板块整合之圆锥曲线

魏兰

立足教材，让知识点成链、成网

数学试题具有“源自教材，高于教材”“题在书外，根在书中”的特点. 在复习中，如果我们能立足于教材、跨章节地研读教材，就会发现很多体现数学核心概念的习题原型. 例如复习椭圆、双曲线的定义时，通过深入挖掘教材的习题、例题后发现，教材给出了五种形式.

形式1：（椭圆、双曲线的第一定义，选修2-1第49页A组题1）如果点在运动过程中，总满足关系式，点的轨迹是什么曲线，为什么，写出它的方程.

形式2：（椭圆、双曲线的第二定义，选修2-1第62页B组题3）点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，求点的轨迹.

形式3：（选修2-1第41页例3，第55页探究）平面内点与两定点连线的斜率之积等于非零常数的点的轨迹，加上两点所成的曲线可以是圆、椭圆或双曲线. 求点的轨迹，并讨论的形状与值的关系.

形式4：（选修1-1第42页和第54页）圆的半径为定长，是平面内一点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是什么，为什么？

形式5： 已知复平面内两定点，，动点表示复数，则方程所表示的点的轨迹分别是：

（1）；

（2）.

例1 平面内与两定点连线的斜率之积等于非零常数的点的轨迹，加上，两点所成的曲线可以是圆、椭圆或双曲线. 求曲线的方程，并讨论的形状与值得关系.

答案 当时，曲线的方程为是焦点在轴上的椭圆；当时，曲线的方程为，是圆心在原点的圆；当时，曲线的方程为，是焦点在轴上的椭圆；当时，曲线的方程为，是焦点在轴上的双曲线.

点评 通过对本例题的复习我们可以很好地掌握椭圆、双曲线方程的四种途径，并发现这两种曲线的区别与联系，能够感受到圆锥曲线作为一个板块概念的整体性，以及三种重要曲线的概念的区别.

小结提炼，让经验规律形成方法

对于圆锥曲线与直线的位置关系的问题，我们通常将直线方程与圆锥曲线方程联立，按照以下步骤求解：

（1）设交点坐标与设直线方程（注意巧设方程形式或）；

（2）联立方程组，消元得到关键方程（提醒：一定要考虑二次项系数与）；

（3）韦达定理（提醒：曲线为抛物线时，经常是把抛物线方程代入直线方程更简单）；

（4）根据条件转化，常有以下类型：

（5）化简与计算；

（6）细节问题不能忽略：①判别式是否已经考慮；②直线的斜率不存在或者为零的特殊情况等.

例2 如图，已知椭圆的中心在原点 ，焦点在轴上，离心率为，且经过点（4，1）. 直线交椭圆于两个不同的点.

（1）求椭圆方程；

（2）求的取值范围；

（3）若直线不过点，求证：直线与轴围成一个等腰三角形.

答案 （1） （2） （3）略

点评 “设而不求”是解决直线与圆锥曲线问题的基本方法，“代点作差”与“代线消元”是解决直线与圆锥曲线问题的基本途径.

以点带面，让触类旁通成为可能

课本中的特例常可推广到一般情形，从而得到用途较广的定理、公式，一些考题常常源于课本习题的推广结论. 我们在复习备考时注意发挥此类特例以点带面的功能，并且有意识地对例题进行变化，挖掘问题的内涵和外延，提高思维的深度与广度，力争“做一题，会一 法，通一类”. 选修2-1第69页例4，第73页题5，显然这道例题涉及抛物线焦点弦的性质，在复习中可将此例题条件变化，得到以下结论.

如图，是过抛物线的焦点的弦，是准线的垂线，垂足分别为，是的中点，是的中点. 设点，点，直线交轴于点，有如下结论：① ；②；③（为的倾斜角）；；④；⑤以（或）为直径的圆与轴相切，以为直径的圆与准线相切；⑥是抛物线的切线.

其中结论③还可以变换题目背景，先将抛物线换成椭圆、双曲线，再用极坐标法进行证明得到结论. 在不同圆锥曲线背景下研究相同的性质，强化解决问题的通性通法，通过归纳推理、类比推理，将圆锥曲线的复习立体化，解决了将椭圆、双曲线和抛物线分割开复习的思维误区.

例3 已知以为焦点的抛物线上的两点满足，则弦的中点到准线的距离为 .

答案

点评 通过对抛物线焦点弦性质的归纳，大家可以了解到抛物线焦点弦的性质，在解题中达到小题巧做的目的，从而有效节约时间. 另外，借助探究抛物线焦点弦的性质的方法，可以去研究椭圆、双曲线的焦点弦性质，最终得出圆锥曲线焦点弦所具备的性质，从而培养类比与归纳推理的能力，形成完善的知识体系.