板块整合之概率与统计

李平++赵捷++杨利倩

概率与统计极易与随机变量的分布列（含条件概率、二项分布、超几何分布、正态分布等）、定积分、规划问题、常用逻辑用语等交汇，是高考必考且属于中等偏易的内容，也是务必掌握好的内容. 本文从四个方面的整合出发，以举例的形式加以说明.

概率统计与集合（电路）的整合

例1 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的位顾客的相关数据，如下表所示.

[一次

已知这位顾客中的一次购物量超过件的顾客占.

（1）确定的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；

（2）求一位顾客一次购物的结算时间不超过分钟的概率（将频率视为概率）.

解析 （1）由已知得，

.

该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为：（分钟）.

（2）记为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过分钟”，分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为分钟”.

根据题意将频率视为概率得，

.

是互斥事件，

.

故一位顾客一次购物的结算时间不超过分钟的概率为.

点评 两事件至少有一个发生（和事件）对应集合（或物理中并联电路），和事件的概率对应集合的“容斥原理”；两事件同时发生（积事件）對应集合（或物理中串联电路）；事件的对立事件对应集合的补集（即）；基本事件空间对应构成全集，事件的对立事件的概率对应于. 利用集合语言、集合运算与集合的思想，去理解事件及其概率的运算，很容易把所求事件进行分解，进而利用所学知识，得到所求事件的概率，这是一种便捷、行之有效的方法.

概率统计与计数方法的整合

例2 一盒中装有张各写有一个数字的卡片，其中张卡片上的数字是，张卡片上的数字是，张卡片上的数字是. 从盒中任取张卡片.

（1）求所取张卡片上的数字完全相同的概率；

（2）表示所取张卡片上的数字的中位数，求的分布列与数学期望.

（注：若三个数满足，则称为这三个数的中位数.）

解析 （1）由古典概型中的概率计算公式知，所求概率为.

（2） 的所有可能值为

而，

，

，

故的分布列为

[ ]

从而.

点评 概率统计与随机变量分布列、计数方法相整合，是高考的必备题型. 离散型随机变量的分布列的书写，离不开概率的计算，此种类型概率计算往往是“古典概型”. 而“古典概型”概率的计算往往要用到计数方法——加法原理、乘法原理、排列与组合.

概率统计与规划问题的整合

例3 给定正数，然后随意写出两个小于的正实数（这两个数可以相等），求这两个数与一起能构成锐角三角形的概率.

解析 设写的两个数为，依题意知，要满足

而能构成锐角三角形（其中为最大的边），应满足的条件是

作出上述不等式组表示的几何区域如下图.

则能构成锐角三角形的概率为

.

点评 “几何概型”是必修概率章节中的基础内容，“几何概型”事件的概率为区域的“测度比”，不等式组的平面区域是“几何概型”的重要素材，这种整合也是近年来高考的常态.

概率统计与定积分的整合

例4 如图，在边长为（为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________.

解析 因为函数的图象与函数的图象关于正方形的对角线所在直线对称，

设图中两块阴影部分的面积为.

方法1：.

方法2：.

故根据几何概型的概率公式得，该粒黄豆落到阴影部分的概率.

点评 定积分的几何意义是曲边梯形的面积，这使得满足“几何概型”的事件的概率的计算与定积分整合成为可能.