离散系统动态输出反馈保成本控制设计

李长涛

（咸阳师范学院 数学与信息科学学院，陕西 咸阳 712000）

离散系统动态输出反馈保成本控制设计

李长涛

（咸阳师范学院 数学与信息科学学院，陕西 咸阳 712000）

讨论了离散系统的输出反馈保成本控制问题，根据线性矩阵不等式（LMI）方法得到动态输出反馈控制律存在的充要条件，由LMI的解给出了该控制律的设计方法，同时使得对所允许的不确定性参数闭环系统稳定，且使得其性能指标不大于某个给定的上界。最后给出了该控制律的算法。

离散系统；保成本控制；闭环极点约束；动态输出反馈

近年来，关于不确定线性系统的保成本控制问题得到了大家的密切关注，且已取得了一些成果［1-4］。在系统控制中，为了将闭环系统的极点配置在左半开平面上的某些特殊区域如：将闭环系统的极点配置在一个特定圆盘中的鲁棒控制也已取得了一系列的成果［5-11］。文献［5-6］已考虑闭环系统的极点配置在一个特定的圆盘中的连续时间系统采用了状态反馈控制，但当系统的状态向量不能直接观测时采用输出反馈进行控制是较好的方法。本文研究具有极点约束的线性离散系统的动态输出反馈保成本控制。

1　预备知识

考虑由以下状态方程描述的系统

其中H，F，E是已知的常数阵，F（δ）是反映参数鲁棒性的未知阵，设其满足FΤ（δ）F（δ）≤I，且δ∈Θ，Θ 是R中的紧集。

引理1［12］对于特定的圆盘D（α，r），系统（1）存在二次D-性能矩阵的充要条件是存在常数ε＞0和一个正定阵V，满足

其中“∗”表示矩阵中关于主对角线对称的部分，下同。且系统的性能函数的上界为

下面考虑不确定线性离散系统

且系统的性能函数为

其中Q＞0，R＞0为已知的自由权矩阵。对特定的圆盘D（α，r），给出系统（3）的动态输出反馈二次D-保成本控制问题，即研究一个输出反馈控制律，使得闭环系统存在一个二次D-保成本矩阵。

给出具有以下形式的一个满阶输出反馈控制律

将控制律（5）应用到系统（3）得到闭环系统

引理2对特定的圆盘D（α，r），系统（3）存在一个输出反馈二次D-性能矩阵的充要条件是存在常数ε＞0和一个正定矩阵V，满足

2　主要结果与证明

定理1对特定的圆盘D（α，r），系统（3）和指标函数（4）存在一个动态输出反馈二次D-性能矩阵的充要条件是存在常数ε＞0和正定矩阵V，W满足

证明：先证充分性：若式（9）是可行的，就有-W-WT+V＜0，因而，W是可逆的，由于（V-W）TV-1（V-W）≥0，就有WTV-1W≥W+>WT-V，从而就有

再证必要性：令W=WT=V，把它代入式（9）从而得到式（8），证毕。

为了得出式（5）中的参数Ac，Bc，Cc，采用一个适当的变换来得到一个关于所有变量的LMI。令，其中Δ为矩阵中无关紧要的块。再引入一个变换矩阵，对式（9）左乘右乘得

定理2对特定的圆盘D（α，r），系统（3）存在一个动态输出反馈二次D-性能矩阵的充要条件是存在常数ε＞0和矩阵X，Y，S满足式（13）。其中

证明略。

注1：对于LMI（13）式的可行解，可按照以下的算法得到动态输出反馈二次D-保成本控制律:（1）先对S-YX采用奇异值分解，得到非奇异矩阵U、L。（2）采用前面的U、L以及式（13）的解，通过求解式（12）可得出控制律参数矩阵Ac、Bc、Cc的值。

再由求矩阵逆的公式可得

注2：从定理2可知若（13）式是可行的，那么系统（3）就存在一个动态输出反馈保成本控制律且相应的系统的性能指标函数有上界。

显然此上界依赖于性能控制律的选取，同时也希望这个上界尽量小。显然由式（14）给出的结果关于ε，Z1是非线性的。为了便于计算，特建立以下最优化问题：

可求解使得性能函数指标值的上界尽可能小的最优二次D-保成本控制律。式（15）是一个具有LMI约束的凸优化问题，可以应用MATLAB软件中求解器mincx求解该题。

3　结论

主要讨论了离散线性系统的闭环极点约束在一个特定圆盘中的保成本控制问题，根据LMI方法得到动态输出反馈控制律存在的充要条件，并由LMI的解给出了保成本控制律的设计方法，得到一个动态输出反馈保成本控制律，同时使得对所允许的不确定性参数闭环系统是稳定的，且其性能函数指标值不大于某个确定的上界。最后给出了该控制律的算法。

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Dynamic Output Feedback Guaranteed Cost Control for Discrete Systems

LI Changtao
（School of Mathematics and Information Science，Xianyang Normal University，Xianyang 712000，Shaanxi，China）

We deal with the guaranteed cost control for a class of uncertain discrete time linear systems with closed-loop disk pole constraints.A design procedure for dynamic output feedback controller is derived which renders the closed-loop systems to be stability and guarantees an upper boundary of the given performance cost for all admissible uncertainties.The existence of the guaranteed cost control is shown to be equivalent to the feasibility of a certain linear matrix inequality，and the dynamic output feedback controller can be constructed in terms of the feasible solutions to this linear matrix inequality. Finally，the algorithm of the controller is given.

discrete systems；guaranteed cost control；closed-loop disk pole constraints；dynamic output feed-back

O232

A

1672-2914（2015）04-0031-03

2015-04-20

咸阳师范学院科研基金项目（07XSYK273）。

李长涛（1978-），男，山东临沂市人，咸阳师范学院数学与信息科学学院助教，硕士，研究方向为控制理论。