压缩映像原理在数学分析中的应用*

杨柏林

(吉林师范大学 数学学院，吉林 四平 136000)

压缩映像原理在数学分析中的应用*

杨柏林

(吉林师范大学 数学学院，吉林 四平 136000)

数学分析是数学专业的主要课程，而压缩映像原理在数学分析中有着十分广泛的应用，本文基于四个方面，给出了压缩映像原理在数学分析中的应用.

压缩映射；近似解；隐函数；数列；收敛

压缩映像原理在求方程近似解、隐函数、积分中值定理等方面有着广泛的应用,

1 求方程的近似解

设X是完备的距离空间，T：X→X是一压缩映射，则T在X中有唯一的不动点.

证明 先证存在性.任取一初始点，x0∈X，做迭代数列x1=Tx0,x2=Tx1,…,xn+1=Txn,…，且存在θ∈(0,1)，则有

d(xn,xn+1)=d(Txn-1,Txn)≤θd(xn-1,xn)≤

θ2d(xn-2,xn-1)≤θnd(x0,x1),

于是，对于正整数p，有

d(xn,xn+p)≤

d(xn,xn+1)+d(xn+1,xn+2)+…+d(xn+p-1,xn+p)≤

(θn+θn+1+…+θn+p-1)d(x0,x1)=

从而有x*为T的一个不动点.

再证唯一性.设y*为T的另一个不动点，则有

d(x*,y*)=d(Tx*,Ty*)≤θd(x*,y*)

但0<θ<1，故d(x*,y*)=0，即x*=y*.

例1 求方程x5+x-1=0的根.

解 令g(x)=x5+x-1，由于g'(x)=5x4+1≥0, 故g单调，且

g(0.5)=-0.46875,g(1)=1.

x1=0.7251，x2=0.7533，x3=0.7540，x4=0.7544，x5=0.7546，x6=0.7547，x7=0.7548，x8=0.7548，… ,取近似解为x8=0.7548.

2 隐函数定理

设f(x,y)在[a,b]×R连续，且f'y(x,y)处处存在,若有常数m,M,满足条件

0

则f(x,y)在[a,b]上存在唯一的连续解.即存在唯一的φ∈[a,b]，使f(x,φ(x))=0对一切x∈[a,b]成立.

θ(φ(x)-ψ(x)))(φ(x)-ψ(x))|=

≤

所以

故T是压缩映射.所以f(x,y)=0在[a,b]上存在唯一的连续解.

3 数列求极限

证明 ∀n,p∈N，有

所以{xn}为Cauchy列，从而{xn}收敛.

4 证明积分中值定理

证明 设f(x)在[a,b]上单调递增，在区间[a,b]上作映射

由于x∈[a,b]，f(x)在[a,b]上严格递增，所以f(a)≤f(x)≤f(b).并且

于是T(x)∈[a,b].所以T是到自身的映射.

对于∀x1，x2∈[a,b],不妨设x1

因为f(x)在[a,b]上严格单调递增，所以f(x2)-f(x1)>0，故存在λ∈[0,1]，使得0<λ(x2-x1)

5 结束语

利用压缩映像原理来解决一些问题，简单方便，运用压缩映像原理解决数学分析中的问题还有许多，希望读者在以后的解题中善于利用，化繁为简.

[1]姚泽清.应用泛函分析[M].北京:科学出版社,2007.

[2]吴翊,屈田兴.应用泛函分析[M].长沙:国防科技大学出版社,2002.

[3]华东师范大学数学系.数学分析上册[M].北京:高等教育出版社,2000.

[4]江泽坚,孙善利.泛函分析[M].北京:高等教育出版社,2005.

[5]李娟.利用压缩映像原理处理有关数列收敛性[J].甘肃联合大学学报,2011,25(5):29-31.

10.13877/j.cnki.cn22-1284.2015.08.007

2015-04-24

吉林师范大学研究生创新项目(201114)

杨柏林,吉林长春人,吉林师范大学在读硕士研究生.

O

A

1008-7974(2015)04-0017-02