分类讨论：一种重要的数学方法

张国胜

摘要：分类讨论，是一种重要的数学思想，也是一种逻辑方法。该文主要阐述了分类讨论的含义，分类的规则与标准，分类方法的解题步骤等。

关键词：分类讨论；数学思想

数学思想是数学知识在更高层次上的抽象与概括，它蕴含在数学知识的发生、发展和应用过程中，是数学知识转化为数学能力的桥梁，也是学生数学素质培养的一个重要方面。数学思想是数学思维活动的导向。学习数学要理解、掌握数学思想和运用数学思想，因为“没有脱离数学知识的数学思想，也没有不包含数学思想的数学知识”。因此，在数学教学中，不仅要重视数学知识的学习，同时也要重视数学思想的掌握。只有二者兼顾，才能切实培养和提高学生的数学能力和数学素养。而我们所学的分类讨论思想是其中尤为重要的一种数学思想，它又称“逻辑化分思想”，它是把所要研究的数学对象划分为若干不同的情形，然后再分别进行研究和求解的一种数学思想。有关分类讨论的题目具有明显的逻辑性、综合性、探索性的特点。难度有易，有中，也有难。题型可涉及任何一种题型，知识领域方面，可以“无孔不入”地渗透到每个数学知识领域，所以探讨分类讨论思想在初等数学中的应用是具有实际意义的。

在解决某些数学问题时，有时会有多种情况而统一论证又比较困难，可以先确定某一条件，然后把各种可能出现的情况分成若干类，逐一加以论证，最后归纳各种情况作出结论，我们将这种解决问题的思想方法称为分类讨论思想。分类讨论是根据问题的不同情况分类求解，是一种极为重要的数学解题方法。分类方法在解题中的作用体现在：化一为多、化复杂为简单、化多为少、化无限为有限。换言之，要选择一个适当的分类标准的关键在于分类后得到的各个子问题应当是熟悉的或易于解决的问题，从而能通过对各个子问题的解决而最终解决原问题。

分类是在比较中派生出来的，更为复杂的一种思维方法。分类以比较为基础，通过比较将具有相同点的对象归入一类，将具有相异点的对象归入不同的类，从而使研究对象条理化、层次化、系统化，是一种重要的科学方法。分类离不开分析与比较，只有通过分析与比较，弄清了事物的共同属性之后，才能对事物进行分类。分类是观察、比较的结果，观察、比较是分类的前提。通过观察、比较将对象分为具有一定从属关系、并列关系的一系列关系结果，便于逐类深入研究。

根据上述对分类含义的讨论分析，分类应满足以下四条规则：

①分类所得的各子项外延的总和，应当与被分类概念的外延相等。即分类要完备。

②分类所得的各子项，应当是互相排斥的。某一概念被分类后，其各子项每两项都应当是并列关系，而不是交叉关系或从属关系。比如，若把平行四边形分为矩形、菱形和正方形，就不仅违反了规则①，而且也犯了“交叉”和“从属”的毛病。

③分类应取被分类概念最邻近的属概念，应按步骤和层次逐步进行，不能越级或颠倒级别的顺序。

④分类应按同一标准进行。在分类前，应当从被分类的概念的属性中，取出一个属性作为依据。用来类分概念的那些属性，称为类分的标准。对同一个问题所确定的对象而言，可以有不同的标准，标准不同，类分的结果也就不同。

分类有不同的标准，一般而言，有现象分类与本质分类两种：

所谓现象分类，是以对象的外部标志、外部联系为依据进行的分类。比如，在数的分类中，复数分为实数和虚数，实数分为有理数和无理数；代数式、方程和函数按运算分类；方程和函数按次数分类；多边形按边数分类；多面体按面数分类；解析几何中的曲线按方程的次数分类等，都是按对象的外部现象与联系加以区分，这种分类难以反映对象间的本质联系。所谓本质分类，是按对象本质特征和内部联系进行的分类，它能从本质上揭示数学对象之间的规律。比如，函数按单调性、有界性或周期性分类；排列组合问题按是否与顺序有关分类等均属本质分类。总之，根据什么原则对被研究的对象进行分类，要具体情况具体分析。有时对一个问题要进行多次分类或不断地修改、完善分类的方法，才能达到预期的目的。

分类方法的解题步骤：

①确定分类标准

数学分类思想的关键在于正确选择分类标准。这就要运用辩证的逻辑思维，对具体事物作具体分析，从表面上极为相似的事物之间看出它们本质上的差异点，从表面上差异极大的事物之间看出它们本质上的相同点，发现事物的本质特征。只有这样才能揭示数学对象之间的规律，对数学对象进行有意义的分类。

②恰当地进行分类

在确定分类标准的基础上，遵循分类的四条规则，对所讨论的问题恰当地分类。问题能否顺利讨论的关键是对所讨论对象进行正确的分类。

③逐类讨论

根据分好的各类情况，逐类进行研究的分类讨论。分门别类逐一把问题解决。

④归纳结论

对分类结果进行讨论，归纳出问题的最终结果。讨论的结论有时将其划分为同一个可能的形式表达出来，有时你需要在声明中进行分类，使问题得到完美的答案。

分类方法在数学中得到广泛的应用，这是因为一切事物都必须分门别类加以研究，才能条理清楚、泾渭分明，区别事物间的千差万别，明确事物间的联系。作为反映现实世界各种现象普遍联系和制约关系的数学，是以概念为支柱的，没有分类，数学概念就不复存在，也就无法建立和發展。分类往往把复杂的问题化简，隐晦的条件变明，从而有助于分别思考，各个击破。对于分类方法的分析、研究和掌握，有利于培养周密、全面的数学思维。有利于培养综合分析问题的能力。