“三角形画高”教学实证研究

周本圣

（宁波市北仑区华山小学，浙江 宁波 315800）

三角形的基本度量性质之一是：三角形的面积等于底乘高的积的一半。这条性质涉及到三角形的底和高，而对小学生来说，识高、画高是学习三角形面积的必由之路[1]。《义务教育数学课程标准（2021 版）》对包括画高在内的几何作图有着明确要求——“掌握测量、识图和画图的基本方法”[2]。

小学生在三角形的识高、画高方面存在的困难是什么？给三角形画高时会出现哪些错误？其背后有着怎样的深层次的原因？有没有方法可以帮助学生突破画高难点呢？基于这些问题的思考而开展研究。

一、教材分析

在课程标准指导下的教材内容的呈现，是师、生为之教、学的具体路径。不同版本的教材对同一内容的处理也是各具特色，这里以北京师范大学出版社（以下简称：北师版）与人民教育出版社[3]（以下简称：人教版）的两版教材为例。

北师版给出了从“说一说”到“认一认”，再到“画一画”的梯度学习路径。

人教版将认识高放在“三角形的特性”第一课时里学习。

从教材编排来看，北师版聚焦高的内涵，是在概念指导下的多种图形感知，引导学生掌握三角形、梯形及平行四边形的高的画法。人教版则是在认识平行四边形和梯形的高的基础上进一步聚焦三角形的高，引导学生掌握锐角、直角以及钝角三角形长边上的高的画法。

二、学生认知

调查问卷主要由三部分组成，问卷一：关于垂线；问卷二：关于图形的高；问卷三：新方法画高。调查对象来自宁波市北仑区华山小学四年级一个班（43 人）、五年级三个班（共125 人）的学生。

（一）调查研究总的目的

1.帮助学生掌握基本知识与技能。包括：概念、点线关系、有效作高等。

2.帮助学生积累基本活动经验。包括：作高错误率最高的是哪几种图形？如何避免？“基本图形”与“非基本图形”在画高方面有何异同？基本图形是指底边在下方且处于水平状态的图形。

3.领悟数学思想。包括：高与底的相互对应，画高与画垂线之间的转化等。

（二）问卷内容及相关分析

卷1：你能分别过下面的点，画出相应直线的垂线吗？

1.目的：

（1）了解学生对垂线的理解以及画垂线方法的掌握程度。

（2）变换点线方位（包括“点在线上”和“点在线外”），帮助学生确定自己的易错点。

2.统计结果如下：

3.典型问题如下：

4.分析结论：“点在线上”很少出错，“点在线外”容易出错。错因：一是三角尺的一条直角边与已知直线重合后在移动中出现偏差；二是先对准已知点，然后移动或转动三角尺时未顾及边与线的重合。

卷2：你能分别过下面的A 点，画出直线l 的垂线吗？

你能分别画出下面图形指定底边上的高吗？

1.目的：（1）在“一点两线”和“一点三线”中，了解学生对点线关系的把握。（2）两题中的图形在结构上一脉相承，让学生感受规则平面图形高的本质就是点到直线的距离。并促进学生领会底与高的相互对应。

为了便于分析，我们将第一题和第二题分开讨论。

第一题：

2.统计结果如下：

3.典型错误如下：

4.访谈错因：（1）线条多，受干扰，一点三线比一点两线的错误明显更多。（2）认为高总是“自上而下”画出来的。（3）尺子摆放错误，无法完成“顾点”又“顾线”。

第二题：

2.统计结果如下：

3.典型问题如下：

4.分析结论：（1）四年级学生还没有学习过三角形画高，错误率远高于五年级。（2）顶点与底边不对应尤为突出，这与学生的空间思维、对概念的理解、以及工具使用的方法都有关系。

三、卷1、卷2 研究总结

（一）小学生“画高”难在哪？

1.对高的概念理解不到位。具体表现：顶点与底边不能兼顾、借助平行线画高、读不懂题意、受多线条干扰、非基本图形画高错误率明显高于基本图形、将高画成直线等。

2.技能不娴熟。具体表现：高与底不垂直，画高时转动纸片或扭动身体，三角尺摆放错误等。

3.活动经验不足。具体表现：不标直角符号，画垂线时“点在线外”容易出错，顾点不顾线、顾线不顾点等。

（二）教师教学时应该注意哪些方面？

1.注重“高”的概念解读。现行教材给出的定义基本类似于“从一个顶点向对边引出的垂直线段就是高”，这样的定义会给学生带来一定的困惑，因为学生眼里的“对边”是一条线段，无法满足“可延长”，所以钝角三角形的外高就无法画出。那么，如何处理呢？

先看以下两个定义：

“高线：从三角形的一个顶点向对边所在直线引的垂线段或垂线。”（《数学大辞典》，王元）

“三角形一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫做三角形的高。”（《平面几何新路》，张景中）

在这两个定义中，都给出了“对边所在直线”的说法，学生理解了这一点之后，便可接受和使用辅助线。所以，教师在教学时要结合实际情况，适时补充“所在直线”。

2.注重与“高”相关概念的解读。顶点、对边、直线、垂直、垂线段、垂足、斜线等都是与高相关的概念。例如顶点、对边与直线，是引发高的前概念；垂直、垂线段、垂足是高的内隐特征与外在表征的统一；而斜线则是理解高的很好的对比概念。

3.明确高与底的对应特征。三角形的高与底是相互对应的。明白这个道理是有效区分垂直高度（高垂直于底）与铅直高度（高垂直于水平线）的关键。学生出现总是“竖着”来画高，是受到铅直高度的负迁移。

四、对比研究

卷3：你能分别画出下面图形指定底边上的高吗？

1.目的：卷3 中的图形与卷2 第二题一致，区别在于指定的底边被延长，对应的顶点被加粗，帮助学生排除干扰，突出点线关系，突破难点，形成方法，强化画高技能。

2.统计结果如下：

3.分析结论：搭建“脚手架”，引导学生在作高之前，将指定底边向两端延长，同时加粗与底边对应的顶点，以此突出点线关系，可以大幅度降低画高错误率。

五、实验结果展望

基于以上过程与结果的分析，本研究有如下展望：

第一，教师尽可能多地为学生提供丰富的有层次的数学活动，回到师生共长的“起点”处[4]，使学生充分理解高的概念，让动手操作与空间思维在起点处交融。

第二，能潜移默化地渗透数学思想，如对应思想、转化思想等。

第三，利用“底边延长、顶点加粗”的方法，确实可以很大程度降低画高错误率，但这毕竟只是一个辅助手段，还需要学生不断积累经验，理解本质，从而摆脱辅助。