多序半群与多序半模的性质及应用*

李武明，葛力铢，宋元凤,3

(1.通化师范学院 数学学院，吉林 通化 134002；2.吉林师范大学 数学学院，吉林 四平 136000；3.吉林大学 数学学院，吉林 长春 130012)

多序半群与多序半模的性质及应用*

李武明1，葛力铢2，宋元凤1,3

(1.通化师范学院 数学学院，吉林 通化 134002；2.吉林师范大学 数学学院，吉林 四平 136000；3.吉林大学 数学学院，吉林 长春 130012)

以具有多种序结构的Minkowski空间为原空间，以单序半群理论为理论基础，抽象出多序半群与多序半模(多序半线性空间)等概念，并用于讨论数学与物理中的问题.主要研究内容为：引入多序半群及多序半线性空间的概念，并给出实例；由多序半群与多序半模(多序半线性空间)的概念为基础概念，引入多内积空间与多距离空间的概念，讨论Minkowski空间的几何性质，在Minkowski空间中引入与狭义相对论力学两个基本假设相容的多序邻域概念，讨论Minkowski空间的分析性质.

序半群；多序半群；多序半模；Minkowski空间

生存空间的有序性是序代数理论产生及发展的原因.早在1905年，Einstein的相对论时空观对牛顿时空观的超越，使人们认识到，我们生存的空间并不是用于刻划经典力学的Euclid空间.1908年，德国数学家Minkowski给出了用于刻划狭义相对论时空的线性空间理论，被后人称为Minkowski空间,是一种含有多种序结构的非Euclid空间.Minkowski要求他所创立的空间性质要与狭义相对论的两个基本假设相容，这导致空间向量自身内积具有不定性；导致非零向量自身内积可以为零；导致空间两点间距离(时空间隔)不只与空间位置有关，也与两点确定的方向有关；导致由空间三点确定的三角形三边的长度不满足三角不等式.这些有别于Euclid空间的“奇异”性质均与空间的有序性有关.本文以Minkowski空间为原空间，抽象出多序半群及多序半模等概念，并用于讨论时空结构问题.

本文讨论的p+q(pq≠0)维Minkowski空间由Clifford代数CLp,q的生成空间Rp,q表述[1-5].p=q=1及p=1,q=3时，依次称为Minkowski平面(时空平面)及四维Minkowski时空[6-7].

1 多序半群与多序半模

1.1 多序半群

定义1 (多序半群)设G是一个半群，i(i∈I,I为指标集)为G的半序关系，(G,i)为序半群[8]，则称(G,i)i∈I为多序半群.

例1 在如上定义中，当I=φ(空集)时，有(G,i)i∈I=G；当I={1,2,…,n(n<∞)}时，(G,i)i∈I=(G,1;2;…,n)称为n序半群；特别地，n=1时，(G,i)i∈I=(G,1)为(单)序半群.可知，半群与序半群均为多序半群的特例.

例2 在Minkowski平面R1,1中，任取w1=x1e1+y1e2，w2=x2e1+y2e2∈R1,1.定义半序关系w11w2⟺2w2⟺则(R1,1,1)与(R1,12)均为单序半群，而(R1,1,1;2)为双序半群.

定义2 (限序半群)设(G,i)i∈I为多序半群，J为指标集I的子集，则称(G,i)j∈J为多序半群(G,i)i∈I的限序半群.

例3 当J=I时，(G,j)j∈J=(G,i)i∈I；当J=φ时，(G,j)j∈J=G，两者称为(G,i)i∈I的平凡限序半群。

例4 将R1,1中所有类光向量所成集记为N={w∈R1,1|w·w=0}，则N将R1,1中的所有向量分成四部分，记为R1,1(i),i=1,2,3,4.其中

定义半序关系w11w2⟺w2-w1∈R1,1(i)，∀w1,w2∈R1,1，则(R1,1,i)i∈{1,2,3,4}构成四序半群.其所有可能的限序半群为(R1,1,j)j∈J，其中J为I的子集，共有24种选择.

1.2 多序半模

定义3(多序半模) 设(G,i)i∈I为多序半群，若G还是(半环R上)半模，使得任取i∈I有(G,i)是序半模，则称(G,i)i∈I为多序半模(或称多序半线性空间).

例5 类同于例1可知，半模与序半模均为多序半模的特殊情形.

例6 例4中的(R1,1,i){i∈1,2,3,4}，构成半环R+上的四序半模.

例7 考察例4中的R1,1与N,原点将N分成四部分，记为N(k),k=1,2,3,4.其中

N(1)={x(e1+e2)∈R1,1|x≥0},

N(2)={x(-e1+e2)∈R1,1|x≥0},

N(3)={-x(e1+e2)∈R1,1|x≥0},

N(4)={x(e1-e2)∈R1,1|x≥0}.

定义半序关系w1kw2⟺w2-w1∈N(k),∀w1,w2∈R1,1，则(R1,1,k)k∈{1,2,3,4}构成四序半模.

1.3 多序半模与时空平面的线段最长定理

命题1 设(R1,1,i)i∈{1,2,3,4}为例6中的四序半模，任取w0,w1,w2∈R1,1，当w0iw1,w0iw2,i∈{1,2,3,4}时，有σM(w2+w1-2w0)≥σM(w1-w0)+σM(w2-w0).特别地，w0=0时，有反向三角不等式σM(w2+w1)≥σM(w1)+σM(w2).其中为w=xe1+ye2的M模长(Minkowski模长).

命题2 任取w1,w2,…,wn∈R1,1(i)，i∈{1,2,3,4}，如下不等式成立

σM(w1+w2+…+wn)≥

σM(w1)+σM(w2)+…+σM(wn).

定义4 设R1,1的连续曲线L在其定义区间内可导，且每一点的切线为类时(空)线，则称L是R1,1的类时(空)曲线.

记L[A,B]为以A为起点，B为终点的所有类时曲线所成集，LA,B为L[A,B]中直线段.有如下定理．

定理1(线段最长定理) 任取l∈L[AB]，由σ(l)表示其长度，则有σ(l)≤σ(LAB).

利用多序半群与多序半模理论，可将如上命题与定理的结论向3+1维时空推广.

2 多序半群与多序邻域

众所周知，在经典复平面C上，任取z1,z2∈C，当z1≠z2时，存在开圆盘B(z1,r1)={z∈C|σE(z-z1)

这一事实是经典复函中邻域概念引入的逻辑基础.那么，在作为时空平面的双曲复平面上考虑同样的问题，会有什么结果呢？能够建立起类似的邻域概念并得到相应的结论吗？结论是否定的.

2.1 时空圆盘与时空平面的多序邻域

有别于经典复平面(椭圆复平面)C的开圆盘，作为时空平面的双曲复平面H={x+jy|j2=1,j∉R}上以z0为心r为半径的时空开圆盘与时空闭圆盘可依次表为

B(z0,r)={z∈H|σM(z-z1)

注意到H上的时空点圆可表为

{z∈H|z-z0=r(1±j),r∈R},

它由过z0点的两条正交直线构成，由于任何两个时空点圆必相交，而任何的时空圆盘必含有一个时空点圆，故有如下定理.

定理2 在双曲复平面上，任意两个时空圆盘必相交.

定义5 (H平面的八序邻域)记U(z0,r)={z∈H|σ(z-z0)

注意到与如上邻域对应的距离函数为σM,可知任意点的类光序邻域均为过该点的两条正交直线,这一事实告诉我们,若对类光序邻域做进一步的研究,就要引入有别于时空间隔σM的新的距离函数.思考这些问题,有必要引入多内积空间与多距离空间的概念.

定义6(多内积空间) 设S为半环R上的线性空间,是S的半序关系,ρ是与半序关系对应的S的内积,则三元组(S,,ρ)称为S的一个半序内积空间(简称序内积空间).若(S,i,ρi),i∈I(I为指标集)为S的序内积空间，则称(S,i,ρi)i∈I为S的多序多内积空间.

定义7(多距离空间) 设S为半环R上的线性空间,是S的半序关系,d是与半序关系对应的S的距离，则三元组(S,,d)称为S的一个半序距离空间(简称序距离空间).若(S,i,d1),i∈I(I为指标集)为S的序距离空间，则称(S,i,di)i∈I为S的多序多距离空间.

定义8(H平面的八序双距邻域)U(z0,r;ξ,σM;ζ,σE)ξ∈I,ζ∈J,其中,I={t+,t-,s+,s-},J={h++,h--,h-+,h+-}.限序邻域U(z0,r;ζ,σE)ζ∈J为类光邻域,可用于考察类光锥中点的邻近关系.

2.2 时空平面多序邻域的性质

考察由定义8给出的八序邻域的限序邻域U(z0,ρ;ξ)ξ∈{t+,t-,s+,s-,h++,h--,h-+,h+-}的限序邻域U(z0,ρ;ξ)ξ∈{t+}=U(z0,ρ;t+)，称其为H的未来类时邻域，且有如下的结论成立：

定理3(t+型邻域(未来时序邻域)的不交邻域存在定理) 设lt是H平面上的类时曲线,则对任意z1,z2∈lt,当z1≠z2时,存在r1,r2∈R+使得限序邻域

U(z0,ri;ξ,σM;ζ,σE)ξ∈t+=

U(z0,ri;t+,σM),i=1,2

且有U(z0,r1;t+,σM)∩U(z0,r2;t+,σM)=∅. 定理4(t+型邻域的有限覆盖定理) 设lt(za,zb)是以za,zb为起点的类时曲线，若lt(za,zb)可被t+型邻域集Ut+={U(zi,ri;t+),i∈I}覆盖，则lt(za,zb)可被Ut+中有限个邻域覆盖.

[1]DHestenes.Space-Timealgebra[M].NewYork:GordonandBreach,1966.

[2]LounestoP.Cliffordalgebraandspinors[M].Oxford:CambridgeUniversityPress,2003.

[3]BaylisWE.Clifford(Geometric)algebrawithapplicationstoPhysics,mathematics,andengineering[M].NewYork:BirkhauserBoston,1996.

[4]DoranC,LasenbyA.Geometricalgebraforphysicists[M].Oxford:CambridgeUniversitypress,2003.

[5]SONGYuanfeng,LIWuming,DINGBaoxia.TheCentralSubalgebraofCliffordAlgebraClp,q[J].JournalofTonghuaNormalUniversity,2011,32(12):3-4.

[6]李武明.时空平面的Clifford代数与Abel复数系统[J].吉林大学自然科学学报,2007(5):13-16.

[7]LiWuming,YangFan.N-dimensionalMinkowskispaceandspace-timealgebra[J].NewZealandJournalofMathematics,2004:159-164.

[8]谢祥云.序半群引论[M].北京:科学出版社,2001.

10.13877/j.cnki.cn22-1284.2015.08.006

2014-12-20

通化师范学院自然科学科研项目“实Clifford代数的实矩阵表示及其子群结构”(201433)

李武明,吉林通化人,教授．

O153.3

A

1008-7974(2015)04-0014-03