曲面正交网下测地曲率计算公式的推导方法

曲面正交网下测地曲率计算公式的推导方法

邢家省1,2， 白璐1,2， 高建全3

(1.北京航空航天大学数学与系统科学学院， 北京100191；2.数学、信息与行为教育部重点实验室， 北京100191；3.平顶山教育学院， 河南平顶山467000)

摘要：考虑曲面上曲线测地曲率计算公式的推导方法问题，在曲面正交坐标网下，给出曲面上曲线测地曲率计算公式的参数方程形式，并由此得出测地曲率计算Liouville公式的一种推导方法。充分利用坐标曲线网的正交性条件，介绍了一种推导Liouville公式的直接方法，由此发现两种推导过程的内在联系。在曲面上一般参数坐标网下，直接给出了测地线的参数方程所满足的微分方程组的形式，由此导出在曲面正交坐标网下测地线的微分方程组。

关键词：测地曲率；正交曲线坐标网；Liouville公式；测地线方程

文章编号：1673-1549(2015)04-0075-05

DOI:10.11863/j.suse.2015.04.16

收稿日期:

基金项目:国家自然科学

作者简介:邢家省(1964-)，男，河南泌阳人，副教授，博士，主要从事偏微分方程、微分几何方面的研究，(E-mail):xjsh@buaa．edu．cn

中图分类号：O186.1

文献标志码：A

曲面上曲线的测地曲率的概念及其计算公式[1-9]，是微分几何学科中的重要发现[1-5]。关于测地曲率的计算公式的推导方法，引起了众多学者的兴趣，运用多种方法给予推导简化。文献[1]利用曲面论基本方程给出推导过程，文献[6]给出了直接的推导方法，计算量大，过程复杂。文献[3-5]在曲面正交曲线坐标网下，给出测地曲率计算Liouville公式[1-6]的简化证明。文献[2]在曲面正交曲线坐标网下，给出测地曲率计算公式的直接推导过程，给出了求解曲面上测地线方程的方法例题。文献[10]介绍了测地曲率和测地线在物理上的应用。文献[7，11]介绍了测地线的性质。本文将现有文献中的推导方法给予系统整理，在正交曲线坐标网下，给出了测地曲率计算公式的推导过程，并指出Liouville公式来源的简化过程，利用直接方法给出了测地线方程的最终形式。

1曲面上曲线的测地曲率的定义

显然有

显然

2曲面正交网下测地曲率计算公式的直接推导过程

(1)

(2)

(3)

注意到

(4)

将(3)式、(4)式代入测地曲率的计算公式，得到

(5)

其中用到第一类基本量的关系

(6)

(7)

容易看出(5)式正是(1)式的结果[2]。

文献[1]利用曲面基本方程给出了曲线的测地曲率的计算公式，由此在曲面正交网下给出了(1)式，由于计算过程要倒回去，计算量将很繁琐。文献[2]为推导出(1)式，充分利用正交性的几何条件，给出了直接的推导方法。

3正交坐标曲线网下测地曲率的Liouville公式

又

比较两式，得

(8)

所以有

(9)

(10)

将(8)式～(10)式代入(5)式，整理后，得

(11)

(12)

公式(11)式、(12)式称为Liouville公式[1-5]，可用于计算测地曲率和求解曲面上的测地线方程[1-9]，推导高斯-波涅公式[3-5]用(12)式，是高斯曲率简化公式的来源。

定理2[1,9]如果在曲面上引进半测地坐标网：(ds)2=(du)2+G(u,v)(dv)2，则有

(13)

证明由条件知E=1,F=0,G=G(u; v)，代入(12)式，得到

(14)

所以

即

文献[1]给出的高斯-波涅公式[3-5]证明过程中，先是引用(13)式，然后又转回利用(14)式，非常的繁琐，实际上直接利用(14)式就可以给出高斯-波涅公式的证明过程[3-5]。文献[10]给出了(14)式的直接使用过程。

4 正交坐标曲线网下测地曲率的Liouville公式的直接推导过程

(15)

(16)

(17)

其中E,F,G是曲面Σ上的第一类基本量。

(18)

(19)

于是比较(18)式和(19)式，得

(20)

(21)

对(18)式两边求导，得

(22)

利用(21)式和(22)式，得

(23)

由于

因此

(24)

由于

所以

(25)

利用

可得

从而

(26)

将(26)式代入(24)式，得

(27)

将(20)式代入(27)式，得

(28)

(29)

(27)式、(28)式和(29)式是曲面正交网下曲面上曲线的测地曲率Liouville公式。

利用(20)式、(27)式，可求解曲面上的测地线方程[1,3,8-9]。

5测地线方程显式形式的直接推导方法

(30)

于是有

(31)

(31)式的等价形式

(32)

(32)式就是一般参数曲面上的测地线的方程，这里给出了直接的推导过程。利用(32)式可证明曲面上测地线存在唯一性定理[1-5]，求解曲面上测地线方程及理论推导。

(33)

(33)式可用于求解曲面正交网下曲面上测地线方程[2]。

参 考 文 献：

[1]梅向明,黄敬之.微分几何.4版.北京:高等教育出版社出版,2008.

[2]Oprea J.Differential Geometry and Its Applications.北京:机械工业出版社,2005.

[3]陈维桓.微分几何.北京:北京大学出版社,2006.

[4]苏步青,胡和生,沈纯理,等.微分几何.北京:人民教育出版社,1980.

[5]王幼宁,刘继志.微分几何讲义.北京:北京师范大学出版社,2003.

[6]邢家省,张光照.曲面上曲线的测地曲率向量的注记.吉首大学学报:自然科学版,2013,34(4):7-10.

[7]邢家省,高建全,罗秀华.曲面上测地线和短程线的性质.四川理工学院学报:自然科学版,2015,28(1):63-66.

[8]陈维桓.微分几何例题详解和习题汇编.北京:高等教育出版社出版,2010.

[9]梅向明,王汇淳.微分几何学习指导与习题选解.北京:高等教育出版社,2007.

[10]邓崇林,萧先雄.指南车在物理学中几何相位的应用.物理与工程,2014(2):1-8.

[11]张立新.测地线及其应用.鞍山师范学院学报,2005,7(4):3-4.

Derivation of Calculation Formula of Geodesic Curvature Under the Coordinate Grid of

the Orthogonal Curve

XINGJiasheng1,2,BAILu1,2,GAOJianquan3

(1.School of Mathematics and Systems Science, Beihang University, Beijing 100191, China; 2.LMIB of the Ministry of

Education, Beijing 100191, China; 3.Pingdingshan Institute of Education, Pingdingshan 467000, China)

Abstract:The derivation method of calculation formula of curve geodesic curvature on the curved surface was considered in the paper. Based on the coordinate grid of the orthogonal curve, the parametric equation form of the calculation formula of geodesic curvature on the surface was put forward, and thus a derivation method of Liouville formula to calculate the geodesic curvature was obtained. Taking good use of the orthogonal condition of curvilinear coordinate grid, a direct method for deriving the Liouville formula was introduced, which can figure out the internal links of these two derivation methods. Under the common parametric coordinate grid of curved surface, the form of differential equation set that parameter equation of geodesic curve meets was put forward directly, with which the geodesic curve differential equation set under coordinate grid of the orthogonal curve was derived.

Key words: geodesic curvature; coordinate grid of the orthogonal curve; Liouville formula; equation of geodesic curve