交换环论起源中的三类问题

王淑红

（河北师范大学 数学与信息科学学院，河北 石家庄 050024）

交换环论起源中的三类问题

王淑红

（河北师范大学 数学与信息科学学院，河北 石家庄 050024）

环论是抽象代数学中较为深刻的部分，亦是结构数学的重要分支，可分成交换环论和非交换环论两大类。交换环论源于19世纪早期的代数数论、代数几何和不变量论。通过文献考证与概念分析，对交换环论在代数数论中的起源进行研究，认为高次互反律、二元二次型和费马大定理在这一进程中发挥了重要作用。

环论；交换环论；高次互反律；二元二次型；费马大定理

交换环论主要起源于三大数学领域，即代数数论、代数几何和不变量理论，而且其发展亦与这几大领域休戚相关，相互作用，相互影响，其中代数数论则源于高次互反律、二元二次型和费马大定理这三大问题［1-6］。本文通过对这三大问题的考察，以期对交换环论的早期起源有一个更加清楚的认识。

高次互反律、二元二次型和费马大定理是数论的几大重要领域，而它们都促进了代数数论的产生。尽管这些领域的主要问题都用整数表述，显然问题的解决逐渐地需要把整数嵌入现代所谓的代数整数中去。

1　高次互反律

在19世纪之前，高次互反律一直占据着是数论的核心，其中关键的是唯一因子分解问题。高斯（C F Gauss，1777—1855）在欧几里得（Euclid of Alexandria，约公元前300）、拉格朗日（J L Lagrange，1736—1813）、欧拉（L Euler，1707—1783）和勒让德（A M Legendre，1752—1833）等数学家的研究基础上，为了寻求建立唯一因子分解，引入了复整数［7，8］。

我们知道求解多项式方程是代数中的重要问题，与此类似，求解形如

的同余多项式是数论中的重要问题。当m为任意数时，问题会变得十分困难。

1801年，高斯在《算术研究》［9］的第四节中探讨了二次同余式他详细研究了p和q都是奇素数的同余式

高斯在1829和1831年的两篇文章中，用高斯整数阐述了双二次互反律。1832年，高斯发表了文章，谈到四次互反律，并且他为了达到简洁和完美的境界，引入了形如a+ib的复数，其中a，b为整数，i2=-1。高斯讨论了模p是形如4n+1的素数的情形，这些素数可以分解为复的因数，从而达到目的。为了与一般的复数区分开，将它称为复整数，或者高斯整数。对于复整数施行加、减、乘三种运算，其结果仍为复整数。若把复整数的集合用Z［i］来表示，则Z［i］形成一个环，可以称为复整数环或高斯整环，它是唯一因子分解整环。

在一般的整数论当中，可逆的元素为±1。但是，在复整数论当中，可逆的元素为±1以及±i。若一个复整数为两个非可逆的元素的复整数的乘积，则称其为合数。如果不是，则复整数是素数。例如，因为，所以5是合数，而3不能这样分解，所以3是复素数。高斯阐述了复整数的一些性质，证明了复整数实际上与普通整数的性质一样。

算术中有一个基本定理，也就是每一个整数均可分解为素数的乘积，而且这个分解是唯一的。欧几里得曾对其进行了证明。高斯把它推广到了复整数上。高斯证明，4个可逆的元素若不作为不一样的因数，复整数上也存在唯一因子分解。这就是说，如果，那么这两种分解相同。他也阐明，复整数上也可用欧几里得算法。此外，还有一些普通素数的定理可以推广到复整数上。有了复数的思想，四次互反律的形式也变得更为简洁。这也是高斯给出的，只是没有证明。

雅可比（C G J Jacobi，1804—1851）证明了这个定理，不过未正式发表。高斯的学生、英年早逝的艾森斯坦（F G Eisenstein，1823—1852），也证明了这个定理，在1844年发表，并且之后还得出了另外4种证明方法。无论是雅可比，还是艾森斯坦，都在证明当中用到了复整数的因子分解。雅可比和艾森斯坦还发生了优先权之争，无论孰是孰非，他们都对这个问题有关键性的贡献［10-14］。

与此同时，雅可比和艾森斯坦也得到了三次互反律，其实高斯在未发表的文章中也谈到过。这里需要在整环中考虑，其中ρ是1的本原三次根也为唯一因子分解整环。

于是，数学家们进一步寻求高次互反律。但必须要有新的方法来研究不同于以上Z［i］和Z［ρ］的情况，亦即利用其他算术域来阐述不满足唯一分解整环的互反律。

2　二元二次型

一个整二元二次型就是形如

的表达式，其中a，b，c∈Z。二元二次型的主要问题是：给定一个二元二次型 f，求出全部可被 f表示的整数m，即找到满足 f（x，y）=m的所有整数m。

高斯在《算术研究》中对二元二次型ax2+bxy+cy2=n的整数解问题进行了分析。当a=c=1，b=0时，就是二平方和问题。他运用复整数环Z［i］所具有的唯一因子分解性质，找到了能够表示为两个整数之平方和的所有的正整数n，最终把二平方和的问题彻底解决了。

高斯建立了二元二次型理论，特别是定义了两个二元二次型的合成，并证明判别式为D=b2-4ac的二元二次型在这种合成关系下形成一个集合，以现代的语言来说，就是交换群。

二元二次型的合成看似简单，构造起来较为复杂。如果二次型 f和g分别表示整数m和n，那么它们的合成f∗g表示乘积mn。

为了理解高斯的二元二次型的合成理论，狄利克雷（J P G L Dirichlet，1805—1859）、库默尔（E EKummer，1810—1893）和 戴 德 金（R Dedekind，1831—1916）等数学家都花费了很多心血。他们主要是想对算术域进行扩张，拓宽问题考虑的范围。例如：若m1是m2为两个平方数之和，则m1m2也为两个平方数之和。实际上，若则

利用二元二次型的合成，这个过程可表示为

或者 f∗f=f，其中 f（x，y）=x2+y2。

但这种形式在当时还相对不太容易理解。有了高斯整数后，表达形式才变得清晰、易于理解。

一般来说，ax2+bxy+cy2=m可写成

其中D=b2-4ac。

这样我们就通过整环

把整数表示成了二元二次型的形式［1］。一般来说，对不同的D来讲，整环R不是唯一因子分解环，这样建立他们的算术理论就成为重要的研究目标。

3　费马大定理

费马（P D Fermat，1601—1665）是法国的律师，也是一位业余的数学家。他出生于法国的博蒙-德-洛马涅（Beaumont-de-Lomagne），其出生的房屋现已成为费马博物馆。他的父亲是一位十分富有的做皮革买卖的商人。费马作为数学家，虽然职业是业余的，但数学修养却是专业的。他数学成就卓著，在解析几何方面与笛卡儿（R Descartes，1596—1650）共享学科开创者的殊荣，在概率论方面也有贡献，但他最感兴趣，也是最为人所知的成就是数论。

1620年代中期，费马在进入图卢兹大学后，搬到波尔多生活，从此开始了正式的数学研究工作，结识了数学家博格朗（J D Beaugrand，1584—1640）。他们经常在一起交流数学，维持了长久的友谊。他还相继结识了皮埃尔·德·卡克维、梅森（M Mersenne，1588—1648）和笛卡儿等数学家，进行了很多书信往来，他的很多数学成果就写在了这些书信中。他1665年逝世于卡斯特，生前没有发表他的研究成果，去世后由他的儿子整理成书。

1637年，费马在阅读古希腊数学家丢番图（Diophantus，公元250年左右）的代表性著作《算术》时，在这个拉丁文版本的第11卷的第8个命题旁的空白处写下：

把一个立方数分为两个立方数的和，或者把一个四次幂分为两个四次幂的和，或者更一般地，把一个高于二次的幂分为两个同次幂的和，这是不可能的。对于这个结论，我已经确定找到了一种好的方法来证明，无奈空白处甚小无法写下来。

费马所叙述的定理可以表述为：当n＞2时，关于x，y，z的不定方程xn+yn=zn不存在正整数的解。

这个定理被称为费马大定理或费马最后定理。这个定理经历了300多年，才由英国数学家维尔斯（A J Wiles，1953—）证明。在这个历史过程中，有很多新的数学结果和数学分支华丽诞生［10-14］。

其实早在18世纪，双目失明的瑞士数学家和物理学家欧拉就证明了n=3时，费马大定理成立。虽然欧拉终生未改国籍，但是他在俄国和普鲁士度过了人生的绝大部分时光。他作为18世纪最为伟大和传奇的数学家，研究领域众多，也是有史以来成果最多的四位数学家之一。法国数学家拉普拉斯（P S Laplace，1749—1827）曾不无赞赏地说到欧拉在数学上的贡献：读读欧拉的著作，无论在何种意义之上，欧拉都可以称为我们的大师。

勒让德以及狄利克雷等其他几位数学家在19世纪上半叶也在这一问题上取得一些进展。勒让德证明了费马大定理对n=5成立；狄利克雷也独立证明了费马大定理对n=5成立，另外还证明了费马大定理对于n=14也成立。

他们都意识到即使对于比较小的n，若证明费马大定理也须用到复整数

例如：x3+y3=z3可以表示为

从现代数学的观点来看，这是整环上的方程。

那么怎么证明费马大定理呢？证明思路是这样的：若方程x3+y3=z3（z＞0）可解，假定D3是唯一因子分解整环，则通过证明满足方程a3+b3=c3的整数a，b，c（0＜c＜z）的存在性，从而得出矛盾性的结论，这样就可以证明费马大定理。应该说，这种思想很有借鉴意义。

进行类似的推广，从而方程xp+yp=zp可以表示为

其中ω是1的 p次本原根（即ω≠1是方程xp=1的根）。

于是可以得到分圆整数环

上的一个方程。其中，容易证明n=p为素数时的费马大定理。证明思路是：假设Dp是唯一因子分解整环，通过证明满足方程up+vp=wp的整数u，v，w（0＜w＜z）的存在性，从而得出矛盾，最终证明费马大定理。

法国数学家拉梅（G Lamé，1795—1870）在上大学时，受到勒让德的影响，对数学萌生兴趣，在数学物理、几何、数论等领域做出贡献。他1847年在巴黎科学院宣称用上述方法证明了费马大定理。实际上，疏漏之处在于，这种方法对于所有的素数p，总假定Dp是唯一因子分解整环。

库默尔指出了拉梅的错误，得到一个证据，也就是D23不是唯一因子分解整环。1971年其他人证明［1］p≥23时，Dp都不是唯一因子分解整环。

其实，从以上的讨论可以看到，这一时期证明费马大定理的方法，就是将不定方程xp+yp=zp看作是Dp中的方程，这个方法具有示范意义。

复整数的引入作用很大，不但对费马大定理，而且对普通整数的问题都是如此。通过下面的例子可以看到这一点。比如，求丢番图方程x2+2=y3的所有整数解。首先，x=±5，y=3是方程x2+2=y3的解是比较容易可以得到的。下面我们来看看它除了这几个解之外，还有没有其他的解。

为了找到这个方程的所有解，现在把它改写为下面的形式

将上述方程右边的式子进行整理后，可以证明x=±5，y=3是方程x2+2=y3的唯一解。如果没有复整数，那么很难解决这个问题。欧拉在18世纪解这个方程时就是用的复整数方法。

4　　结语

总之，费马大定理、高次互反律和二元二次型是数论中的中心问题，我们发现研究它们的关键是将其归结为整数环中的问题，复整数在这一历史阶段发挥了重大作用，有了它很多问题取得很大进展。但这些问题还没有获得根本解决，所以怎样对数域进一步扩张，实现唯一因子分解，就成为数论中的主要问题，雅可比、库默尔、戴德金、克罗内克（L Kronecker，1823—1891）等数学家在这一进程中发挥了巨大作用，建立起了代数数论。

雅可比等数学家高斯的基础上推进了互反律问题。最终彻底攻克一般高次互反律问题的数学家是库默尔，他引入先进的理想数的思想，不但使上述问题圆满落幕，还使费马大定理的进程取得了关键性的进展。

戴德金在集合意义上提出理想概念，建立了严密的理想理论［15］。戴德金引入了交换代数中环、理想、素理想、模等基本概念，得出了代数数域的整环中的理想可以唯一表示成素理想的乘积这一重要结果。与他引进的概念相比，其哲学方法更为重要。相对于公式、计算和具体的表示，他更重视内在固有的概念的性质。他认为定义和证明中采用的非构造性方法属于合法的数学方法。戴德金重视概念，以概念方法为主导。戴德金已有集合论的思想，他用集合论的语言将数之间的关系全面地表示出来。由此，数论的一些定理就基本成为了一些关于数学结构的定理。一方面，由于数与数之间的关系比较简洁明了，就促使代数数的结构理论发展成为抽象代数的若干分支，尤其是发展成为了交换代数的一些原型与依据；另一方面，结构数学的框架也促使原有的代数数的理论取得拓广和延伸，其内涵大大丰富。不过，美中不足的是，戴德金的理想仍然仅仅是一种数集，并没有具有抽象的运算，也不是环这种更一般的代数结构。后人所称的戴德金环虽然在形式上与环具有等价的关系，但却不是理想的一般结构框架，这与现代的环的概念是不同的，在现代的代数概念中，环是具有一般结构的特点的，也就是囊括理想的。这其实也是早期代数数论的特点，仍然局限在理想论的层次来讨论问题，还很少上升到环的层次来分析和探讨［16］。同时代的数学家克罗内克也给出了自己的理想理论，但没有戴德金的理想理论影响广泛。

［1］KLEINER I.A history of abstract algebra［M］.New York：Springer，2007：41-50.

［2］VAN DER WAERDEN B L.A history of algebra：from AL-Kharizmi to emmy noether［M］.Berlin/New York:Springer，1985：3-46.

［3］KLEINER I.From numbers to rings:the early history of ring theory［J］.Elementeder Mathematik，1998，53：18-35.

［4］CORRY L.Modern algebra and the rise of mathematical structures［M］.Berlin：Birkäuser Verlag，2004：92-253.

［5］GOLDSTEIN C，SCHAPPACHER N，SCHWERMER J. The shaping of arithmeticafter c.f.gauss's disquisitiones arithmeticae［M］.New York：Springer，2005：15-47.

［6］GRAY J J，PARSHALL K H.Episodes in the history of Modern Algebra（1800-1950）［M］.American Mathematical Society/London Mathematical Society，2007：1-20.

［7］王淑红.早期代数数论的历史发展［J］.西北大学学报：自然科学版，2010，40（6）：1120-1123.

［8］邓明立，王淑红.理想概念的历史演变（1801—1926）［J］.自然辩证法通讯，2003，25（6）：78-83.

［9］GAUSS C F.Disquisitiones Arithmeticae（Latin，1801）［M］. English translation byArthurA.New York：Springer，1986.

［10］WILES A.Modular elliptic curves and Fermat's last theorem［J］.Annals of Mathematics，1995（141）：443-551.

［11］TAYLOR R.，WILES A.Ring theoretic properties of certain Hecke algebras［J］.Annals of Mathematics，1995（141）：553-572.

［12］FALTINGS G.The proof of Fermat's last theorem by R Taylor andAWiles［J］.Notices of theAMS，1995，42：743-746.

［13］DUNHAM W.Euler:the master of us all［M］.Washington: The MathematicalAssociation ofAmerica，1999：17.

［14］CORRY L，RENN J，STACHEL J.Belated decision in the Hilbert-Einstein priority dispute［J］.Science，1997：278.

［15］王淑红，邓明立.戴德金对理想论的贡献［J］.自然辩证法通讯，2013，35（4）：58-63.

［16］王淑红，邓明立.抽象环概念的历史演变［J］.科学技术哲学研究，2011，28（4）：84-87.

Three Kinds of Problems in the Origin of Commutative Ring Theory

WANG Shuhong
（College of Mathematics and Information Science，Hebei Normal University，Shijiazhuang 050024，Hebei，China）

As one of the most profound parts in abstract algebra，ring theory is an important branch of structural mathematics，which is composed of commutative ring theory and non-commutative ring theory.Commutative ring theory stemmed from algebraic number theory，algebraic geometry and invariant theory in the early 19th century.By the relevant historical material study，a study is made of the origin of commutative ring theory in algebraic geometry.The conclusion is that higher reciprocity laws，quadratic form in two variables and Fermat's Last Theorem have played an important role in this process.

ring theory；commutative ring theory；higher reciprocity laws；quadratic form in two variables；Fermat's Last Theorem

N09

A

1672-2914（2015）04-0017-05

2015-06-02

国家自然科学基金项目（11401161）；河北省自然科学基金项目（A2014205055）。

王淑红（1976-），女，河北黄骅市人，河北师范大学数学与信息科学学院副教授，研究方向为代数学及近现代数学史。