基于赋权已实现波动率的股票市场VaR度量

（西北农林科技大学理学院 陕西杨凌712100）

一、赋权已实现波动率

赋权已实现波动 （weighted realized volatility，WRV）为金融资产日内收益平方的加权之和，即：

公式中，rt，j=r*［（t-1）h+hjN-1］-r*［（t-1）h+h（j-1）N-1］

rt=r*（th）-r*［（t-1）h］，t=1，2，…，T；j=1，2，…，N。 其中，h＞0，为固定的时间区间（本文指一天，即 h=1）；T为样本容量；N为在 ［（t-1）h，th］时间段内等时间间隔的采样次数（h=1，则 N 为日抽样频率）；r*［（t-1）h+hjN-1］金融资产在第［（t-1）h］天的第 j个日内对数价格；r*（th）表示第 th 天的对数价格；rt，j为金融资产在第t天的第j个时间间隔的日内对数价格收益；rt为金融资产在第t天的日间对数价格收益。N为在［t，t+1］时间段内等时间间隔的采样次数。

其中wj为日内收益平方的权重，wj的确定直接影响到赋权已实现波动率的精确性和有效性。无偏性是一个估计量最重要的性质之一，要想精确的估计金融资产价格收益波动，赋权已实现波动率首先应该满足无偏性。但是，有时仅仅满足无偏性还是不够的，因为无偏性只能保证估计量的期望值等于其真值，而它本身所取的值大部分很可能与真值相差很大。所以为了保证赋权已实现波动率的取值能大部分集中在金融价格收益波动的真值附近，我们还需要来确定一个最优的权重从而使得赋权已实现波动率的方差达到最小。

二、长记忆存在性检验

如果平稳时间序列{xt}的自相关函数ρτ依负幂指数率（双曲率）随滞后阶数 τ的增大而缓慢下降，即 ρτ～Cτ2d-1，τ→∞。 其中C为常数，称{xt}为长记忆时间序列，一般，当0＜d＜0.5时，称时间序列{xt}为长记忆过程，d＜0时，{xt}为中等记忆过程。

其中关于长记忆参数d的估计，本文采用的是聚合序列绝对值法，即：设时间序列{rt}，t=1，2，…T，将其分成样本容量为m的［T/m］个子样本，对于固定的m值，可以得到一个聚合序列：

其中C为常数，H＜1，为Hurst指数，取不同的m值，根据（3）式建立如下回归方程：

其中C1为常数，依上式可以得到H的估计值。再由d=H-0.5得到d的估计值。

三、波动率预测模型：lnWRV-ARFIMA模型

基于赋权已实现波动率的长记忆性，本文考虑采用ARFIMA模型的扩展形式lnWRV-ARFIMA，来对赋权已实现波动率进行建模。模型形式如下：

其中，L 为滞后算子，|d|＜0.5，μ0为{lnWRVt}的均值，εt～i.i.d.（0.σε2），φ（L）和 θ（L）分别为 p 阶和 q 阶平稳的滞后算子多项式。

四、VaR模型

VaR是在一定的置信水平和一定的目标期间内，某金融工具或投资组合可能出现的最大损失 （或最坏情况下的损失）。即对于选定的置信水平α，VaR可以表示为：

P（Rt＜VaR）=1-α

其中Rt为资产或资产组合在持有期内的损失，VaR为置信水平α下处于风险中的价值。

计算VaR关键就在于确定投资组合未来损益的概率密度函数。假设各时点上的收益服从具有时变方差的条件正态分布，即：

f（Rt|Ωt-1）～N（μt，ht）

其中Ωt-1表示第t-1时刻及以前的信息集f（·）表示条件概率密度函数。则：

其中Uα为标准正态分布α水平下的单侧分位数。（5）式可以变换得到：

μt是金融资产投资组合的收益率的均值，反映了收益率的平均水平；ht是金融资产投资组合收益率的方差，表示收益率的波动特性，即波动率。由此可见，建立正确的波动率模型对于金融市场风险价值的计算有非常重要的意义。

五、实证分析

（一）建模数据的选取。本文实证研究采用的高频数据是2010年4月19日至2012年4月18日上证指数5分钟间隔时段的收盘价，这期间共有485个交易日，共有23 280个数据。通过计算赋权已实现波动率序列取对数前后的均值、标准差、偏度、峰度、Jarque-Bera统计量发现：赋权已实现波动率序列的分布是非正态的，具有严重的偏斜和尖峰厚尾现象，而取对数后的已实现波动率和赋权已实现波动率序列反而比较接近正态分布，见表1，所以本文选择采用对数赋权已实现波动率序列来进行建模。

表1

下面对对数赋权已实现波动率序列进行平稳性和长记忆性检验：首先，进行平稳性检验，本文所采用的是单位根检验，由软件得到ADF统计值结果为-5.191256，小于1%显著性水平的临界值-3.443719，则对数赋权已实现波动率序列不存在单位根，所以序列平稳。其次，进行长记忆性检验，利用聚合序列绝对值法计算出的d值来确定其是否存在长记忆性。将{lnWRVt}序列分成样本容量为m=2，m=3，m=4，…，m=24，m=25，m=26的子样本，最后通过回归计算得H=0.8830，则 d=H-0.5=0.3830。 d=0.3830＜0.5，也说明了对数赋权已实现波动率序列具有长记忆性，可以利用ARFIMA模型进行建模。

（二）lnWRV-ARFIMA（p，d，q）模型的建立。 由前面的计算结果得d=0.3830，经计算μ0=-0.0619。本文采用AIC准则方法来为模型定阶，得到最优的p，q组合为p=4，q=4。且计算的滑动平均参数：Φ1=0.6580，Φ2=0.0473，Φ3=0.9078，Φ4=-0.6313；θ1=-0.3110，θ2=-0.0289，θ3=-0.9232，θ4=0.4035。所得模型结果为 lnWRV-ARFIMA（4，0.3830，4），即：

（1-0.6580L-0.0473L2-0.9078L3+0.6313L4） （1-L）0.3830（lnWRVt-0.1959） =（1-0.3110L-0.0289L2-0.9232L3+0.4035L4）εt

（三）模型的拟合结果。图1为前242个交易日的对数赋权已实现波动率的真实值和拟合值的对比图。

图1 真实值与拟合值的比较

下面对模型拟合的残差序列进行检验，以检验模型是否有效，图2为残差序列的自相关函数图：

图2 残差序列的自相关函数图

由自相关函数图的显示结果可以得出残差为白噪声序列，所以拟合模型是有效的。

（四）模型预测结果。利用 lnWRV-ARFIMA（4，0.3830，4）模型预测最近5天的对数赋权已实现波动率，并得出相应的赋权已实现波动率，见表2。

表2

六、基于赋权已实现波动率的VaR计算

VaR的计算中被广泛应用的模型有ARCH类模型族和SV类模型，而我们知道ARCH类模型族和SV类模型主要是针对频率比较低的日数据来对波动率进行建模的，不能充分体现日内数据高频特征。因此我们将金融高频数据的赋权已实现波动率这种新的波动度量方法引入到了VaR的计算中。通过对赋权已实现波动率建模我们得到t-1时刻WRVt的估计值。用它来代替（6）式中的ht，μt取日收益的均值（μt的一阶矩估计），这样便得到时刻的VaRt。VaRt的计算式变为：

一般情况下，日收益率的均值为0，如果我们取α=0.05的置信水平，那么正态分布的单侧分位数为uα=1.65，代入（7）式，就可以得到上海股市的风险价值表达式为：

从（8）式可以看出，VaRt相当于赋权已实现标准差的线性变换，而本文前面已经证实了金融高频数据的赋权已实现波动率序列{WRVt}具有长记忆性，则标准差序列同样也具有长记忆性，那么标准差序列经过线性变换后得到的序列{VaRt}也具有长记忆性，即具有波动的持续性，从而可以估计未来的风险价值，这对于风险管理有非常重要的意义。

七、结论

本文主要在高频金融数据的基础上建立了对数赋权已实现波动率，并对其一些性质进行了研究，发现取对数后的赋权已实现波动率序列仍具有长记忆性，并基于其长记忆性的特点建立了对数赋权已实现波动的分整自回归移动平均lnWRV-ARFIMA模型，并通过了残差检验，说明模型是有效的，最后提出一种基于赋权“已实现”波动率的VaR计算方法，由赋权“已实现”波动率的长记忆性得到金融波动的持续性，对风险管理具有一定的作用。