三力交汇原理的应用

李坤

如果物体受到三个不平行的力的作用而平衡，则这三力必在同一平面内，且三力必共点. 这就是三力交汇原理.

“杠杆类”平衡问题

例1 用力[F]将水平地面上的一块均匀木板一端抬起如图1所示，保持静止. 分析地面对木板有无摩擦力作用？

解析 木板除受重力，还受力[F]，如果把地面对木板下端的作用等效为一个力， 就是受三个不平行力而平衡，遵循三力汇交原理，可知三力的共点位置，如图2所示. 由于弹力垂直地面向上，故可知静摩擦力水平向右.

点拨 本题可以看出三力交汇原理对“杠杆类”平衡问题有很强的甄别作用. [ 图3]

例2 [A、B、C]三物体分别拴在三段足够长的轻绳上，跨过天花板上两轻小定滑轮悬挂如图3所示. 已知[mA]=4kg，[mB]=2kg，为使系统平衡时，中间物体[C]能在两轮之间，则物体[C]的质量可取（ ）

A. [mC]=3kg B. [mC]=4kg

C. [mC]=5kg D. [mC]=6kg

解析 系统平衡时，结点[O]处所受合外力为零，三力矢量构成封闭的矢量三角形，如图4甲所示.

甲 乙 丙

再采用极端思考法：当[mC]取某极大值时，因绳足够长，则结点[O]趋近右轮正下方，[O]上头两段趋于竖直，如图4乙所示，则[mC]=6kg

当[mC]取某极小值时，结点[O]趋近左轮，[O]上边右侧绳趋于水平，如图4丙所示，则[mC]=[42-22=23]kg

综上得[23kg

点拨 在较为复杂的单调变化问题中，常常采用极端思考的思维方法，可将问题特征很快凸显出来. 物理选择题一些常用的思考方法，有如比较淘汰法、矢量图解法、图象法、假设法、等效转换法、模型类比法、极端思考法、极限分析法、特值代入法、单位检验法等.

刚体的平衡问题

例3 如图5所示，一个光滑的半球形碗内，一根轻杆两端固定有两小球A、B. 当它们静止时，A、B与球心O的连线与水平分别成60°和30°. 求A、B兩球的质量之比和碗对它们的弹力大小之比. [ 图5]

解析 方法一：先分析两球受力，如图6所示，平衡时，根据力矢量三角形与几何三角形相似，对小球[A]，有[mAgOC=FAC=NAR]

对小球[B]，有[mBgOC=FBC=NBR]

由于[F=F]，故[mAmB=BCAC=NANB]

又[ACBC=x1x2=Rcos600Rcos300=13]

联立解得[mAmB=NANB=31]

本题可等效为两个“拉 [ 图6]力”[NA]、[NB]将刚体“吊”在“悬点”[O]处平衡，故整体的质心在[O]得正下方[C]，整体的合外力为零，构成封闭的力矢量三角形. 由于[NA⊥NB]，整体的重力[（mA+mB）g]竖直向下，故由矢量图6，得[NANB=31]

方法二：杆连接[A、B]两球可以看作整体，但不是质点，是刚体. 静平衡的刚体同时满足两个条件：（1）所受外力的矢量和为零，含轴处受力；（2）对任意转轴，所受外力的力矩代数和为零，即

[∑F=0∑M=0]

根据刚体的平衡条件[∑M=0]，对整体，不计内力[F]和[F]，以圆心[O]为轴，[mA]和[mB]的力臂都为零，力矩为零；有[mAg?Rcos60°=mBg?Rcos30°]，得[mAmB=31]

点拨 比较上述解法，显然从力矩的角度思考更简明轻松. 要求同学们掌握力矩的概念，会找各力的力臂——转轴到力的作用线的距离.

例4 长[L]、质量 [ 图7]为[m]的均匀直杆[AB]放置在光滑的半径为[R]的半球形碗内，如图7所示，平衡时，求碗口处对杆的支持力大小[NB].

解析 本题直杆受三个不平行的力而静止，三力矢量和为零，三力必共点（三力汇交定理），三力构成封闭的“力矢量三角形”，如图8所示.

根据图中几何三角形与力矢量三角形相似，有

方法一：[mg2R=NBL2]，得[NB=L4Rmg]

方法二：[BC=2Rcos2θ=L2cosθ]，得[cos2θcosθ=L4R]

在力矢量三角形中，由正弦定理，有

[NBsin（900-2θ）=mgsin（900+θ）]，即[NBmg=cos2θcosθ]

联立解得[NB=L4Rmg]

方法三：均匀直杆[AB]大小不能忽略，不是质点，是刚体. 对任意转轴，杆所受外力的力矩代数和为零. 以[A]为转轴，力[F]的力臂为零，力矩为零，有

[NB?2Rcosθ=mg?L2cosθ]，得[NB=L4Rmg]

点拨 有固定转动轴物体平衡问题解题步骤：1.明确研究对象，即明确绕固定转动轴转动的是哪一个物体.2.分析研究对象所受力的大小和方向，并画出力的示意图.3.依题意选取转动轴，并找出各个力对转动轴的力臂，力矩的大小和方向. 特别是找力臂很关键. 4.列出两个平衡方程求解.