几个特殊广义积分的计算

丛爱玲 韩朝阳

(1牡丹江市教育教学研究院， 黑龙江 牡丹江 157000；2哈尔滨理工大学理学院， 哈尔滨 150080)

对于一些积分计算题我们很难采用常规方法得出原函数，甚至根本不能用初等函数来进行表示，利用几个特殊广义积分的计算结果作为结论处理这些计算题，很容易处理复杂的积分计算。

1 Euler积分

解：这是一个无界的瑕积分，瑕点为x=0.利用柯西判别法，容易验证该积分的收敛性。

先做代换x=2t,得到

所以答案为

2 Froullani积分

设函数f(x)在[0,+)上连续，极限f(+)存在且有限，实数a,b>0，计算积分

解 本题广义积分的收敛性将在下面的计算过程中建立。对0

对上式右边的两个定积分分别应用积分第一中值定理，得到

在上式中分别令r→0+,R→+,注意到这时ξ→0+，η→+，由于f(0+)=f(0),f(+)存在有限，而且在此时的极限为Froullani积分，得到

除此之外，从上面的证明过程中可以得到Froullani积分的两种变型：

若x→+时f(x)没有有限极限，但是对某个A>0,积分收敛，则有

3 Dirichlet积分

因此Dn(x)在[0,π]上可积。直接对Dn(x)积分比较困难，为此我们利用三角恒等式作如下变换

将Dn(x)分解为

逐项积分得到

现在再来证明Dirichlet积分，先观察将其分母换为x所产生的影响。因为

可见有

因此f(x)在[0,π]上常义可积。应用Riemann引理就有

得到

即证得

4Euler-Possion积分

证明：由于积分值只与被积函数和积分区域有关，与积分变量无关，从而我们有

用极坐标变换x=rcosθ,y=rsinθ转化为二重积分进行计算，则有

因为e-r2≥0，则I≥0,即

得证。