标，然后寻找该点所需要满足的条件，利用方程方法求解。解题过程中运用到圆的方程、点与曲线的位置关系、求两曲线交点等知识技能，易错点是题意可能曲解为“求与焦点的连线互相垂直的点”。防止误入歧途的方法是逐字逐句审题，解决问题的关键是写出以F1，F2为直径的圆的方程。

二、反思一题多解

本题求解中，用好“所求的点与两焦点的连线互相垂直”这一条件是解题的关键，它可以通过圆、斜率、面积、向量、勾股定理等形式来表达，比较各种解法中用交轨法求解最简单。当然在反思一题多解的各种方法的过程中，也复习了向量、面积等相关内容，发散了学生思维，开拓他们的视野。

三、反思拓展变式

对典型题目要充分利用题目资源，改变题设、结论或图形，拓展变式，发展多向思维，进一步培养学生思维的深刻性、广阔性和灵活性。如解完上面例题，可对此题进一步分析：本题所求解的是以F1，F2为直径的圆与椭圆交点的坐标，可判断交点的个数，如果c>b，则有4个交点；如果c=b，则有2个交点；如果cb>0）上的一点，∠PF1F2=15°，∠PF2F1=75°，则椭圆离心率是多少？

四、反思多题同解

通过题后反思，小结了成功的经验和失败的教训，突破了思维的难点，逐步推广到一类问题可以用同样的思考方法解决。如解决判断三角形的形状习题中，通过反思归纳，无非应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形。依据已知边角关系去判断，主要有两条途径：1.利用正余弦定理把已知条件转换为关于边的关系。2.利用正余弦定理把已知条件转换为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角关系，期间要注意运用三角形内角和定理及相关的诱导公式。在两边有相同因式的等式变形中，不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解。又如利用导数求解某函数有关单调性、极值、最值问题，或已知条件涉及单调性、极值、最值，有关题型很多，但解题时都要涉及函数求导，利用数形结合，且都要在定义域内求解，等等。一个数学题目，在解答后除了进行以上各步的反思外，还可以进一步联系拓广，进行综合、归纳、提升，找出共性和规律，提炼哲学观点，领悟数学的主要思想方法和本质特征。经常进行这样的归纳反思，可以达到触类旁通，“窥一斑而知全豹”的效果，做一题会一类，学生的学习效率将大大提高，对知识的理解将更加深刻。

总之，学生反思能力的培养要从点到面，循序渐进，逐步提高意识，形成习惯。反思的形式和时机因人因题有所不同，可以解完题后马上开始，也可以等知道正确解答后进行；可以每题都反思，也可以有针对性地进行反思；可以从多方面进行反思，也可以从一两方面进行反思，每个同学可以根据具体情况灵活进行。作为数学教师要有意识多安排、指导学生进行题后反思，努力提高学生做题效率，发展学生的数学思维能力，提升学生的数学素养。

（作者单位：福建省大田县第五中学）