一类二阶中立型微分方程的振动性＊

秦国红

（潍坊学院，山东 潍坊 261061）

1 引言

考虑如下二阶非线性中立型微分方程

其中，z（t）=x（t）+p（t）x（τ（t））。

本文讨论中总假定下列条件成立

（H5）f（t，u）∈C（［t0，∞）×R，R），且存在函数q（t）∈C（［t0，∞），［0，∞）），使得f（t，u）signu≥q（t）｜u｜，u≠0，t≥t0。

通常，一个解称为是振动的，如果它有任意大的零点；称为是非振动的，如果它最终为正或最终为负。

一个方程称为是振动的，如果它的一切解振动。

2 主要结果

引理1 如果x（t）是方程（1）的一个最终正解，则

证明：设x（t）是方程（1）的一个非振动解，不妨设x（t）是方程（1）的一个最终正解，从而存在t1≥t0，使得对所有t≥t1有x（t）＞0，x（σ（t））＞0，x（τ（t））＞0。由条件（H5）得

则方程（1）变形为

从而

因而（r（t）φ（x（t））φ（z′（t））在［t1，∞）上是单调递减的。下面证明z′（t）≥0对t≥t1都成立。若不然存在t2≥t1使得z′（t）＜0，t≥t2。注意到条件（H4），则有φ（z′（t））＜0，于是存在常数N＞0有

因此

由条件（H4）知［φ（z′（t））］2≤λz′（t）φ（z′（t）），并注意到φ（z′（t））＜0，t≥t2，则有

将（4）式从t2到t积分得

则有条件（H1）知（t）=-∞，这与z（t）＞0矛盾，于是有z′（t）≥0，t≥t1

定理1 若存在函数h∈C1（［t0，∞），R+），使得

则方程（1）是振动的。

证明：设x（t）是方程（1）的一个非振动解，不妨设x（t）是方程（1）的一个最终正解，从而存在t1≥t0，使得对所有t≥t1有x（t）＞0，x（σ（t））＞0，x（τ（t））＞0。由引理1知z′（t）≥0及条件（H2）τ（t）≤t知

又因为z（t）=x（t）+p（t）x（τ（t）），则

则方程（2）变形为

即

令

则

将（6）式与（7）式应用于（8）式得

又r（t）φ（x（t））φ（z′（t））在［t1，∞）上是单调递减的，σ（t）≤t，则

所以有

将（10）式应用于（9）式得

则有

由于u2（t）+h2（t）≥2h（t）u（t），则（12）式变为

从而有

对（14）式两边从t1到t积分得

（15）式中当t→∞时，有

这与

矛盾，所以假设不正确，所以结论成立。

［1］Ladas G，Stavroulakis I P.On delay differential inequalities of first order［J］.Funkcial Ekvac，1982，（25）：105-113.

［2］Li W T，Agarwal R P.Interval oscillation criteria for second order nonlinear differential equations with damping［J］.Comput Appl Math，2000，（40）：217-230.

［3］Ye L H，Xu Z T.Oscillation criteria for second order quasilinear neutral delay differentialequations［J］.Appl Math Comput，2009，（207）：388-396.

［4］Dzurina J，Stavroulakis I P.Oscillation criteria for second order delay differential equations［J］.Appl Math comput，2003，（140）：445-453.

［5］Tang X H，Yu J S.Linearzied oscillation on first order nonlinear neutral delay differential equations［J］.Math Anal Appal，2001，（258）：194-208.

［6］Hale J K.Theory of Functional Differential Equations［M］.NewYork：Spring-Verlag，1997.

［8］Li W T，Agarwal R P.Interval oscillation criteria for second order nonlinear differential equations with damping［J］.Comput Appl Math，2000，（40）：217-230.

［9］Xu Z T，Weng P X.Oscillation of second order neutral equations with distributing argument［J］.Comput Appl Math，2007，（202）：460-477.

［10］Xu R，Meng F.Some new oscillation criteria for second order quasi-linear neutral delay differential equations［J］.Appl Math Comput，2006，（182）：797-803.