浅析最小二乘法在医药制造工业成本的应用

时间：2024-06-18

张心岩

摘要：随着社会需求及技术的不断进步，药品生产的规模也随之不断加大。掌握药品生产成本规律，对药品扩大规模具有积极作用和指导意义。本文从最小二乘法的原理出发，建立生产成本的回归模型，通过实例对药品生产的单耗及总成本进行预测及分析。并得出加权最小二乘法因为消除了异方差的影响，其模型拟合度高于普通最小二乘法。

关键词：最小二乘法；生产成本；回归模型；预测

在当今药品生产领域上，随着社会需求及其技术的不断进步，其生产规模也在逐步加大。能否准确把握药品生产成本规律，进而对其成本费用进行控制和预测，對实际生产实现效益最大化有着重要的指导意义。

根据长期实践生产经验和产量成本数据，我们可以得出，随着产量的增长，其单位成本费用会按照一定的比例不断下降，最终趋于平稳，这叫做熟练曲线。影响熟练曲线的因素很多，如：原材料的消耗，能源消耗，人工费用等等。因此，在建立生产成本费用按生产量变化的非线性数学回归模型：。其中：y为生产量x的成本费用，x为生产量，A，b为模型的回归参数。

1、最小二乘法基本原理

在我们研究两个变量（x，y）之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据（x1，y1.x2，y2... xm，ym）；将这些数据描绘在x -y直角坐标系中，若发现这些点在一条直线附近，可以令这条直线方程（式1-1）（a0、a1是任意实数）

为建立这直线方程就要确定a0和a1，应用《最小二乘法原理》，将实测值Yi与利用（式1-1）计算值（Yj=a0+a1X）的离差（Yi-Yj）的平方和最小为“优化判据”。

令：（式1-2）

当最小时，可用函数对a0、a1求偏导数，令这两个偏导数等于零。

（式1-3）

（式1-4）

得到的两个关于a0、a1为未知数的两个方程组，解这两个方程组得出：

（式1-5）

（式1-6）

这时把a0、a1代入（式1-1）中，此时的（式1-1）就是回归的一元线性方程。在回归过程中，回归的关联式不可能全部通过每个回归数据点（x1，y1. x2，y2...xm，ym），为了判断关联式的好坏，可借助相关系数“R”，统计量“F”，剩余标准偏差“S”进行判断；“R”越趋近于 1 越好；“F”的绝对值越大越好；“S”越趋近于 0 越好。

2、实例分析（应用spss1.8进行回归分析）

表1 某种药品生产数据（单位：吨）

产品产量主要原材料单耗辅助原材料单耗能源单耗单位总成本

1 95.7 28.4 28.1 131.7

2 86.3 22.6 19.3 107.7

3 77.5 18.5 16.5 94.7

4 80.8 20.1 15.8 97.5

5 82.2 20.0 15.7 102.7

6 74.1 20.7 15.9 91.1

7 71.5 19.3 13.9 86.0

8 68.0 20.1 14.7 85.9

9 66.3 17.9 12.5 79.5

10 66.7 17.6 11.1 80.8

从上表可以看出，主要原材料、辅助原材料和能源的单耗都随着产量的增长而减少，并趋于稳定，它们和产量之间呈现负指数关系。

我们以主要原材料单耗为例，将非线性问题转化为线性问题。

设自变量x为产品产量，因变量y为相应的主要原材料单耗。，对此函数进行变换，可得回归公式，lny=lnA+blnx。通过计算可得，lnA= 4.571，b= -0.156，检验得F=66.584>F（0.05）（1，8）=5.32，R=0.945>R（0.05）（8）=0.632，线性关系显著。可得主要原材料单耗回归公式：。同理，可得其余两项单耗与产量的回归公式。（见表2）

在进行总成本预测时，我们采用了普通最小二乘法（OLS）和加权最小二乘法（WLS），这二种方法分别得到回归模型为：

普通最小二乘法（OLS）

Y=1.012X1+0.887X2+0.758X3-12.653

加权最小二乘法（WLS）

Y=0.863X1+0.574X2+1.328X3-4.604

其中：Y为总成本，X1为主要原材料单耗，X2为辅助原材料单耗，X3为能源单耗

比较二者拟合结果是差异见表3

OLS拟合值 OLS误差 WLS拟合值 WLS误差

130.7 -1.0 131.6 -0.1

109.4 1.7 108.5 0.8

94.7 0.0 94.8 0.1

98.9 1.4 97.6 0.1