高中数学中排列组合的学习要点探讨

曾辰宇

摘 要：在高中的数学课程中，排列组合是学习重点，本文主要研究高中数学中排列组合的学习要点，总结了三种解决问题的方法，分别是直接法、插空法、间接法。直接法要挑选出题目中的重点条件，插空法用于多个元素要求按照不相邻条件排列的情况，间接法在解决问题要先忽略题目中的一些附件条件。最后讨论排列组合知识在密码破解中的作用，希望能为关注此话题的研究学者提供参考意见。

关键词：排列组合；插空法；密码

在学习的过程中，我们比较关注数学思想，比较注重排列和组合这两大计数原理在数学题目中的应用。同时也注重这两种计数方式在本质上的区别和联系。在做题时我们往往都能写出解题过程，但是解出的答案却不正确。所以在做题时要掌握对题目化繁为简的方法，也要将不熟悉的问题转化为熟悉的问题。要对排列组合的知识有更深层次的理解，真正学会如何辨别排列和组合。

1直接法

直接法适用于解决一部分的排列组合问题，挑选出题目中的重点条件，分析这些条件中的各个元素，判断题目中的限制基础，进而考虑其他的多种元素问题。比如重点考虑其中的位置元素，确定题目中限制位置的主要要求，之后再考虑其他的条件。一道排列组合的题目是这样的：某次教务工作人员排列班级的课程表，课程表的课程有化学、物理、生物、语文。课程安排有特殊的要求，就是物理课程不能被安排在第二节课上，也不能安排在第三节课上，此时课程的安排方式有多少种？在解答这一排列组合的题目时，要抓住关键的限制要求，就是物理课程不能安排在第二节课上，也不能安排在第三节课上，所以要先思考物理课程如何安排，此时物理课程只能被安排在第一节课上或者是第四节课上，所以物理课程的排列方式有[C12]种，之后再考虑其它的课程要如何安排。此时可以按照随机排列的方式来安排，组合方式共有[A33]种，此时这四个学科的排列方式共有[C12A33]=12种。

2间接法

间接法能够解决一部分的排列组合问题，使用这种方法解决问题就是要先忽略题目中的一些附件条件，之后再计算排列组合的数量，接着将附加条件考虑在内，计算出不符合题目要求的数量，最后前后相减，得出题目的答案。有这样一道题：學校举办运动会，现有5名男同学、4名女同学，要从这些学生中挑选出3名参加运动会，而且挑选的学生既要有女生，还要有男生。请问共有多少中挑选方式。如果使用直接法来解决这一问题，难度较大，思考起来比较复杂。所以应该使用间接法来解决这一问题。题目中的一个附件条件是组合方式中必须要同时有男生和女生，间接法就是先忽略这一条件。这样问题就变成了从9名学生中挑选3名学生，此时组合方式共有[C39]。之后思考附加条件，考虑其中的两种情况，一种是挑选的3名学生都是男生，另一种是挑选的3名学生都是女生，要把这两种情况剔除，挑选的3名学生都是女生的组合方式有[C34]，挑选的3名学生都是男生的组合方式有[C35]，最后列出这道题的最终算式：[C39]-[C34]-[C35]=70种。

3插空法

插空法能够解决一部分的排列组合问题，这种方法适用于多个元素要求按照不相邻条件排列的情况。其中一些元素没有限制条件，先把这些元素排列好。之后将有限制条件的元素插入其中。此时列好的算式就与题目的要求完全符合。比如：学校组织学生和老师一起去电影院看电影，在电影院内，一排座位的数量是12个，4名老师和8名学生坐一排，要求是教师不能相邻，而且要坐在学生中间，那么一共有多少种排列方式？可以利用插空法来解答这一题目。学生位置没有限制条件，组合方式共有[A88]种。老师的位置有限制条件，8个学生之间有7个空档，将4名老师安排在这7个空档位置上，安排的方式共有[A47]种。所以这道题的最终算式就是[A88A47]。这一题目的本质是不相邻排列问题。其中有条件限制的是老师的座位，而安排学生的位置不受限制，所以要使用插空法特殊安排老师的位置。也就是说要先安排没有条件限制的元素，之后再安排有条件限制的元素。这样问题的解决就会变得比较容易。

4密码问题

当前互联网获得了良好的发展，密码的应用也变得很有必要，能够有效保护用户的隐私，能够有效规避黑客袭击，确保用户的自身权益不受侵害。密码的作用是验证用户的身份，而且这种方式比较方便，在网络应用比较广泛。学习密码所有排列组合的知识，能够了解密码所有存在的排列可能，进而保证自己所设密码的安全性。以银行卡密码为例，设置的密码是六位数，运用排列组合的知识，解决“六位数的密码共有多少种排列组合方式”这一问题，答案是106。在网络技术十分发达的条件下，很有可能在较短的时间内，就将银行卡密码破解，所以六位数的银行卡密码并不安全，银行为了切实保障用户的财产安全，规定银行卡如果一天内三次输入的密码都是错误的，那么银行卡就会被锁定。此时犯罪分子如果想要破解六位数的密码，一天只能尝试两次，将所有的可能都尝试一遍需要花费1369年。这样破解银行卡密码的难度就变得很大。其他的密码，比如QQ密码、微信密码都需要设置英文字母大小写，还要与数字、符号结合，这样才能保证密码的安全。在实际生活中，黑客破解密码使用的方法是顺序排列组合，所以我们要养成不定期更改密码的习惯，这样密码就永远不会被破解。

5总结

综上所述，古典概率论和排列组合之间有着十分紧密的联系，这两种知识覆盖各个领域，有着十分广泛的应用范围。如今计算机技术快速发展，其中编码程序、升级软件构架都是在排列组合的知识基础下完成的，所以作为一个高中生，要熟练掌握排列组合相关知识，为日后步入大学乃至社会打下良好的基础。

参考文献

[1]谢滢欣.高中数学中排列组合问题的实际应用[J].数学学习与研究，2017（19）：134.

[2]郝田军.新课改背景下高中数学“排列、组合”单元教学设计与实践[J].数学学习与研究，2016（15）：78.