对一道弹簧振子问题的讨论

田柯

有这样一道题：如图1所示，一轻弹簧一端固定，另一端连接一物块构成弹簧振子，该物块是由a、b两个小物块粘在一起组成的。物块在光滑水平面上左右振动 ，振幅为A0，周期为T0。当物块向右通过平衡位置时，a、b之间的粘胶脱开；以后小物块a振动的振幅和周期分别为A和T，则

A A0（填“>”“<”“=”）；

T T0（填“>”“<”“=”）。

看到其中第二问是求T和T0的定性关系，我拿到题目首先想到直接用弹簧振子的振动周期公式[T=2πmk]，当物块a与b在平衡位置分离后，振子的质量减小，其他量均不发生变化，很容易得到T

但问题是，在物理课标的要求中，弹簧振子的周期公式不要求我们知道，教材中也没有出现过，所以我又有点怀疑这一设问是不是超綱了？

经过查找资料，更进一步分析，我发现其实不用弹簧振子的周期公式仍然可得出正确结果。步骤如下：

首先建立物理模型。原题是一个轻弹簧拖动一个物体，物体质量发生一次变化。可以视为完全相同的两根弹簧（或同一弹簧）分别拖动两个质量不同的物体。我们把题目中的“小物块a与b粘合在一起时”（质量为m1）设为弹簧振子1，把“小物块a与b脱离开后”（仅a作为振子，质量为m2）设为弹簧振子2，两振子的轻弹簧是完全一样的。如图2所示。[弹簧振子1][弹簧振子2][图2] [a][a][b]

原题是弹簧振子通过原长位置时发生质量变化，可视为，弹簧振子1和2以相同的速度同时通过平衡位置，此刻开始计时，此后经过T/4，两振子各自达到最大位移，分别比较二者所对应的时间及位移即可回答题目所问。

初状态：两个振子以相同的速度v0通过平衡位置，由于m1>m2 ，因此，EK1>EK2。

末状态：两个振子各自达到最大位移时速度均为0，动能全部转化为弹性势能。

这是一个始末状态已知，要求对过程（时间、空间）进行讨论做出判断的问题。

方法1：

从功能关系的角度分析（以分析出的位移作图）。

课本明确指出：简谐振动的能量与振幅有关，能量大振幅大。由上可知两弹簧振子能量关系EK1>EK2，所以两振子的振幅关系是A1>A2，振子1的位移大于振子2的位移。结合相同的始末状态，做出v-t图象，在图象中位移关系应是曲线（余弦）与坐标轴所夹面积，应有面积S1>面积S2。所以可画得图象如图3所示：

[v0] [v][t][t1][t2][图3] [o]

由图象的横轴上，很容易看出t1>t2 ，则T

方法2：

从力和运动的角度分析（以分析出的加速度作图）。

两振子在从平衡位置运动到最大位移处的过程中，位移x不断增大，弹力不断增大、加速度a也在不断增大，但由于m1>m2 ，对于相同的位置，两振子所受弹簧弹力相同，所对应的加速度a1s2，即A

[v0] [v][t][t1][t2] [图4][o]

方法3：

仍然按上面所建的两个弹簧振子模型和所讨论的运动过程：两物体速度均是由v变到零。因为速度的改变量相同，所以质量大的物体动能的变化量大、动量的变化量大。

上述物体的状态变化是弹簧弹力作用结果。（质量不同的两物体是在相同弹簧或同一弹簧分别对两物体作用结果）

物体动能变化量大，按动能定理，需要外力对其做功多，同一弹簧从原长开始连续变化，若做功多，位移一定大（振幅）；即A

物体动量变化量大，按动量定理，需要外力对其冲量大，同一弹簧从原长开始连续变化，若冲量大，时间一定长（周期）。即T

这种思考则是抓住了问题的实质，应用了物理规律确切的含义，所以问题的解决变得更加简单、明了。

以上解题过程建立物理模型结合了等效法，等效为两个弹簧振子状态量v发生同样的变化，使得原题中一个振子质量变化前后运动状态与过程的全面比较变得一目了然，这种物理方法也值得借鉴。

通过讨论这一问题，也给我带来了一些启示：很多新公式（如弹簧振子周期公式）和新结论的直接应用给我们带来方便，但不要让它抑制了我们的思维，有了困惑时别忘了回头看看物理的基本公式（运动学公式、牛顿定律、动能定理、动量定理、守恒定律等原始规律），回头想想物理的基本思想方法（建模、等效、受力、状态与过程、图象分析等），因为有时只有回到这些“原点”性内容，才能找到更本质的东西，对问题才能看得更透彻，得以有更多的视角去审视新问题，得以用更多的方法去解决新问题，随着问题的解决也使我们对物理概念、规律、物理思想方法在应用中加深了理解，我们才会得到更大的收获。