职前数学教师教学设计信念转变的个案研究——以HPM视角下的勾股定理教学为例

冯振举，王惠扬子（．曲阜师范大学 数学科学学院，山东 曲阜 7365；．中国海洋大学 基础教学中心教育系，山东 青岛 66003）



职前数学教师教学设计信念转变的个案研究
——以HPM视角下的勾股定理教学为例

冯振举1，王惠扬子2
（1．曲阜师范大学 数学科学学院，山东 曲阜 273165；2．中国海洋大学 基础教学中心教育系，山东 青岛 266003）

摘要：分析个案教师不同阶段的教学设计和教学叙事，发现职前数学教师的教学设计信念在设计思路和教学设计各个环节均发生了认识上的明显变化.开展教学设计是职前数学教师培养的有效方法，HPM应成为数学教师教学信念的重要组成部分，案例设计和教学也是解决HPM研究“高评价、低应用”现象的途径之一.

关键词：职前数学教师；教学信念；教学设计信念；HPM；勾股定理

1 问题提出

1.1 数学教师信念

Charalambous等人[1]认为教师关于数学的信念和态度是影响教师所采用数学教学方法的关键.信念是一个多层次的结构，可以描述成个人主观上“对现实世界的理解、假设或观点”.教师拥有各种信念：关于他们自身作为数学教师和学生的，关于知识获得方式的，关于数学学科本质的，关于影响数学学习的内部和外部因素的.数学教师的信念是指教师在教育教学中所形成的对相关教育现象，特别是对数学以及自己的教学能力和所教学生的主体性认识，它影响着教师的教育实践和学生的身心发展[2].数学教师信念包括数学信念[3]，数学教学信念和数学学习信念[4].

黄毅英以欧内斯特[5]对数学教师信念的分类模型为基础，对内地中学教师的数学信念做了系统研究.发现被访问教师的数学信念主要是柏拉图主义的观点，即教师把数学看成是一个与逻辑有关的、有严谨体系的、关于图形和数量精确计算的学科[6].

还有学者[7]认为教师的数学信念可以分成多种维度.这些信念起源于在中学时先前传统的学习经历.一旦获得，教师的信念最终会在课堂教学中复制.有证据表明，教师的信念影响了他们的教学行为，信念与行为之间关系的本质是复杂的并受外部因素的调节[8].

研究表明，大学期间形成的以教师中心和传统主义取向的教学信念与师范生的教学行为基本一致[9].数学教师的信念影响着他们的教学决策和行为，对于师范院校来讲，不但要让未来的数学教师掌握从事数学教学所需要的知识和技能，也要让他们形成合乎现代数学教学要求的信念[10].教师关于数学教和学的信念在决定课程改革的地位时非常重要[11].

综述以上，教学信念系统主要包括数学信念、数学教学信念和数学学习信念3部分，教师教学信念会决定和影响教学实践.但研究者认为在教师教学信念和教学实践之间还存在一种信念即教学设计信念.

1.2 数学教学设计信念

数学教学设计是沟通数学教育理论研究与数学教学实践研究的桥梁，尤其对于职前数学教师来讲，数学教学设计是职前数学教师真正走进课堂实践前的一次重要的“思想实验”，是检验职前数学教师能否将所学的学科知识、学科教学知识以及自身教学能力进行整合的合情演练.

数学教学设计信念就是教师对数学教学设计本身的认识和看法.由于信念是人类任何认识和行为的基本前提，是一种指向终极性的认识要求，也是推行知行统一的动力源泉，是人类自身的本质属性之一，所以数学教学设计信念会指引教师开展教学设计，实施教学设计活动，教师拥有合理的数学教学设计信念是下一步进行教学实践的前提和保障.

1.3 职前数学教师教学设计中存在的问题

职前数学教师在教学技能的培养中，“重视动作技能，轻视数学思想内化，轻视数学教育理论内化”[12]的现象是普遍存在的.郭桂荣等[13]研究表明职前教师的教学信念还是停留在教师为中心，教学方式以讲授为主.张彦春等[14]认为职前数学教师在教学设计过程中存在以下问题：新课导入环节问题情境简单且抽象，新知建构设计缺乏层次且表征形式单一，应用巩固缺乏变式与明确目的，小结梳理流于形式.

研究者调查并总结职前数学教师在教学设计中主要存在以下问题：只关注教学过程的完整性而忽视对重点、难点的深度理解；过度关注知识的记忆与掌握而忽视概念的本质及思想方法的提炼；只关注双基而忽视学生的情感、体验、价值观的发展，忽视学生内在的变化；对概念引入、定理公式的教学停留于机械地模仿，而少有自己独特的创设；忽视数学发展史在数学知识教学中的指导作用；对知识的理解支离、片面，没有整体意识；教学课件缺少美观艺术性等.在教学实践中则存在过度关注教学各环节的连贯性而忽视学生对知识的接受和理解，从而导致各教学环节齐全但重点不突出的现象发生.

上述问题的出现表明，职前数学教师对教学设计没有正确的认识，没有形成正确的数学教学设计信念，所以转变职

1.4 数学教学设计信念的构成

目前，相关研究主要集中于数学信念和数学教学信念，对数学教学设计信念关注较少，数学教学设计信念的要素构成几乎没有涉及.李孝诚等[15]认为教学设计观念是教学设计能力的一部分，给出了数学教学设计观念的一些指标，包括数学教学设计重要性的意识，数学教学设计过程观、数学观、数学教学观、学生观，并探讨了个案教师教学设计能力的转变.

从合理的数学教学设计所具备的要素出发，认为教师的数学教学设计信念在具体操作层面应包含关于教学目标的信念、关于教学情境创设的信念、关于教学内容的信念、关于教学流程的信念、关于学生学习的信念、关于教与学评价的信念；在对教学设计的认识层面应包含教学设计的总体思路、教学内容蕴含的思想方法等信念（见表 1）.教学设计的认识信念是教学设计信念的元信念，是指导教师进行教学设计的总指导思想，对于支配教学设计的可操作信念具有能动性.

表1 数学教学设计信念的构成

1.5 研究内容

主要通过对个案教师的不同版本的教学设计及其教学叙事的分析，探究职前数学教师教学设计信念的前后变化，试图发现职前教师是如何用HPM（History and Pedagogy of Mathematics）视野下的数学教学设计信念指导自己的教学设计，并对HPM研究的“高评价、低应用”现象做一些认识上的诠释.

2 研究过程与方法

2.1 研究对象

研究的个案教师是一位经历了数学教学实习的职前数学教师，以下简称为W.W在大学期间除了主修数学专业课程、一般教师教育课程（教育学、心理学、教育技术学）和数学教师教育课程（数学教学论、数学史）外，还辅修了物理专业的第二学位，但是W没有HPM研究相关的背景.W语言表达很棒，是一位出色的演讲者，在大学期间担任班干部，组织协调能力强，自身综合素质非常高.在教学实习结束后，由于W的优异表现，代表学院参加学校层面的师范生教学技能大赛，后又代表学校参加省级师范生从业技能大赛，获得省级一等奖.大学学业结束后，W考入一所 985高校继续攻读学科教学（数学）专业学位.

2.2 研究过程

2.2.1 初入数学课堂（第一阶段）

大学第六学期，W来到某中学八年级进行教学实习.W要讲授的内容是人民教育出版社的义务教育数学课本（2013版）（以下简称“人教版”）八年级下册第17章第1节《勾股定理》[16].按照大学期间教师教育理论课所学习的知识，W 首先备教材，仔细阅读教材以及教参，其次备学生，了解学生的知识储备.借由自己十多年做学生的“经验”以及对数学课的认识，W 认为上好这节初中数学课是很简单的事，只需要在教材的基础上，将教材内容“串连”起来，带领学生完成课本上布置的探究任务，让学生掌握所要求的知识与技能即可.

研读教材之后，W 依据课本进行了教学设计，将教学重点放在了对勾股定理的“探索”之上，通过网格纸计算面积得出猜想，进而带领学生通过动手拼图学习两种简单的证明方法.通过学生课后的作业反馈，看到大多数学生都已经掌握了勾股定理及应用勾股定理解题，W 认为她已经实现所预设的教学目标.

2.2.2 探索新的教学设计（第二阶段）

实习过后，W开始准备参加学校里的教学技能大赛.在W 准备参加比赛之初，计划采用第一阶段实习时的教学设计.指导教师在看过W的教学设计和她的模拟授课后提出了建议：勾股定理作为数学历史上最为古老和基本的定理，一定要把勾股定理相关的历史文化背景融入课堂教学之中.勾股定理的教学绝不能停留在“双基”的基本要求上，这节课可以很好地实现数学教学从“训练”向“教育”[17]的转变.为此，W 开始查阅相关资料[18～23]，尝试跳出教材框架，以新的角度重新对教学设计进行思考.经过W给同班同学和一线教师的讲授，根据他们的反应，继续反思，修改第二阶段的教学设计.

2.2.3 数学史文本指引下的再设计（第三阶段）

通过W本人的随机调查（身边的同学）和指导教师在所开设的数学史课上的广泛调查（数学专业的大二学生），发现学生在勾股定理的学习结果方面存在很多问题，W 结合自己的教学设计深入反思，并通过对中国期刊网关于勾股定理教学设计的文献资料[24～34]进行分析，发现这些教学设计都没有很好地解释“人教版”教材中“让学生通过计算网格纸的面积来探究勾股定理”的历史根源，已有的教学设计基本都是按照现代方法进行面积的转换，然后匆忙过渡到下一阶段——让学生用4个全等的直角三角形进行拼凑，来实现探究证明勾股定理的目的.在W实际课堂教学和上述已有文献研究中均表明，八年级学生并不能很好地完成这个过程的转换.

于是W和指导教师一起探讨，在指导教师的帮助下，借用数学史研究专家的成果，进行数学史原始术文的解读，恰好可以很好地解释学生以及教师所碰到的困难，在此基础上完成第三份教学设计.

2.2.4 重回初中数学课堂（第四阶段）

带着“最新版”的教学设计，W再次联系了实习时的老师，允许W再给该班学生讲一节“返璞归真”的数学课.鉴于学生已学习过勾股定理的内容并会用勾股定理解决问题，在上课之前W给每位学生下发了一张摸底小“试卷”，主要是了解学生对勾股定理相关知识的了解.上完这节课后，W请每个学生在“试卷”背面的空白处写下自己的感想以及对前后两次授课的比较.因为“试卷”是匿名的，同学们可以畅所欲言，W把学生认真思考写下的话语进行了归类整理.

2.2.5 反思教学设计（第五阶段）

指导教师要求W把前后历时半年关于勾股定理教学的整个设计和实施过程用教学叙事的方式写下来，并强调一定多关注自己观念上和学生学习效果的变化.为此，W自学了教学叙事研究的理论与方法，并对所写教学叙事做了反复修改.

2.3 资料收集与研究方法

收集到的研究资料主要包括：

（1）W 在教学实习期间、准备校教学比赛、经过指导修改后的3份教学设计.

（2）W 参加校教学比赛的录像和比赛后去实习所在班级的授课录像.

（3）W 撰写的从教学实习到参加比赛再到实习班级二次授课的3个阶段的教学叙事.

（4）W 第二次到实习班级授课进行的课前测验和课后学生访谈问卷及调查结果.

（5）W 代表学校参加省级师范生从业技能大赛的教学设计和说课稿.

主要采用文本分析法，对文本客观分析以了解被研究对象的教学设计信念的变化.通过对W的3个版本的教学设计、课堂实录、教学叙事以及对学生的测试和调查结果 4方面的分析，互相印证，以满足文本分析的信度和效度.

3 研究结果和分析

3.1 教学设计的认识信念

对前后3个版本的教学设计分析，可以发现W对教学设计有了新的认识.最初认为上课前的准备工作就是按照课本的逻辑顺序依次进行讲解，能顺利完成教材内容的要求即可，后来发现好的教学设计应该有一个总体设计规划，不能是“脚踩西瓜皮，滑到哪儿算哪儿”.在了解勾股定理丰富的文化背景后，她认为教师进行教学设计的首要工作是要把课本教学内容进行解构，再按照知识发生发展的形成过程来引导学生的自主建构.

通过分析W的教学叙事，可以发现该职前教师教学信念发生了明显的转变，认识到上好一堂课，成为一名好的数学教师不是简单的事情，进行上课之前的教学设计尤为重要，而教学设计的关键是“理解教材、理解学生、理解数学”[35].她认为第一阶段的教学设计像是把知识强加给学生，比较生硬，教师好像知识的搬运工；第二阶段的设计史料堆积感太强，而且给人的感觉零散琐碎，没有思想主线；第三阶段的设计则水到渠成，设计的思想主线为“讲清‘勾股’二字的由来——阐明商高和赵爽证明的原理——比较东西方不同证明方法的异同——提炼不同证明方法背后的思维方式——上升为理性精神的追求”，尤其是关于商高和赵爽的证明，配以动画演示，学生接受起来自然，理解起来不费力.

在最初的教学设计中，只能看到知识点的罗列，到第三阶段的设计可以明显看出该职前教师除了重视基本知识外，还注重对知识背后蕴藏的思想方法进行提炼.就勾股定理的教学内容而言，W的教学设计认识信念在教学内容的思想方法层面，实现了从单重知识的传授到注重勾股定理背后蕴含的多元文化思想的转变，同时在总体设计思路层面实现了从过度依赖教材到“分析课程标准——查阅相关教学研究论文——教材分析——考虑学生的认知障碍——教师的认识论障碍——查找数学史文献”的转变.

3.2 教学设计的可操作信念

3.2.1 关于教学目标的信念

数学教育的终极目标应该是培养学生的理性精神.中国的传统文化，由于受儒家思想影响较深，在科学的发展上，实用主义和功利主义占据了上风，理性活动和理性价值受到压抑，在理性科学与外在功利发生冲突时，理性常以失败而告终.数学教育应重视培养理性精神，理性精神的氛围浓厚，才会形成重视数学的气候，才有助于发挥数学多方面的功能.因此，数学教育中要注重理性精神的培养[36].

在执教第一阶段，W认为教学设计中的“三维”教学目标中的“过程与方法”、“情感、态度与价值观”目标比较虚无缥缈，在课堂教学中不好把握.在后来的教学设计中，通过对勾股定理多元文化的了解，认为通过勾股定理的教学侧重点恰恰应该放在后面两个维度上.分析其教学叙事及参加省级教学比赛准备的3个（构成空间几何体的元素、正态分布、不等关系与不等式）教学设计，发现该职前教师的教学目标都特别注重后两个维度的设计.她认为能在比赛中出彩或讲出亮点的地方除了对“双基”知识的精确把握之外，还要讲出知识背后的思想方法，而思想方法的提炼恰恰需要让学生进行经历和体验.过程与方法目标实现的过程，就是培养学生科学的态度、科学的思考解决问题的方法和追求实事求是、批判、质疑的理性精神的过程.

3.2.2 关于教学情境创设的信念

勾股定理历史悠久，文化底蕴丰富，从中国古代测量土地山河、天文研究，到西方无理数的发现以及费马大定理，勾股定理牵扯到的数学历史极多.课堂时间有限，考虑到八年级学生理解、接受能力，W 不得不对历史进行“断章取义”.最终选择了通过“商高答周公问”这一《周髀算经》中的内容作为切入点，并没有过多提及其它历史背景.

情境创设直接从2002年国际数学家大会的会标谈起，然后从《周髀算经》中的商高与周公的对话中有“勾广三，股修四，径隅五”关于勾股定理特例的论述，以及周公后人荣方与陈子的对话，“……以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日.”则给出了勾股定理的一般形式[37].以此来引出“勾股”，后人把该结论记为勾股定理.

可以看出，对教学情境创设的认识上，该职前教师也发生了很大变化.从原来过分依赖教材中提供的情境，到查阅资料分析该情境的有效性，再到数学史典籍中寻找与勾股定理联系最紧密的历史文本来引入新课，这是建立在对教材和学生学习需要的分析基础之上的“再创造”.

3.2.3 关于教学内容的信念

随着对勾股定理宽泛文化背景的认识以及与听课者和指导教师的交流，W 认识到第一和第二阶段的教学还存在很多问题.结合调查发现数学专业绝大多数的研究生、本科生不知道勾股定理在西方也叫毕达哥拉斯定理，也解释不清楚勾股定理中的“勾股”是什么意思，更很少有人能给出几种证明勾股定理的方法.也就是说，对于勾股定理这部分内容，绝大多数学生只记住了这样一个公式及其变形.

这使得W在教学内容设计上产生了强烈的认知冲突，不得不冷静思考勾股定理的教学到底应该教给学生哪些知识.最终W确定勾股定理的教学至少应让学生掌握以下内容：（1）勾股定理的内容，以“勾股”命名的缘由，中国古代数学家是如何证明勾股定理的；（2）在西方该定理叫做毕达哥拉斯定理，毕氏学派的介绍，西方数学家怎样证明勾股定理；（3）比较东西方数学证明方法的差异；（4）为防止勾股定理证明的探究流于形式，采用《周髀算经》中的术文导读的方式，让学生模仿商高和赵爽的证明过程，让学生经历从经典术文导读到图形直观感知再到面积公式的形式推导，有利于学生理解用 4个全等直角三角形进行拼补的证明方法的背后原理.

通过复原商高“故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五”和赵爽的“勾股圆方图”中的“弦图”的证明，即围绕“既方之，外半其一矩，环而共盘”这句术文的解读，通过动画演示，可以分别给出商高和赵爽证明勾股定理的思路.商高的思路是“既方之→外半之→环而共盘”，而赵爽的思路是“既方之→环而共盘→外半之”[38].关于这句术文的两种诠释与人教版教材在这节课开始让学生在网格纸中通过两种方法计算正方形和三角形的面积完全吻合.

可以看出，该职前教师在教学内容的选择上进行了较大的变化.第一阶段的教学是“照本宣科”，自己成了知识的搬运工，现在是打乱教材编排的顺序，重新组织，并加入了很多教材之外的内容，这种设计经历让该教师认识到不是“教教材”，而是要“用教材来教”.

3.2.4 关于教学流程的信念

很多数学教师在课堂伊始是采取给出一些具体的三角形，让学生测量三边长，然后计算各边长的平方，通过计算，试图让学生发现三边长间的平方关系，还有的老师会事先给出几组整勾股数，让学生通过简单计算、填表、表格归纳概括出勾股定理.张广祥教授认为这不是“发现”勾股定理，只是验证勾股定理[39].所以这也不难理解为什么学生不知道勾股定理中的“勾股”是怎样来的.学生只是从形式上记住了勾股定理的内容，对勾股定理内容的本质和勾股定理之所以称为定理的原因知之甚少.

W在第三阶段教学流程设计中，除了引用《周髀算经》中的术文引出勾股定理命名的由来，还侧重于展示东西方不同文明证明勾股定理的方法，体现中西方不同的思维方式.西方古代数学带有强烈的演绎倾向，任何问题都要有严格的推理证明，欧几里得的证明最为严谨.中国古代数学带有浓重的算法倾向，赵爽等中国古代数学家的证明具有“寓理于算”的特点.

W 在教学流程的设计方面，实现了从忠实于教材的逻辑编排顺序到创造性地按照自己制定的教学目标的发生发展顺序的转变，这使她认识到教学各环节是为教学目标服务的，而教学目标的制定要围绕学生的学习，所以教学各环节的设计最终是为学生的学而服务.教材的逻辑顺序是基于知识的编排体系上的要求，这种编排方式强调结构，适合知识的复习，不适合知识的学习，而体现知识发生发展的组织材料才有利于学生的接受和理解，教学设计就是要把教材变成易于学生接受理解的“学材”.

3.2.5 关于学生学习的信念

在最初的教学设计中，W 并没有考虑学生的学习和体验，她的目标就是完成教材中的教学任务，学生会做课后题就可以.随着对勾股定理内容的深入认识和对周围同学勾股定理学习结果的调查，她在教学设计中开始侧重考虑如何能让学生真正理解勾股定理中“勾股”二字的由来，怎样能顺利地用4个全等直角三角形拼凑来完成证明，再到考虑学生对东西方不同证明背后隐藏的思想方法，乃至最终对理性精神的领悟.

从最初的教学设计到执教者最后的反思作前后对比，发现该职前教师关于学生学习的信念发生明显转变，即从原来只关注知识的掌握和解题技能的训练，到注重解决学生学习中的困难和理解上的认知障碍.

3.2.6 关于教与学评价的信念

在第四阶段讲授之前，W 采用问卷调查的方式对学生进行了在第一阶段教学设计下教学效果的测试，发现八年级学生在她第一次授课后的学习效果跟当前大学生的情况相似.对于给该班学生第二次授课的教学效果，W 采用匿名的方式让学生自由书写学习感受，可以看出学生通过第二次课的学习，普遍感觉对勾股定理的认识更深刻，对数学知识的丰富的文化底蕴更感兴趣，同时对数学发现、证明的方法也有了重新认识.

以下是被调查的学生给出的几例回答.“在这次学习中，学会了很多奇妙的证明方法和多种可以证明勾股定理的几何图形.了解了很多与勾股定理有关的人物，而且很灵活，记忆很深刻.”“第一次讲学会了勾股定理的用法，没有详细讲它是怎么来的.第二次的时候详细讲了勾股定理的证明方法，相比第一次，第二次更具趣味性，还可以互动，十分容易理解，第一次比较生硬，第二次讲时丰富了我们的知识，开拓了我们的视野，我学到了许多拓展知识，在乐趣中学习，这才是最高境界啊！”“见识了古代人民的智慧，同时也对勾股定理有了深一步的了解，感觉到了数学的趣味性，激发了我对数学更深一步的兴趣.”“几何学需要人们充分发挥想象力去探索、创新、尝试，需要摆脱思维定式.”“知道了勾股定理还有别的证法，运用一些不为人知的故事而串联起整堂课，能使课堂更加灵活，同学们更想听的东西是新奇的.”“扩展了其它的勾股定理的图形拼法，打开了对勾股定理的思路，了解了很多课外知识，对勾股定理有了创新的思维，对古代数学家的智慧表示敬佩.”

通过各阶段教学设计的实施，W 认为评价学生学习不能只看结果，还要看过程和参与度，评价方式不是单一的，应该是多元的和终身评价.教师更应看到数学文化立意下的勾股定理教学带来的好处，这种有益之处虽然不如教师在课上过度强调勾股定理公式及其计算（双基）来得明显，但应看到文化立意下的课堂教学会给学生带来深远地影响.科学史鼻祖萨顿认为：学习数学史倒不一定产生更出色的数学家，但它产生更温雅的数学家.学习数学史能丰富他们的思想，抚慰他们的心灵，并且培植他们的高雅品质[40].

3.3 对HPM的认识

面对有着如此丰富文化内涵的勾股定理，W 认为数学教师绝不能只告诉学生勾股定理的一般表达式.从这节课的整个前后设计过程及教材内容来看，数学史知识的储备是数学教师设计文化意蕴深厚的数学课的关键，对数学史教育价值取向的认识起到支配数学教师进行教学设计的关键.

已有的勾股定理教学设计，普遍存在“H和M过多，而P较少”，也即历史材料堆砌过多，对于这些史料如何与课本内容有机结合，这些史料在启发学生当前的学习中发挥怎样的作用思考较少.

在个案研究中，W发现了学生在用4个全等的直角三角形通过拼补法证明勾股定理时存在困难，这属于学生的认知障碍，而W对这些内容也不了解，这又属于教师的认识论障碍，然后W和指导教师一起到数学史原始文献和研究资料中寻求帮助.虽然数学史家对历史的诠释或者史家的观点一直呈现一种动态的流变，太强调史观，反而会使教学丧失许多乐趣[41]，但教师仍然可以借鉴很多，这对于克服认识论障碍有很大帮助.

可以看出，W 在第一、二阶段的设计中，史料堆砌过多，没有考虑学生的认知障碍，在第三阶段的设计中，能将认知障碍和认识论障碍有效对接，从而找到克服认知障碍的办法，这使得该职前教师对数学史在数学教学中作用的认识更加深入.

综上，该职前教师的教学设计信念的变化总结如下，见表2.

表2 职前教师在教学设计信念上的变化

4 结 论

4.1 开展教学设计是职前教师培养的有效方法

职前数学教师培养不是培养“知识的搬运工”、教书匠，而是培养教学工程师，教学设计是一项系统工程.“学思知行”合一的教师教育模式应该大力提倡.数学教育中的“学思知行”有机结合，就是将学习、思考、认知与应用有机融合.注重“学思知行”有机结合的数学教师既注重个人的学习、思考、认知与应用的有机结合，也注重在教学中让学生做到学习、思考、认知与应用的有机融合[42].

在职前数学教师教育课程设置中，很重要的实践环节就是进行数学教学设计案例教学，这是将教育教学理论与数学课堂教学实践有机结合的最重要的途径.通过教学设计，可以让职前教师体会到数学教育理论来源于实践又可以指导教学实践.同样，教学案例的设计也能折射出职前数学教师“学思知行”的实践能力.

4.2 HPM与数学教师信念

HPM带给职前教师的不仅仅是一种教学模式或方法，而是一种教学信念，当然也包括教学设计信念.通过HPM式的教学设计，让职前数学教师看到数学教学不能直接告诉学生结论，而应当考虑到学生的自主学习，在知识的形成过程中，实现三维目标.这是一种发生的教学信念，也称为“发生原理”、“发生教学法”.数学教育发展的百年历程表明，发生教学法一直是数学家、数学教育家、数学史家所极力倡导的，也是符合人类学习规律的一种教学方法.无论是弗赖登塔尔的“数学化”、“再创造”，还是托普利兹的“间接发生法”，再到我国数学课程标准中的“体现知识发生发展的教学”都是在贯彻这一基本原理.

数学教师的课堂教学应该贯穿知识发生发展的教学，无论是概念的形成还是定理法则的归纳、概括，数学命题的先猜后证都要具有HPM的信念.培养对数学拥有历史发展观的职前教师对于理解、贯彻执行课程改革的理念具有现实意义.因此，HPM应该成为数学教师的一种教学信念.

4.3 案例设计和教学是解决HPM“高评价低应用”现象的方法之一

汪晓勤教授认为，HPM可以有效促进中学数学教师专业发展.在教师培训中，有必要加强数学史的教学，不是泛泛讲授数学的通史，而是挖掘中学数学中各个知识点背后的历史；不仅讲授历史，而且讲授如何将数学史用于课堂教学设计[43].

“高评价低应用”现象的发生就是实践环节没有解决好.实践环节的解决应该遵循“专家引领—教师内化—重构设计—课堂生成”的模式.其中教师消化吸收数学史、数学课堂教学设计的理论和学科教学知识，内化形成自己的教学信念是关键，仅仅靠照搬或模仿HPM研究人员已有的教学设计是不够的.

5 研究不足与展望

5.1 不足之处

由于教学信念系统非常复杂，即使是其子系统教学设计信念也不容易廓清其要素，再加上所研究个案教师自身综合素质高的特点，所以对于其他职前数学教师的培养是否具有可迁移性，结果不得而知.另外研究只采用质性分析没有量化研究.

5.2 进一步的研究

如何大面积转化职前数学教师的教学设计信念和教学信念是当前职前教师教育体系亟需解决的问题，对于未来教师的培养质量起到至关重要的作用.在职前教师教育仍然大班额授课的情况下，确实存在很大的挑战.另外，职前教师的MPCK和MKT与教学设计信念的关系，教师自身知识与信念的关系都可以继续深入研究.

［参 考 文 献］

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[责任编校：周学智]

中图分类号：G420

文献标识码：A

文章编号：1004–9894（2016）02–0059–07

收稿日期：2015–12–18

基金项目：山东省教育科学“十二五”规划课题——历史文化视野下数学教师信念重构的研究（2011GG139）

作者简介：冯振举（1977—），男，山东邹城人，副教授，博士，主要从事数学教育和数学史研究．前教师的数学教学设计信念至关重要.

Case Study on the Change of Teaching Design Beliefs of Pre-Service Mathematics Teacher——The Teaching Design about the Pythagorean Theorem under the History and Pedagogy of Mathematics

FENG Zhen-jv1, WANG Hui-yangzi2
(1. School of Mathematics, Qufu Normal University, Shandong Qufu 273165, China; 2. Department of Education, Basic Education Center, Ocean University of China, Shandong Qingdao 266003, China;

Abstract:Through analysis teaching design and the teaching narrative, it is found that the pre-service mathematics teacher’teaching design beliefs make an obvious change. Teaching Design is an effective method to mathematics teachers’ education. HPM should to be seen as a kind of teaching belief. The teaching design is one method to solve the “high assessment, Low application” which happened in HPM.

Key words:pre-service mathematics teacher; teaching belief; teaching design belief; history and pedagogy of mathematics; the Pythagorean Theorem