高等数学核心素养探析

时间：2024-06-19

曲元海，于梅菊，许晶，索春凤，陶玉杰，徐姜

高等数学是高等院校多数专业开设的一门必修课，尤其是对理工科专业而言，更是必不可少的课程具有基础性和工具性作用，对大学生思维能力的提升和创新精神的培养有着重要的价值，同时也能充实大学生的人文情怀，更能让学生了解高等数学的应用价值，提高学生分析问题解决问题的能力.然而，就普通高校而言，高等数学这门课程的教学现状是学生感到难学，教师付出很多努力，结果很不满意.迫于种种压力，致使教师不得不放低对这门课的要求，因此绝大部分学习这门课程的学生并没有达到预期的目标.当然，原因可能有很多方面，但笔者认为，其中主要原因是没有抓住高等数学中最核心的东西，内容永远比形式重要.正是基于此，有必要对高等数学核心素养进行有深度地探究.

1 高等数学核心素养

2016年9月13日，中国学生发展核心素养研究成果发布会在北京师范大学举行.学生发展核心素养，主要指学生应具备的、能够适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力.中国学生发展核心素养，以科学性、时代性和民族性为基本原则，以培养“全面发展的人”为核心，分为文化基础、自主发展、社会参与三个方面.具体表现为人文底蕴、科学精神、学会学习、健康生活、责任担当、实践创新六大素养，每个素养内涵又细化为三个要点，共计18个观察点，具体如图1所示.

数学核心素养与核心素养的提出有关联.在上述要点中，每个学科都承担着任务，数学学科究竟承担着哪种任务，即培养学生的数学核心素养.高中数学课程标准修改过程中，反复研讨，征求建议，最后在高中数学课程标准修改中，提出6大核心素养，分别是数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析，并对这些核心素养的内涵、学科价值、教育价值进行挖掘.其实，在义务教育阶段数学课程标准中，就提出了核心概念这个词，并不断研究和深化，形成现在的10个核心概念［1］，即数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识、创新意识.而高等数学与高中、义务教育阶段数学不同，面对的是成人教育同时又是专业教育的基础课程，因此承载的核心内容有着特殊性.目前见诸报端，关于高等数学核心素养相关的内容很少，多数是对核心素养的研究：核心素养的核心是思维素养；核心素养研究的现状分析；数学核心素养的几个问题；赵春燕，杨静颖通过高等数学教学案例，论述了核心素养的培养；杨兵就高等数学教学中的素质培养进行了深入的研究［2］.以上研究并没有对高等数学核心素养进行特别明确的界定.

图1 学生发展核心素养

课题组为把高等数学核心素养说得更具体，在这里仅就高数上册内容而言，后文不再赘述.谈到高等数学的学习内容，就开设一学期的专业而言，主要是微积分.一般地，都是从极限开始，具体脉络是定积分应用［3］.概括起来就是以极限为工具研究函数，核心内容是微分和积分.从这些内容来看，比如极限内容，主要是计算极限和会运用一套比较抽象的语言（ε-δ；ε-N语言）证明极限，归纳起来就是运算和证明；导数微分这一内容涉及到运算、证明，更重要的是利用更高的手段来处理初等数学中的问题，充分显示出方法的重要性；不定积分、定积分及定积分应用中，涉及大量的内容还是运算，同时利用微元法，通过定积分解决实际问题的内容也不少.日本著名数学家和数学教育家米山国藏认为，学生在学校学的数学知识，毕业后若没什么机会去用，很快就忘掉了.然而，不管他们将来从事什么工作，深深铭刻在心中的数学精神、数学的思维方法，研究方法、推理方法和看问题的着眼点，却能使他们终身受益.从他的论述中可以看出，学生掌握数学的精神、思想和方法应是数学教育根本目的之所在.综合上述分析及借鉴数学核心素养，对高等数学核心素养作如下分析.从思想方法而言，极限思想方法是当之无愧的，因为它贯穿高数的整个内容；在定积分应用中涉及的微元法（元素法），也应位列其中，具体步骤是分割、代替、求和、取极限，概括起来就是“化整为零，积零为整”即微积分思想；除这两种思想方法外，就是数学运算，即微积分计算和极限计算.正是基于这样的分析，高等数学（微积分内容）核心素养界定如下：以极限、微元法为核心思想，以微积分、极限运算为核心能力的素养，叫作高等数学核心素养.若再扩展内容，还应有逻辑推理和直观想象的素养.在这样界定下，涉及在教与学的过程中，如何围绕着高等数学核心素养来进行教学设计及实施，仅就其中的部分内容为例进行说明.

2 高等数学核心素养教学实践

2.1 以文化为依托介绍极限、微积分的历史

（1）关于极限思想的背景.学生对极限这个词并不陌生，高中也接触过简单的内容，但对其背后的历史知之甚少，因此，在讲到极限的时候，应采取迂回的策略，先让学生有个直观感受.让学生想象，本来平行的铁轨，望向远方给你什么样感受！抬头眺望山顶和天之间是什么样的状态！李白的诗《黄鹤楼送孟浩然之广陵》中有，孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流.从时空角度用什么样的方法表达了这种意境.借此说明，隐含着极限的思想，进而进入极限历史的一个简单回顾.

在西方极限思想有着悠久的历史，它的萌芽是从公元前5世纪古希腊的ANTIPHON提出“穷竭法”，到公元前4世纪由EUDOXUS（公元前408—355年）作了补充和完善，再到公元前3世纪AR-CHIMEDES（公元前287—212年）把穷竭法发扬光大，而这种方法就是后来极限的雏形.真正使极限概念和理论完备的应得益于19世纪法国数学家CAUCHY A L（1789—1857年）和德国数学家WEIERSTRASS K（1815—1879年）的工作.

在中国极限思想同样有着很深的历史渊源.公元前4世纪春秋战国时期学者惠施称：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，见《庄子·天下篇》引出收敛的数列到公元3世纪，三国时的刘徽提出的“割圆术”即“割之弥细，失之弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”.通过对极限历史的回顾，让学生感受到这种思想的深厚的底蕴和悠久的历史，从而心向往之.

（2）关于积分思想的背景.关于积分思想源自欧多克斯的穷竭法，最接近积分思想的是古希腊阿基米得.他用最大三角形去填充抛物弓形，而且是个无限过程.他的方法实际上也是无穷级数求和最早的例子.后来，几十位数学家都对此作出过贡献，但所用的方法都是静态的，微积分成熟的思想要归功于NEWTON I（1642—1727年）、LEIBNIZ G W（1646—1716年）.二人站在巨人的肩膀上看得更远、更清，在先驱者所做工作的基础上，发展成动态分析的方法［4］.

在中国古代就有积分思想的萌芽，主要反映在一些思想家和哲学家的著述中.如，思想家荀况（公元前313—238年）的《荀子·大略》中有“尽小者大，积微者著”；荀子的另一些名言：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”.在此之后何承天（370—447年）“积微之量”一说也继承了这种思想.再到11世纪宋代沈括（1031—1095年）在《梦溪笔谈》中也提到“造微之术”.但微积分思想没有在中国诞生是非常遗憾的事情.

通过上述的简单介绍，厘清了极限、微积分思想的历史环境和发展的过程，为学生进一步学习这些内容铺垫了坚实的文化背景［5］.

2.2 以问题为载体，让学生体会思想方法的价值

美国学者哈莫斯说过，问题是数学的心脏；心理学研究成果也认为，思维源于疑问（问题），可见，问题对于数学及学习数学的重要性.美国教育家布鲁纳说，教学过程就是不断提出问题、分析问题、解决问题的循环的活动过程.在极限概念教学过程中要围绕着问题展开，围绕核心素养来实施教学过程.在进行极限概念教学前，创设这样一个问题情境.有一个牧民，临终前要把17匹马分给他的3个儿子.于是留下遗嘱：分给老大，分给老二，分给老三.牧民死后，三个儿子都不知道如何来分.一位邻居牵来自己的一匹马来帮忙分马，这时就有18匹马了，所以老大得9匹，老二得6匹，老三得2匹，邻居牵着自己的那匹马走了.小的时候，我们非常佩服邻居的聪明才智，但我们要提醒学生注意，这种处理问题的方法是否与牧民遗嘱的意思相符？引起学生的思考.

有人对上述分马的方法提出了异议，认为这实际上分的是18匹马，而不是17匹.我们不妨换一种办法来分：共17匹马.老大可以分得：17×（匹）；老二可以分得：匹）；老三分得（匹）.还剩下（匹）.

2.3 以极限、微积分运算为基础，构建良好的运算系统

加减乘除，乘方开方都是运算.在高等数学中，极限是一种运算，微积分也是运算，并且微分和积分可以看成是互逆运算.这样就把高等数学中的运算顺应到学生原有的运算系统中，扩充了学生认知结构中运算系统的内容.

在处理极限运算的问题时，主要是让学生感受趋势变化过程、理解运算过程、掌握运算的方法、记忆运算结果.尤其是对典型的极限结果必须牢记于心，强化理解记忆.对于涉及利用极限定义证明数列或函数的极限问题，在处理上学生会用ε-δ；ε-N语言刻画即可，不做过高要求，只是验证，为极限的运算服务［6］.

在处理微分这部分内容的过程中，首先要通过实际问题，让学生感受到创新方法的重要性.如，切线斜率问题、瞬时速度问题，最后归纳为函数的变化率问题.这些问题的解决，初等数学的方法是达不到的，从而必须引进新的方法.在处理积分这部分内容时，先通过展示平面图形的面积，体积，平面曲线的弧长，变力沿直线所作的功，水压力问题，引力问题等实例，让学生切实体会到方法的重要性，然后再开始介绍如何进行计算.心理学研究表明，每个人都有认知缺陷，并且都想弥补这种缺陷.这样就牢牢地抓住了学生的心.