和真数学教学理论下的“五味数学课”研究与实践——以人教版五年级下册旋转一课为例

李方红

（重庆市巴蜀小学，重庆 400013）

数学是研究数量关系与空间形式的一门科学。真是数学学习的核心要义，必须要有真问题、真环境、真经历、真实践、真思考、真建构、真认知、真知识、真收获、真成长。概括起来，包括目标上的真学力、过程上的真经历、结果上的真发展。和真数学教学理论就是基于学科本质属性与相应认识论和方法论基础而提出的一种数学教学理论，包括“三真实、三价值、五目标、五味道”的“3355”核心理论体系结构[1]。

数学教与学的研究需要对数学学科文化生长机制、学生成长机制、课堂教学认知建构机制等进行本源性探索与揭示。实际上，学科生长机制是学科知识继承、发展、创新、衍生的基因，是学科学习方法论，如数学思想便是数学学科生长的核心基因之一。学生成长机制则跳出学科，从学科教学走向学科育人，关注人成长的核心规律，进而以学科学习为载体，真正培养学生的生长人力（人一生成长的关键力量，如爱、志、信念、勇敢……思想、方法、习惯等）[2]，实现学科育人。人成长的本质是让世界更好，让生活更美，进而反哺每一个人，实现人与社会、自然、文化、未来、生活的融通。于此，“传承文化、培养人力、服务生活”是数学学科的三大价值。

三大价值在学生培养目标上，可以具化为“情感态度、习惯精神、思想方法、能力知识、实践创新”五大具体目标[3]。五大目标也是中小学生核心素养的数学学习界域内的具化表达，是数学课程标准中的“知识技能、数学思考、问题解决、情感态度”的改造性具化表达。

五大目标如何在一节课上扎实落地，在课堂教学上，如何探索建构具有“文化味、生本味、生活味、研究味、数学味”的五味数学课形态[1]，有待进一步研究与实践。

一、五味数学课的内涵

五味意指五种形态，是数学课堂教学展露出的外显特点的生动描述，一方面是对课堂教学基本要素与结构的理念概述，另一方面也是实现五大目标的基本教学策略。

（一）文化味

《义务教育数学课程标准》（2011年版）在课程目标表述上，从最初的“双基”，到“三维”，到现在的核心素养。实际上是一个由表及里，由外向内，由结果到过程结果并重，由文化到学科文化生长核心机制的认识转向和生态关照。核心素养不仅关注知识与技能，也关注“双基”生成的方法论，如《普通高中数学课程标准》（2017年版）中提出的“数学抽象、逻辑推理、数学建模、运算能力、直观想象、数据分析”六大素养[4]，便是数学知识与技能产生的方法论、过程观、生成场的概括。

所以，和真数学教学理论下的数学课，需关注数学文化生成的方法论的渗透，如结合某个具体内容，适切引入数学发展历史启迪学生感悟数学研究的基本过程，通过数学思想的渗透启迪学生学会思考与分析问题，通过古今数学家的故事激励学生求真求实的理性精神等。

（二）生本味

学生何以建构起系统的数学学习的方法论，这需要学生在学习中不断经历研究的过程，不断积累探索的经验，不断优化自身的学习方法，不断累积良好的研究情感体验与效能感。这与系列学习心理学理论不谋而合。如建构主义倡导应为学生学习创设真实的问题解决情境，充分唤醒学生已有的认知经验，让学生自主探索、自主建构，如此才能不断地激发学生的探究欲，沟通知识结构的联系，促进认知的不断内化与迁移[5]。金字塔学习理论揭示，通过实践与教授给他人可以大幅度提高学习内容的留存率[6]。数学课堂教学要变成学生的自主与互生学习的研究场，变成思维互相激发的探索园，变成自信生成与良好情感累积的储蓄坊。

（三）生活味

数学学习的载体是生活中的具体问题反映的数量关系与空间形式。数学源于生活，服务生活。数学学习的历程是一个由形象、具象到抽象的思维进阶过程，是一个“情境、操作、演示、图示、数与符号、抽象概念、想象、生活具象、生活应用”的闭环生态认知过程[7]。如分数的意义，源于生活中不能用整数表示结果时，可把整体看成单位“1”，平均分成m份，其中的n份就是单位“1”的n/m（m、n≠0）。

另外，生活味不仅体现在数学源头上，还体现在数学应用上，学完相对应内容，应主动连接生活，培养实践与创新的意识与能力。生活味也要关注数学学习形式的多样性，生活与生存的万千方式皆可作为学习的方式，如“乘风破浪的姐姐”中的竞演方式可以应用到小组合作学习中去。生活万千方式丰富了数学学习的方式。在小学阶段，课堂教学的趣味性、美感、艺术味是非常重要的。

综上，生活味关注了数学源、数学用，关注了趣味性与艺术性，让学生体悟价值，也累积快乐。

（四）研究味

数学学科具有科学的本体论属性与方法论内核，科学的探索过程，“问题—假设—实验—结论—验证—推广”的过程对于数学学习同样适用。《义务教育数学课程标准》（2011年版）指出，要让学生经历数学研究的过程，累积探索活动经验，经历数学知识建构的过程，这个过程实际上就是让学生积极参与，自主研究的过程[8]。研究味就是让学生积极参与，自主探索、合作探究、完整经历，进而学会自主学习，不断累积与优化自身的数学思想方法体系。

（五）数学味

数学学习有其特有的属性与规约，如符号表征、抽象建模，精简规范的语言表达，清晰简明的逻辑推理，严谨理性的数据分析，成体系的认知结构图谱建构，聚焦真实问题的分析解决等。数学是培养学生思维的主阵地，是理性生发的主战场。

数学味是数学学科本体论与认识论的集中反映，也是数学学习区别于其他学科学习的本质特征，也是整体育人下学科育人的具体担当，还是师生教与学质量反馈评价的重要标尺。

二、五味数学课的实践路径

五味数学课是落实“五目标”的总体策略、原则，是理想性的、专业性的、高阶式的数学学习形态。小学数学学习则不可能每节课都做到做实，如学了因数和倍数，接着学2、3、5的倍数特征，由于时空局限、资源限制、课型定位，往往是在教师导引下，间接经历“猜测—寻找—观察分析—总结—验证”这样“精缩”型的研究历程，是真实研究历程的复演缩影。而数学学科发展史中，这个探索过程背后的算理表达、逻辑证明，则可能在时间上经历上千年，推理上经历了多种研究历程和方法设计。由此，小学数学教与学更多是一种类研式的学习[3]，五味的现实实践路径反映为一种“简缩、互生、平衡、生成”性特点，具体体现如下：

（一）能力知识与思想方法结合

文化味倡导体悟数学学科发展背后的机制与方法论，集中反映为思想方法。但在小学阶段，思想方法不能脱离知识而单独讲授，不能脱离生活情境而单独传输，不能为了简便而由老师系统给出，不能变成填鸭式的教学样态。思想方法的习得需要长期的累积、点滴的浸润、不断的体悟、反复的实践，慢慢地深入学生心底，接受并内化成信念，真正掌握每种思想方法的内涵、价值、应用范畴、变式应用，并自动遴选与内化最核心的思想方法。如转化、类比、整体、分类讨论、数形结合、方程等思想绝非一节课学生能掌握的。当然，再深度挖掘，思想方法背后通用的研究设计、实施、建模等过程，更是需要学生反复经历与体验才能真正固化。告知是小学数学学习的大忌，而经历则是金科玉律。

（二）自主学习与导引互生结合

自主学习强调学生的亲自参与，全情投入，全力协同，积极实践。但自主学习所需要的方法基础、知识基础、资源供给、情境营造、组织建设、环境氛围、认知反馈、评价激励则需要他人的帮助与支持。事实上，绝对意义上的自主学习从未存在，一方面环境润泽无处不在，另一方面学校导引无时不有，甚至同伴及他者的影响也静默发生。所以，自主学习、合作探究、教师导引、他者支持、社会助力、家庭陪伴等都是必不可少的。

（三）课堂探索与课外实践结合

生活味要求打通学习的时空场，实现数学与生活的衔接，课内与课外的融合，学校与社会的合力，线下与线上的协力，基于学科界域与跨界的结合，国内与世界的联通，现在与未来的交汇，方可真正还原数学研究的源，方可真正嫁接数学的用，方可真正活化数学学习的趣味性、多样性与艺术性。学习的过程不仅是文化的传承与创造过程，还应是人力培养过程，在习得知识的同时，要训练思维，要拓宽视野，要活化思考维度，要关注研究历程。

（四）完整经历与部分经历结合

研究味强调让学生完整经历数学探究的过程，积累丰富的活动经验，形成多元的思考视角。但这样的完整经历往往因为各方面原因而变成了部分经历。

一是课型定位，导致部分内容不需要完整经历。如认知分类上的迁移课，它只需要学生根据已学的旧知进行演绎推理，如学了长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形的面积后，再学组合图形的面积，只需要让学生掌握背后的转化思想的思考框架即可，不需要再让学生还原怎样从组合图形面积计算的障碍，到计算方法的探索，再经历不同的转化，最后得出结论的完整过程。

二是研究重复，后续部分内容只需要应用经历。这体现在每个单元后面几节课，用了与第一课时同样的研究方法，经历了相似的研究历程，则不需要完整经历。

三是时空限制，部分内容可间接经历。如数的认识，十进制计数法的产生，最初结绳法、石头记录法，再到习惯十为计数单位间的进率，这些可以通过播放微视频的形式让学生间接经历。

（五）形象具象与数学抽象结合

数学味集中反映在数学符号建模，用抽象的符号语言表达数量关系与空间关系。但限于某一个知识的学习阶段不同，限于小学生抽象思维的能力，限于部分概念、公式、定理、定律符号表达未达成共识性，形象与具象，实物、图式、文字表达同样不可或缺。数学抽象的过程往往也经历了“实物、图式、文字、符号”的表达进阶过程。

如统计图，作为统计中描述数据的主要工具，在低段数学学习时，象形统计图就是用实物与图形来进行表达，然后中段学了条形统计图，高段再学折线统计图，正是切合学生身心发展规律、数学学科发展规律而进行独立的设计。

三、基于五味数学课的课堂教学：以五年级下册旋转一课为例

以人教版五年级下册第五单元《图形的运动（三）》为例，以“发现、提出、分析与解决问题”四能为主线，对五味数学课的课堂教学实践予以具体陈述。

《图形的运动（三）》是《图形的运动（一）（二）》的进阶与深入学习。《图形的运动（一）》是二年级所学的平移与旋转现象的初步认识。《图形的运动（二）》是四年级所学的轴对称图形等知识。《图形的运动（三）》重点深入学习旋转（也涉及平移）的过程描述、特点、轨迹绘制、实践应用。可以看出，五年级再学图形的运动，一是聚焦学习方法的系统梳理，二是知识结构的整体建构，三是现实应用的强化，四是创新能力的培养。

（一）发现问题

开课后，老师拿出钟表问：秒针在做怎样的运动。

学生齐答：旋转。

接着老师追问什么是旋转？基于已学基础，学生回答不出准确的定义。老师便启发学生举例，学生举了生活中很多旋转运动的例子。如地球绕太阳旋转，旋转门的旋转，电风扇、车杆等的运动。

老师肯定学生们的举例，进一步启发学生思考，这种运动有什么共同特点。让学生抽取共同点和关键信息，再来说一说什么叫旋转。这实际上是归纳型概念生成的基本过程。学生虽没有经历取名的过程，但经历了概括特点并形成准确概念的过程。

进一步追问，图形的运动，还学了哪些知识？学生回答“平移”“轴对称”。这实际上是对整个小学阶段图形运动板块内容的整体梳理，利于学生建立清晰的认知结构。

老师揭示课题，关于旋转，你还想知道些什么，进而激发学生的探究欲，也培养学生发现与提出问题的能力。

（二）提出问题

学生非常自然地生成了系列研究问题。如旋转运动有什么特点，在生活中有哪些应用，怎样画出旋转后的图形等等。

老师总结概括，或启发、或引导、或承接……最后将问题概括为“旋转过程、旋转特点、实践应用”三大问题。经历不应该是学生基于老师布置的任务而进行的工厂流水线加工，而应该是学生自主发起的一场深度自助思维游。

（三）分析与解决问题

1.描述旋转过程

旋转过程实际上就是说清楚到底是怎样的旋转，描述准确。

接着老师让学生进行小组合作，自选素材，填写设计好的半结构化的研究单，实验、观察、讨论、总结出某物旋转的过程。

有的学生拿出钟表，观察指针的旋转过程，有的则将铅笔绕某中心点进行旋转。有的又以月球绕地球旋转为例进行分析，等等。最后让两组具有代表性、旋转过程描述准确清晰的学生上台分享。

一组汇报是手动旋转分针，从刻度12到3，分针旋转了90度。汇报完，学生相互质疑，发现描述不全面，不准确。学生不断补充，最后总结出描述旋转过程必须说清几要素，包括“起始位置、中心点、旋转方向、度数、终点”等。

让学生合作交流、相互质疑、探究总结，这样才能培养他们的研究能力。

2.旋转特征分析

在第二组汇报三角尺绕中心点0顺时针旋转90度整个过程后，老师追问，图形的旋转有什么特点呢？从始到终过程有什么变化？

学生小组内讨论交流，再结合数学书例2的内容进行总结。学生能快速地总结出旋转过程中什么没变，什么变了。如图形的形状、大小、颜色没变，图形的位置变了。还有的学生补充旋转过程中，中心点没变。有学生进一步补充道，图形各部分与图形整体同频旋转（指图形整体朝一定方向旋转一定度数，那图形的各部分，顶点、边也绕对应中心点同样方向同样度数在旋转）。这些是学生自主探究能发现的，但还有一些衍生性特点是他们无法自主完成的，如“对应点到中心点距离相等，两组对应点分别与中心点连线所成夹角度数相等”等。

老师追问还有其他特点吗？老师进一步启发，“观察对应点，你有什么发现？”学生慢慢发现并总结出以上两个衍生性特点。而五年级能感知这个特点即可，不需要证明。

3.旋转实践应用

任何数学知识的应用总体都体现为“美、用、趣、创”四个方面。如旋转的生活应用体现在利用旋转画出部分旋转后的轨迹（停滞的图形）组成美丽的组合图形；利用旋转解决生活中的一些生产生活实际问题，如龙骨水车把低位水托到高位、旋转餐厅、旋转木马、摩天轮等；利用旋转相关知识设计有趣的游戏，如有趣的心理视觉图、丢手绢、滚铁环、数学拼图游戏（原分图通过适切的运动变成现组合图）等；利用旋转的知识创造一些科技发明、美术作品、艺术作品等。生活味显得非常浓郁，文化味也没有缺位，让学生感受到数学的价值，感受数学与生活的联系，也拓展了视野，活化了思维，激发了探究兴趣。这样基于教材，又高于教材，走向生活场的设计不仅需要教师有五味的课堂设计意思，更要有平时点滴的积累素材与数学思考的意识与行动。

美、用、趣、创包含了书上的“画出旋转后的图形、根据原分图和现组合图分析图形的运动”这两个解决问题的题，但又在广度、深度、高度、宽度上都有所拓展。具体课堂教学呈现如下：

（1）旋转之美：画旋转后的图形

老师启发学生思考，学习旋转相关知识不仅是为了准确描述，分析特点，更是为了应用它服务生活，你能举一举生活中相关的一些应用吗？

学生举例，如有很多美丽的图案是利用旋转画出来的。

如香港特别行政区区旗。

教师投影出区旗，追问：想一想，怎样画的？谁来说一说？

学生回答，可以先画五个图形中的一个，然后利用旋转留下的四个轨迹，画出另外四个图形。

老师予以表扬，说得太好了，那我们就先来研究怎样画出一个图形旋转后的图形，以书上三角形ABC绕点A顺时针旋转90°后的图形为例，请大家先自主思考怎样画，然后在方格纸上画一画，总结下画的步骤，待会分享。

学生上台汇报，我先画出线段AB绕点A顺时针旋转90°后的线段AB’；然后根据BC与AB的关系，画出线段B’C’；最后连接C’A。

老师让学生给这种方法取名，学生取了拆分法、定边法、定线法等。最后达成共识，可以叫定边法。

老师进一步启发学生，还有其他方法吗？

学生自然想到了定点法等。

最后师生一起总结，画图过程中要注意的规范。如用工具画图，标出各顶点和旋转后对应的各顶点，标出旋转方向和度数，以便更完整、更清晰、更规范地展示出旋转的过程。

（2）旋转之用：古今圣贤奇思妙用

欣赏完旋转之美后，老师让学生想一想，旋转还有哪些应用？

学生提及很多，老师展示已准备好古今圣贤利用旋转解决生活实际问题的广泛应用，并以微视频的形式呈现，既生动形象，让学生间接经历，也渗透数学学科实践应用的价值与古今圣贤的探索精神。如三国时期，龙骨水车利用旋转将低位水托到高位，灌溉良田；古埃及利用木棒旋转搬运大石头；汽车利用旋转实现移动变位；迪拜甚至修建了旋转大楼让每户可定期欣赏各方向美景等。学生视野一下子就打开了，也体会到了多角度、多行业、多领域、多时代、多层次、多方面的应用。

（3）旋转之趣：拼图游戏培养正逆思维

研究完旋转之用后，再回到最初学生提到的利用旋转设计的游戏，利用旋转、平移进行拼图。老师进行导引，一是正向思考，根据指定的运动，画出新组合图；二是根据原分图或组合图，反过来分析分图是怎样进行运动变成组合图的。

学生从小就玩拼图，但有意识描述分图运动过程，提前判断、设计运动，并进行理性的分析，则是数学高于生活、服务生活的体现。这个环节让学生经历“规划设计—实操验证—精练表达—方法总结—实践验证”的探究过程。学生会生成很多方法，如定点法、定边法，最后对比各方法，优化方法，总结出“判断平移运动用定点法，分析旋转运动用定边法更好”。最后，再让学生不操作，直接想象，表达散乱的分图通过怎样的运动变成组合图，让学生在玩中学、学中思、思中悟，感受数学学习的魅力，累积良好的学习情感体验。

（4）旋转之创：课后利用旋转相关知识设计一个原创作品

因为课堂时间的限制，加之学习内化需要一定的时间，由学生谈本节课学到了什么知识？怎么学的？学得怎样？最后教师总结，“本节课我们通过操作演示、观察分析、交流讨论、归纳总结”学习了旋转的过程描述、旋转的特征、旋转的应用三大知识。经历了发现、提出、分析与解决问题的全过程，感受到了旋转独特的美、用、趣。课后，学生可利用本节课所学相关知识，设计一个原创作品，可以是一幅画、一项生活小发明、一个游戏、一段舞蹈等。

综上，四能培养的过程，真正让学生主动参与、完整经历、数学抽象、数学建模，形成了较为完整的认知体系。相比于教材，本课设计更加完整、系统、深刻、连贯、生动、开放、多元。如旋转描述，教材只强调了方向和度数。教材中无旋转轨迹的介绍，但这是生活中旋转的重要应用。教材素材也较为单一，而本节课丰富的素材，让学生积累丰富的表象，拓宽视野，激活思考，驱动创新，真正落实学科育人的目标。

五味本质上是交互交织的，与其说五味是一种数学课设计的原则，毋宁说是一种意识，一种理念。这需要教师内化于心，方可灵活应用，真正让每个学生爱上数学，学有用的数学，人人在数学学习中得到不同的发展。