菲涅尔积分的几种计算方法

邢家省， 杨义川， 王拥军

(1.北京航空航天大学数学与系统科学学院， 北京100191；2.数学、信息与行为教育部重点实验室， 北京100191)



菲涅尔积分的几种计算方法

邢家省1，2， 杨义川1，2， 王拥军1，2

(1.北京航空航天大学数学与系统科学学院， 北京100191；2.数学、信息与行为教育部重点实验室， 北京100191)

考虑菲涅尔积分的多种计算方法的来源问题，介绍了通过引入收敛因子转化为二重广义积分计算的方法，并指出这种方法发现的思想来源。对菲涅尔积分和广义菲涅尔积分给出了利用广义积分交换次序定理的计算方法，没有通过引入收敛因子就解决了问题，方法自然且具有一般性。对一类欧拉积分公式，给出了对参变量求导的简便计算方法，指出了一类欧拉积分公式对广义菲涅尔积分计算的应用，发现菲涅尔积分、广义菲涅尔积分、狄利克雷积分都可以是一类欧拉积分公式的特例，沟通了这些积分之间的关系。

菲涅尔积分；广义菲涅尔积分；欧拉积分公式；含参变量广义积分；内闭一致收敛性；函数列积分的极限理论

菲涅尔积分是一类重要的广义积分[1-14]，在物理学中具有重要应用价值[4-5,11-13]。虽然菲涅尔积分的计算问题已被人们解决[1-8,13]，然而在计算过程中涉及的两广义积分的交换积分次序的问题，文献[1-3,13]中给出的证明过程都较为复杂，对有些过程缺乏严格的理论证明，寻找简单的计算方法引起了人们的研究兴趣[4,5,11]。在现有文献结果的基础上，对涉及菲涅尔积分计算的理论根据和计算方法进行了系统的整理，建立了一套新的理论基础，简化了相关问题的处理，对菲涅尔积分和广义菲涅积分给出了统一的处理方法，并指出了相关广义积分之间的联系。

1 利用广义二重积分计算菲涅尔积分的方法

定理1[1-5]设a,b为常数，且a>0，则有

文献[4,13]在菲涅尔积分中直接引入收敛因子e-tx2，然后化为广义二重积分，给出了简便的计算方法，其转换计算过程为：

(F(t))2-(G(t))2=

(1)

(2)

由(1)式和(2)式，可得

[(F(t))2+(G(t))2]2=[(F(t))2-(G(t))2]2+

(3)

(4)

由(1)式和(4)式联立，解得

(5)

于是得到菲涅尔积分[1-7,9-12]

(6)

注意到

2 两无穷区间上广义积分交换次序的充分条件

如果满足条件：

(1)对任意B>A>a，{fn(x)}在[A,B]上一致收敛于f(x)，即{fn(x)}在(a,+∞)上内闭一致收敛于f(x)。

如果满足：

(1)对任意B>A>a，{fn(x)}在[A,B]上一致收敛于f(x)；

定理2和定理3虽然是以函数列的极限形式叙述的，但完全可以写出其它极限过程的相应结论[1-3]。

利用定理2或定理3，可以给出如下积分交换次序定理的证明。

定理4[8](无穷区间上的积分交换次序)设函数f(x,u)在(a,+∞)×(c,+∞)上连续，如果满足下列条件：

定理5[8](无穷区间上的积分交换次序)设函数f(x,u)在(a,+∞)×(c,+∞)上连续，如果满足下列条件：

则成立

其中，

定理6[8](无穷区间上的积分交换次序)设函数f(x,u)在(a,+∞)×(c,+∞)上连续，如果满足下列条件：

成立。其中，

3 利用无穷区间上积分交换次序定理计算菲涅尔积分

证明命x2=t，那么

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

所以，有

(12)

故有

设k>0，对引入收敛因子e-kt的情形，fk(t,u)=e-kte-u2tcost在[0,+∞)×[0,+∞)上满足定理4的条件[1-3,13]。

类似的，可以给出：

注意函数g(t,u)=e-u2tsint在[0,+∞)×[0,+∞)上连续，对任意β>0，函数g(t,u)=e-u2tsint在[0,+∞)×[β,+∞)上满足定理4的条件。

设k>0，对引入收敛因子e-kt的情形，函数gk(t,u)=e-kte-u2tsint在[0,+∞)×[0,+∞)上满足定理4的条件[1-3,13]。

4 广义菲涅尔积分的积分交换次序计算方法

定理9[2,6,9-10,13]设α>0,0<λ<2，则有

证明显然

可以证明成立

(13)

在(13)式成立的情况下，得到

证明(13)式成立。

记

F(C,D,x)=g(x)H(C,x)-g(x)H(D,x)

利用广义积分下的积分收敛定理，于是有

在(14)式两端，令D→+∞,C→0+，取极限，得到成立

即得

(15)

在(15)式两端，令B→+∞,A→0+，取极限，得到成立

从而，得到

类似地，可以得到：

定理10[2,6-7,9-10]设0<λ<1，则成立

(16)

定理11[2,6-7,9-10,13]设0<λ<1，则有

证明利用分部积分和定理9的结果，得

利用定理9中的方法，也可以给出利用积分交换次序的计算方法。

定理12[9-10]设p>1，则有

定理14[2,6-7,9-10]设p>1，则有

定理15[2,10]设-1<λ<1，则有

定理16[2,10]设0<λ<1，则有

5 一类Euler积分公式的对参变量求导的简便证明方法

定理17[1,7]对任意实数u，有

F(0)=2π

sin(usinx)sinx]dx=

于是有F′(u)=0，故F(u)=2π，即有

定理17仅出现在文献[1,7]中，可能的原因是原始发现的证明过程相当复杂，限制了它的传播，这里给出了简单的证明过程。

证明记

关于α∈[-δ,δ]是一致收敛的[6]，所以对参数求导可以通过积分号[6]，从而

cosαsin(λtsinα)]dt=

在文献[6,13]中，给出了定理18的证明。

对-1

λcos(λtsinα)sinα]dt=

定理19的结果得证。

利用定理18，可得：

6 欧拉积分公式的直接应用

定理22[2,10]设k>0,λ>-1，则有

定理23[2,10]设k>0,λ>0，则有

(sinα)λΓ(λ)cosλα

7 欧拉积分公式在广义菲涅尔积分计算中的应用

定理25[2,6-7,9-10,13]对0<μ<2，成立

证明利用定理24 的结果和Γ函数的性质[1-5]及余元公式[1-5]，可得

定理26[2,6-7,9-10,13]设0<λ<1，则有

定理27[2,6-7,9-10,13]对0<μ<1，成立

证明利用定理26的结果和Γ函数的性质[1-3]及余元公式[1-3]，可得

对α>0，0<μ<1，成立

在文献[19-20]中，给出了两广义积分的交换次序定理，并对广义菲涅尔积分给出了一种计算方法。

[1] 常庚哲,史济怀.数学分析教程(下册)[M].北京:高等教育出版社,2003.

[2] 黄玉民,李成章.数学分析(下册)[M].2 版.北京:科学出版社,2007.

[3] 华罗庚,著.高等数学引论(第二册)[M].王元,校.北京:科学出版社,2009.

[4] FLANDERS H.On the Fresnel Integrals[J].The American Math.Monthly,1982,89(4):264-266.

[5] LEONARD I E.More on Fresnel Integrals[J].The American Math.Monthly,1988,95(5):431-433.

[6] 费定晖,周学圣.吉米多维奇数学分析习题集题解(五)[M].济南:山东科学技术出版社,1980.

[7] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,2002.

[8] 白玉兰,陈述涛.一个二次广义积分的顺序交换问题[J].哈尔滨师范大学自然科学学报,1987,3(3):13-18.[9] 匡继昌.Dirichlet积分九种解法的思路分析[J].高等数学研究,2012,15(4):61-64.

[10] 匡继昌.实分析与泛函分析(续论)(上册)[M].北京:高等教育出版社,2015.

[11] 张光明.菲涅尔积分的计算[J].工科数学,1990,6(2):177-178.

[12] 邢家省,李争辉,张愿章.线性齐次梁方程初值问题求解公式的推导[J].河南科学,2010,28(4):379-382.

[13] 菲赫金哥尔茨.微积分学教程(第二卷)[M].北京:高等教育出版社,2006.

[14] 华罗庚,著.高等数学引论(第三册)[M].王元,校.北京:科学出版社,2009.

[15] 杨梦龙,孙建设,雒秋明.一类无穷积分的计算公式[J].数学的实践与认识,2005,35(10):207-212.

[16] 吴崇试.计算含三角函数无穷积分的新方法[J].大学物理,2011,30(2):53-57.

[17] 许宁.Dirichlet积分及其应用[J].高等数学研究,2014,17(3):15-19.

[18] 许宁.级数求和的复分析方法[J].南京师大学报:自然科学版,2014,37(4):20-27.

[19] 邢家省,杨小远,白璐.两无穷区间上积分交换次序充分条件的改进及其应用[J].四川理工学院学报:自然科学版,2016,29(1):87-92.

[20] 邢家省,杨小远.广义菲涅尔积分的积分交换次序计算方法[J].四川理工学院学报:自然科学版,2016,29(3):85-92.

Calculation Methods of Fresnel Integral

XINGJiasheng1,2,YANGYichuan1,2,WANGYongjun1,2

(1.School of Mathematics, Beihang University, Beijing 100191, China; 2.LMIB of the Ministry of Education,Beihang University, Beijing 100191, China)

One of the calculation methods of Fresnel integral is achieved by means of the conversion to double improper integral and the origin of this method is introduced. The calculation method of Fresnel integral and generalized Fresnel integral via the theorem of integral exchange order is discussed without the aid of the convergence factor, which generalizes the method. The simplified calculation method of the Euler integral formula via the derivation of the parameter is demonstrated, which explains the application of Euler integral formula to generalized Fresnel integral calculation and establishes the relationship among Fresnel integral,generalized Fresnel integral and Dirichlet integral which are all found to be the special cases of Euler integral formula.

Fresnel integral; generalized Fresnel integral; Euler integral formula; generalized integral of parametric variable; inner close uniformly convergence; limit theory of function column integral

2016-01-10

国家自然科学基金(61271010);北京航空航天大学校级重大教改项目(2016)

邢家省(1964-)，男，河南泌阳人，副教授，博士，主要从事偏微分方程、微分几何方面的研究，(E-mail)xjsh@buaa.edu.cn;

杨义川(1970-)，男，甘肃天水人，教授，主要从事逻辑代数、序代数、软计算及其应用方面的研究，(E-mail)ycyang@buaa.edu.cn

1673-1549(2016)05-0088-09

10.11863/j.suse.2 016.05.1 9

O177.2

A