板块整合之函数与导数

董冲冲++葛红艳

本文旨在对函数与导数知识、题型、方法等进行整合，以期跳出“函数与导数”章节的小圈子，走进板块的大世界，登高而望远、一览众山小.

函数、导数与解析几何的整合

例1 如图，抛物线，，点在抛物线上，过点作抛物线的切线，切点为，（当为原点时，，重合于），，切线的斜率为.

（1）求的值；

（2）当在抛物线上运动时，求线段的中点的轨迹方程（，重合于时，中点为）.

解析 （1）因为抛物线上任意一点的切线斜率为，

又切线的斜率为，

所以点的坐标为.

故切线的方程为.

因为点在切线上，

于是.

解得，.

（2）设，

由为线段的中点知，

，. ①

切线的方程为，

即.

同理，切线的方程为.

从而的交点.

因为在曲线上，

则，即. ②

由①②得，.

又因为当，重合于时，的中点为，坐标满足，

所以线段中点的轨迹方程.

点评 函数在点处的导数的几何意义是曲线在点处的切线的斜率. 而上（下）半个椭圆（圆、双曲线、抛物线等）可以看作一个函数（图象），这使得导数与解析几何有了密切的联系. 一般地，与曲线的切线有关的问题，都可以借助导数来解决，但要区分“在点”的切线与“过点”的切线.

导数、函数与方程的整合

例2 已知函数有两个零点.

（1）求的取值范围；

（2）设是的两个零点，证明：

解析 （1）由题意知，函数有两个零点，即方程有两个不同的解.

令，则.

显然当时，，单调递减；当时，，单调递增.

又当时，恒成立，依据函数的这些属性，作出它的大致图象如下.

显然，要使函数与函数有两个不同的交点，只需，即.

（2） 不妨设，由（1）知，，从而.

因为在上单调递减，且，

所以要证，等价于证，即证.

由于，

而，

所以消去得，.

设，则.

故当时，，而，

故当时，.

从而，故.

点评 一般地，处理利用导数工具研究含参超越方程的根（个数与分布等）的问题有两种方法：一是转化为函数零点问题，并借助于零點存在定理求解；二是利用导数工具研究出函数的单调性、极值、最值（或值域），进而画出大致图象（数形结合）来求解.

函数、导数与不等式的整合

例3 已知函数

（1）求在处的切线方程；

（2），恒成立，求的范围.

解析 （1）由得，

，则

从而在处的切线方程为.

（2），恒成立，

即，恒成立，

亦即，恒成立.

由教材选修2-2第32页B组题1第（3）小题：（构造函数用导数易证）可得，当时，有，进而，则

所以.

点评 函数、导数与不等式的整合，一般有以下两种形式：一是证明不等式，二是已知不等式能成立或恒成立求参数的范围. 无论是哪一种，都需要构造新函数，然后利用导数工具，通过所构造函数的单调性、极值或最值来解决问题. 值得借鉴的是，应用教材习题“当时，”，可以以题解题、借力打力.

函数、导数与物理跨学科整合

例4 （人教课标A版教材选修2-2第10页题4） 已知车轮旋转的角度与时间的平方成正比，如果车辆启动后车轮转动第一圈需要0.8s，求转动开始后第3.2s时的瞬时角速度.

解析 设车轮旋转的角度为（弧度），旋转时间，依题意可设，.

则当时，，从而.

故，则.

所以.

即转动开始后第时的瞬时角速度为.

点评 “数理化相通”！通过对课程中“导数及其应用”的学习，为我们学好物理搭建了平台！在物理学习中（如运动学、电磁学等章节），如能恰当运用导数这一数学工具（物理教材称“微元法”），不仅可以简化分析过程、提升思维层次、深化对物理概念的理解，还能深刻体会到数学在物理中的价值.

综上可知，函数的载体性与导数的工具性，不仅让函数、导数与其他知识的整合水到渠成，也让这种整合成为了近年来高考的热点、亮点及“不动点”. 导数是工具，函数、方程、不等式是载体，跨学科是延拓，不管怎么变换考查方式，都离不开函数的“单调性”“极值”和“最值”这些基础.