晚清数学家戴煦对正切数的研究——兼论正切数与欧拉数的关系

罗见今

（内蒙古师范大学 科学技术史研究院，内蒙古 呼和浩特 010022）

晚清数学家戴煦对正切数的研究
——兼论正切数与欧拉数的关系

罗见今

（内蒙古师范大学 科学技术史研究院，内蒙古 呼和浩特 010022）

晚清数学家戴煦在《外切密率》中用递归法同时定义了正切数和欧拉数，在世界数学史上是一重要创新，提醒人们注意两者间的“对称”关系。揭示戴煦成果的意义，特别对西方数学史上研究较少的正切数作拓展研究，从递归函数、特殊函数和计数函数的角度，阐明正切数的性质及其与欧拉数的关系，在经典领域获得40多个新公式，这些迟到的认识显示出东西方文化背景下数学研究的差异性。

晚清数学家；戴煦；正切数；欧拉数；递归函数；特殊函数；计数函数

清代晚期，传统数学在经历了长期缓进的寂寞之后开始复苏，在西学东渐的浪潮冲击下，中算内部，业已酝酿着向变量数学的过渡。对无穷级数、垛积差分等的研究，集中了不少中算家的兴趣。这些属于微积分创始前期的工作，总的来看，不能与当时大踏步前进的西方数学相提并论；但是，中算家们利用传统数学的工具，发挥了自己的长处，穷思极虑，走出一条富有个性色彩的道路，那就是用离散的手段处理连续的对象，把整体上无限的问题，转化为局部有限次求解，从而得到用微积分工具所得到的类似的结果。对分析学而言，他们所获得的大批复杂的级数展开式似乎不具有基本的重要性，然而从离散数学的观点来看，计算过程中为求展开式各项系数而归纳出的大量计算规律、互反关系等，至今在组合数学计数理论中足资借鉴，值得研究［1-3］。

戴煦（1805—1860），字鄂士，号鹤塾，浙江钱塘（今杭州市）人。他在《外切密率》卷四（1852）中主要研究了tanα、secα及其反函数的无穷级数。在数学史上，这些展开式最早由苏格兰数学家格列高里（James Gregory，1638—1675）给出，但戴煦使用了具有特色的方法。本文研究戴煦在《外切密率》中独创的几种计数函数（counting function），讨论卷一“本弧求切线各率分子”——即正切数（tangent numbers），记作Tn：T1=1，T2=2，T3=16，T4=272，…，涉及卷二“本弧求割线各率分子”——即欧拉数（Euler numbers①本文所指欧拉数在正割secx的泰勒级数中出现，组合数学所用，非拓扑学和流体力学中的欧拉数。），记作En。以历史研究为出发点，本文重点证明Tn是一种被忽略了的特殊函数，Tn和En具有同样优秀的性质，而在文末引用史料阐述Tn和En在组合数学排列理论中的意义。

1　正切数与欧拉数：递归定义和性质分析

《外切密率》卷一的“本弧求切线各率分子”Tn，另外还叫作“递次乘法”或“各率乘法”。戴煦详述了求“递次乘法”的过程［4］：

先乘各率分子为递次乘法。以二为数根，即为第一乘法（T2=2）。置前数根加二得四，为数根，置前乘法，四、五递乘之，一、二递除之，得二十，为初减数。数根减初减，得十六，为第二乘法（T3=16）。置前数根加二得六，为数根，置前初减，六、七递乘之，三、四递除之，得七十，为初减数。置前乘法，六、七递乘之，一、二递除之，得三百三十六，为次减数。数根减初减，得六十四，再减次减，得二百七十二，为第三乘法（T4=272）。……得七千九百三十六，为第四乘法（T5=7936）。凡数根均起各偶数，其求各减数，则用偶奇二数乘，而逐次乘法递加（如第二乘法用四、五乘，第三乘法六、七乘），再用奇偶二数除而挨次减数递降（如第三乘法初减用三、四除，次减一、二除），乘法降一位则多一减，如是递求得各率分子，即为递次乘法。

表1　推演本弧求切线总图同母式数表

表1　推演本弧求切线总图同母式数表

m=0123456 n=0 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 1 11 132 152 0 16 177 0 336 272 196 8 2 016 9 792 7 936 11 1 330 7 392 89 760 436 480 353 792

表2　推演本弧求切线总图商实数表

表2　推演本弧求切线总图商实数表

m= n=0 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 01 101 2012 30141 6 40166 4 272 5018 160 1 856 7 936 6011 0 320 7 072 82 688 353 792

从数表中可以看出，数Tn处于表1和表2的对角线上，说明由和可以求出Tn，或者说数Tn是同母式数或商实数当n=m时的特例。可从性质分析中得到证明。

证明见下式。

证毕。

这是数Tn的递推公式，给出tanα展开式各项分子Tn间的关系，可代替定义1之（ii）。

证毕。

戴氏创造的这两种计数函数都可以用来求Tn，形式上有所区别，本质上是同一的。以上推求3个性质定理的过程，正好是戴煦推算Tn的过程，虽然他没有用字母和符号直接给出递推公式，但其结果已包含在定义之中。所以本文认为，戴煦的方法已相当于获得了Tn的递推公式，即性质2。事实上，他已正确算出前10个Tn数，除表1、表2所列，他算得

为此，他创造了一系列数表，他说：“横竖视之，皆秩然而不紊，则自二率而至十率既然，而自十率至千百率亦莫不皆然。”［4］说明戴氏已完全掌握了数Tn的递推规律，从而得到

在《外切密率》卷二“本弧求割线术”中，戴煦用完全类似的递归法来求secα展开式系数分子，即欧拉数En。文献［5］里我们详细分析他所创造的一系列数表、他的立术之原，说明他已相当于获得了欧拉数的递推公式。本文只列出一卷完全相仿的如下结果。

表3　推演本弧求割线总图同母式数表

表3　推演本弧求割线总图同母式数表

m= n=0 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 01 111 2165 311 5 412 8 514 5 616 6 75 61 350 1 708 1 385 1 050 12 810 62 325 50 521 2 475 56 364 685 575 3 334 386 2 702 765

表4　推演本弧求割线总图商实数表

表4　推演本弧求割线总图商实数表

m=0123456 n=0 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 1 01 015 011 4 012 7 014 4 016 5 61323 1 385 1 006 11 804 50 521 2 410 53 954 631 621 2 702 765

戴煦已正确地算出了前10个欧拉数，除表3、表4所列之外，还有

于是，他便得到了正确的幂级数展开式：

经比较，显而易见，戴煦把Tn和En相提并论，定义酷似，且相补充。他的基本思想是两者相匹配、相“对称”。因而在他的原著中，全部论述和全部结果都保持这种“对称性”，这与现代数学中将欧拉数同伯努利数（Bernoulli numbers）相提并论的作法不同。

在数学史上，戴煦第一次作为独立的研究对象而定义了计数函数Tn，为递求Tn而设计了两种计数函数和，相当于给出Tn的递推公式，方法独特，结果正确。因而，本文称为第一、二种戴氏数，Tn即正切数。

在现今的数学没有给予Tn以适当的注意的情况下，《外切密率》的方法对我们似乎仍然具有启示的意义：戴煦思想的价值在于，它强调Tn是堪足与En相媲美的、同类的函数，因而暗示在其他方面，也会保持这种“相似性”“对称性”。这种来自不同哲学背景、不同数学传统的启示，会不会给今天的数学增添什么新的内容呢？我们来作一次尝试。在下文中，将给正切数一个新定义，并论证它与欧拉数一样，都是特殊函数。

2　作为特殊函数的正切数与欧拉数

正切数Tn是一种特殊函数（special functions），或者叫高等超越函数（higher transcendental functions），它同欧拉多项式（Euler polynomial）En（x）、欧拉数En、伯努利多项式（Bernoulli polynomial）Bn（x）、伯努利数Bn之间，都可以建立密切的关系。本文将给出有关公式，用（）编号，并对主要结果予以证明。所引用的公式以＜＞编号，主要依据文献［6-9］。

Bn（x），Bn，En（x），En这几个著名的特殊函数的定义见之于数学辞典及有关著作，下文将多次引用，故先分列于下：

正切数Tn由下式定义：

Bn，En，Tn当0≤n≤10的数表如表5、6（Tn的递推式见下文式（41））。

表5　Bn，En，Tn的第一类记法（*）

表6　Bn，En，Tn的第二类记法（**）

表5的记法称为第一类记法，用（*）号标明。表6的记法为第二类记法，用（**）号标明，是通常使用的记法，如本文前一节所涉公式。若取第一类记法的绝对值，可称第三类记法，本文偶尔采用。需要说明，对于同一性质，由于记法不同，所得公式因而有异，故有必要予以区别；记法混淆，可能造成公式内的矛盾。如日本《岩波数学词典》［9］记有如下公式：

三类记法此式均不成立。该辞典取本文所称的第三类记法应将式中（-1）n换为in，否则它所定义的是secx而非sechx。 Tn可由欧拉多项式En（x）导出。已知由式〈3〉、〈4〉可得

证明：由式（5），

由式〈3〉，分别取x=1及x=0，

注意到

取x=1，n为奇数时有En（0）=-En（1），故

与式（8）比较展开式系数，即得式（7）。

Tn和En孪生于欧拉多项式，两者之间必然有内在的密切联系，今将式〈4〉、〈5〉分别平方，式左相加得 tanh2z+sech2z=1，式右亦有

据柯西（Cauchy）幂级数乘法规则，有

两式表明正切数可由它本身或欧拉数递推出来。

事实上，欧拉数和正切数间还存在着互求关系。用第二类记法，可表为：

这一组互反公式属于广义莫比乌斯反演（Mobius inversion），是组合数学计数理论研究的课题。式（11）-（14）的证明在本文第3节中给出。

继续Tn同En的比较。先通过En（x）建立Tn同Bn（x）的关系式。式〈1〉对x微分，并比较系数，得［7］

分别取x=0、1、1/2，由式（7）＜6＞，并将积分变量t换写为x，得

舍去积分值为零，则可写成

式（17）将欧拉多项式表为伯努利多项式的定积分，是两者间的基本关系式，而Tn和En是由它派生的两个特例。

既然Tn同贝努利多项式有式（18）的关系，很自然地会联想到，正切数Tn同伯努利数Bn之间关系如何？由式<15>可得Bn（x）的乘法公式取x=0，，取m=2，［6］，将n换写为2n，

将式<16>中之n换写为2n，并取x=1，得

注意到B2n（1）=B2n（0）=B2n，将式（21）代入上式，得

两边同乘22n-1B2n，由式（7）知

这就是Tn同Bn的基本关系式，它说明Tn是Bn的“放大”。事实上，人们已知［8］

它与式（14）形式稍别，而结果相合，可谓异曲同工。不过，以前没有将Tn看作是一个独立的特殊函数。

“放大系数”22n（22n-1）2n可径由多项式〈1〉〈3〉中算出。由式（22）

利用（23）′式，可将在一些无穷级数中出现的Bn换成Tn而使公式简化。以《Peirce积分表》所列公式［8］为例（原文B2n-1为上述第三类记法）：

使用正切数Tn后，这些公式变为（第二类记法）：

中国清代数学家一般都不把展开式分子与分母约简，相当于保留xn/n！的形式，这符合现代生成函数或形式幂级数（generating function or formal power series）的要求。

顺便提及，戴煦在《假数测圆》（1852）也得到了可写成式（31）′的公式，并给出了相当于下式的级数［10］：

正切数同欧拉数一样也可展开为无穷级数。以下我们将利用已知的结果，沿着将伯努利多项式展开为富里叶级数（Fourier series）的途径求得它。考虑（r＞1）积分路径C是圆心在原点、半径为（2N+1）π（N为整数）的圆。被积函数的极点为zk=2πik（k=0，±1，±2，…），当k≠0时，被积函数的残数（residual）为e2πikx/2πik。据残数理论，由式〈1〉知，在z=0的残数为Br（x）/r！，只要0＜x＜1，在N→∞时沿大圆周的积分趋于0，故有

符号“'”表示略去k=0的项。由此得到

由Bn（1）=Bn（0）=Bn（n≠1），令x=0，可得

改用第二类记法（**）：

式中黎曼ζ函数（Rieman zeta function）有（实数β＞0）取β=2n，则

于是

已知

两式相比，平分秋色。观察它们的结构，立即联想到

设后两收敛级数之比为λ，则在有限项内，例如n≤6时

故在n不太大时，有近似公式

［α］为高斯（Gauss）记号，表示不超过α的最大整数。对常用的几个Tn之值用式（38）从已知的En来求较为方便。

同欧拉数一样，正切数也可以表示成多种复杂的积分形式，都是通过式（23）而得到的，这里只列一例，旨在将Tn和En进行对比。已知（实数β＞0）

式中Γ（β）为Γ函数（gamma fanction）。当取β=2n，有2Γ（2n）=2（2n-1）！=（2n）！/n，而由式〈34〉，

于是有

式中E0=1。两式奇偶骈立，“对仗工整”。还可以列出类似的关系，此不一一。

回到本文前节据戴煦的定义所得到的递归公式：

如果改用第一类记法，则有

式（41）′可据正切数的定义式（5）直接得出。由sinhz=tanhz·coshz，等式两边分别展开成幂级数，据柯西的乘法规则，有

比较等式两边系数，即得式（41）′。而欧拉数的递推公式〈42〉′则是由sechz·coshz=1，用相仿的方法得到的。

总之，由本节公式形式和证明过程的对比中，我们论证了Tn和En在本质上既统一又相对，它们互为补充，相辅相成，在数学意义上互为余函数。正切数和欧拉数都是脱胎于伯努利多项式和欧拉多项式的“孪生”函数，从而证明了正切数作为特殊函数的地位。

3　作为计数函数的正切数与欧拉数

《外切密率》卷一、卷二提出的正切数、欧拉数，其定义和数表都具有计数的意义，已见第一节所述。本节将把Tn和En作为计数函数进一步考察。

Tn、En的定义式〈4〉（5）建立了它们与tanhz、sechz间的对应关系，由此可以实现从有关双曲函数的定义式（恒等式、微分式、复变量公式等）到Tn、En的一批计数公式（包括几种类型的递推式）的变换。

在变换中，为适应不同的计数需要，Tn、En有三类记法。第一类记法*T2n-1、*E2n-1、第二类记法**Tn、**En与第三类记法T2n-1、E2n-1同有简单的换写公式：

先讨论一组基本公式，即En和Tn之间存在的互反关系：

式（43）的证明：式（43）因项数奇偶不同可分写为：

比较两边系数即得式（43b）；而式（43a）即为已证过的式（41）′，式（43）因而得证。

式（44）的证明：式（44）因项数奇偶不同可分写为

比较两边系数即得式（44b）；而式（44a）即为已知式〈42〉′，式（44）因而得证。

式（43a）亦可写成

以上8式改为第二类记法后合为4式，即式（41）〈42〉（13）（14）。可见第二类记法可使公式简化。须说明的是，由式（43c）改成

与由式（43b）改成的式（13）是完全一致的，写法略有区别而已，第2节所给互反公式于是得证。显然，这些递推式分为自求和互求两类；下面讨论另外两类。第2节有

式（12）的证明：由于式〈4〉（5）级数绝对收敛且一致收敛，故可平方或逐项微分：

比较展开式两边系数即得式（12）。类似地，由T tanh z/Tz=sech2z可证式（11）。

又据T sech z/Tz=-sech z·tanh z，仿上法可得

法国数学家安德烈（André）在1879年和1881年所发表的论文中，将Tn和En统一于计数函数An，而赋予它以“交错排列”的新意义，从计数的角度揭示了欧拉数和正切数的内在联系。本文据文献重新表述An的定义及有关证明［11］74-79，并据前文所得结果，将给出简洁的新证法。为了避免汉语中“交错排列”同“交错级数”或“错位排”等术语混淆，本文使用“齿排列”来代替它。

定义5设N=｛1，2，…，n｝为有序集，ak∈N，ak的大小即ak的数值，则在所有Pn=n！种排列（a1…ak-1akak+1…an）中，任一元ak（1＜k＜n）满足既非ak-1＜ak＜ak+1，也非ak-1＞ak＞ak+1的排列总数，称为“全齿排列”，记作2An，并规定A0=A1=A2=1。

例1 n=3时，在P3=6种排列里

1 2 31 3 22 1 3

2 3 13 1 23 2 1

首末两种非齿排列，故2A3=4。

例2 n=4时，在P4=24种排列里，只有

1 3 2 41 4 2 32 3 1 42 4 1 33 4 1 2

4 2 3 14 1 3 23 2 4 13 1 4 22 1 4 3

10种是齿排列，故2A4=10。

注意到，例2中第一行5种排列里开始两元均有a1＜a2，可称为“下齿排列”；第二行5种排列里开始两元均有a1＞a2，可称为“上齿排列”。由元素的对应，易证两者均等于全齿排列之半An，可称为“半齿排列”或“齿排列”。画在坐标上，显见关于（n+1）/2为对称。因而，齿排列的个数只与元数n有关，与始升或始降、与上齿或下齿、与左视或右视均无关。 全齿排列有递推公式（André）A0=A1=A2=1：

证明1：设最大元n=ak+1（k=0，1，2，…，n-1）。n左有k个元，由定义，n＞ak，ak＜ak-1，故从ak开始、向左的下齿排列共有Ak种；n右有n-k-1个元，由定义，n＞ak+2，ak+2＜ak+1，故从ak+2开始的下齿排列共有An-k-1种。遍取最大元在第k+1位时所余n-1元的全部组合（n-1k），n=ak+1遍历从k=0到k=n-1的一切位置，就得到全齿排列的总数：

据式〈46〉所得An的数表（0≤n≤10）如表7。

表7　齿排列数An

证明2：将上文式（11）（12）（45a）（45b）用第三类记法表出，则为

将前两式和后两式分别相加，并将T2m-1换写为A2n-1，E2m换写为A2n，则有

（n≥1），证毕。

同时得到（*T2n-1、*E2n为第一类记法，**T2n-1、**E2n为第二类记法）：

定义6元数为奇数的半齿排列A2n-1称为奇齿排列，元数为偶数的A2n称为偶齿排列。

欧拉数En表示偶齿排列的个数A2n，正切数Tn表示奇齿排列的个数A2n-1。这是En和Tn在组合数学排列理论中的意义。本文称齿排列数An为安德烈数（André numbers）。安德烈数是欧拉数和正切数的复合。

前面已经提到，戴煦的目标在于用Tn和En来表示tanx和secx的展开式。有趣的是，安德烈通过一种独特的途径由齿排列的无穷级数来求tanx和secx。格列高里最早给出的展开式，在1671年的一封信中，只有结果，而无证明。tanx展开式的系数因约简而没有表示成T2n-1/（2n-1）！的形式［12］163，戴煦是不知道的，安德烈应当是知道的，但是每人的方法各有特色。以下列出安德烈求证的过程，以便同戴煦的方法进行对比。先求出An的生成函数：

由定义6，当n＞2时，2An/n！＜1，即An/n！＜1/2，级数〈47〉′绝对收敛且当-1＜x＜1时一致收敛，级数〈47〉′可平方亦可逐项微分：

将式〈47〉〈48〉代入三角公式

如果应用欧拉公式（Euler formula）sinhiz= isinz，coshiz=cosz，tanhiz=itanz，sechiz=secz和本文上面提到的一些结果，这一过程只需更简短的步骤。

证明2：

式中欧拉数、正切数都用第一类记法。此证业已显示了用奇齿排列和偶齿排列的无穷级数来表示正切和正割的本质过程。

4　结语

在微积分早期工作中，研究超越函数时用它们的级数来处理是富有成效的方法。18世纪以来，无穷级数一直被认为是微积分的一个组成部分，其主要应用的一个方面，在于计算π和e的值，以及对数和三角函数。许多数学家都因此而对级数产生了兴趣［12］160-198。

J伯努利（James Bernoulli，1654—1705）在《推想的艺术》［13］（1713）中首次提出了后来以他的名字命名的数Bn和多项式Bn（x），今天已被广泛应用。级数方面真正广阔的工作是1730年左右从欧拉（Léonard Euler，1707—1873）开始的，同本文有关的内容，如他给出Bn的定义式（2）［12］160-198，得到

这样优美的结果［12］160-198，而且提出了后来以他的名字命名的数En和多项式En（x），这些成就，无疑构成了18世纪级数研究的一个引人注目的方面。

与此同时，欧拉也注意了组合问题。被他称作“组合理论一个妙题”的“错位排列”，即所谓的“装错信封问题”，由N伯努利（Nicolaus Bernoulli，1687—1759）和欧拉先后独立解决［11］21，所得到的级数，与安德烈的齿排列数同属于组合数学排列理论研究的对象。

直到20世纪20—30年代，还有一些数学家在研究Bn和En，还有高阶Bn（x）、En（x）及有关积分公式［14-16］。毫无疑问，所得的结果是更加深入了，但同时也愈演愈繁，例如

在中国，清代数学家从明安图（1792？—1763？）开始，董祐诚（1791—1823）、项名达（1789—1850）、徐有壬（1800—1860）、戴煦、李善兰（1811—1882）、邹伯奇（1819—1869）、夏鸾翔（1823—1864）、华蘅芳（1833—1902）等人，主要也为了研究三角函数、对数和有限差分，对级数产生了浓厚的兴趣。他们使用的方法基本上是传统的。由于传统数学没有形成完整的符号体系和演绎系统，妨碍了它的发展，与近代数学脱节，没有进入微积分的发展时期。但是，正如文章开始所说，中算家们发挥了自己的长处，应用离散的手段，处理连续的对象，在与世隔绝的环境中，仍然引入了一些有价值的思想和方法，戴煦的工作即是一例。

戴煦在中算史上第一次提出了Tn数和En数。由于资料所限，本文不能确认在他之前的西方研究中从未遇到过Tn，即令今后发现了关于Tn的论述，我们也并不感到意外。我们关心的是，仅就Tn和En相匹配这一点而言，由于历史的原因，迄今尚未形成主流的认识，而在戴煦的著作中，却是理所当然、毋庸置疑的。在今天的数学词典和专著中，所见到的都是Bn和En相匹配的记载——我们已经谈过，这是有它的道理的——然而，对Tn忽略所带来的一个后果，使得对En的认识也难以臻于完备，本文第2、3节即补充了这一点。

中国数学史的研究并非仅仅陶醉在汉魏宋元的光辉回忆之中。尽管较为困难，19世纪的成果亦可作为现代研究的起点。当然我们并不是企望一切的历史研究都能与现代的发展联系起来，这样的努力也未必能够得到普遍的认可。然而，值得欣慰的是，科学对向她提供有价值思想的一切历史来源都表示了同样的尊重，对此，历史也终将给予科学的评价。

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AStudy on Tangent Numbers by Mathematician Dai Xu in Late Qing Dynasty——And on relationship between Tangent Numbers and Euler Numbers

LUO Jianjin
（Institute for the History of Science and Technology，Inner Mongolia Normal University，Huhhot 010022，Inner Mongolia，China）

In the late Qing Dynasty，mathematician Dai Xu（戴煦）defined the tangent numbers and Euler numbers using recursive method in his book Wai Qie Mi Lü（《外切密率》）.It is an important innovation in the history of mathematics in the world，reminding people to pay attention to the relationship of“symmetry”between the two numbers.This paper reveals the significance of the results by Dai Xu，and especially makes an especial expanding research on the tangent numbers，on which there is less research in the history of western mathematics.The paper elucidates the nature of tangent numbers and theiy relationship with the Euler numbers from different points of views，including recursive function，special function and counting function，and also obtains more than 40 new formulas in the classical field.These obtained findings and knowledge show the differences in the mathematical studies against the East and West cultural backgrounds.

a mathematician in Late Qing Dynasty；Daixu；tangent number；Euler number；recursive function；special function；counting function

N09

A

1672-2914（2015）04-0001-11

2015-04-25

罗见今（1942-），男，河南新野县人，内蒙古师范大学科学技术史研究院教授，博士生导师，研究方向为数学史。