不同批次试验数据同质性的判别

刘小宁 刘 岑 陈 帆 刘 兵 杨 帆 张红卫

(1.武汉软件工程职业学院 湖北 武汉:430205；2.湖北轻工职业技术学院 湖北 武汉:430070)

在工程实践中，人们往往采用试验方法获得有关数据，根据试验数据确定试验材料的性能指标。例如，通过拉伸试验获得金属材料的屈服强度、抗拉强度与断后伸长率试验数据，通过冲击试验获得标准试样吸收能量数据，然后分析与确定材料相应性能的指标，作为金属结构强度设计的依据。

试验数据的同质性是指同批次或者不同批次试验数据的波动在允许范围内，能真实反映材料相应性能的性质，试验数据的同质性是确定材料相应性能指标的基础。为保证试验数据的同质性，我国采用有关标准[1-8]规范钢材的冶炼、加工与试验。相同材料的同一性能试验数据常常是波动的，影响波动范围大小的主要因素[9-10]有如下3个，一是标准试样，包括标准试样的材料、材料的加工处理方法与取样位置，以及标准试样的结构、尺寸与加工精度；二是试验环境，包括试验机器与仪器的精度与试验温度等；三是操作人员的技术水平。3个因素完全相同的试验为同批次试验，第1个因素相同而其他两个不同的，是不同批次试验。文献[11-13]基于数理统计理论中t分布知识，建立了同批次试验数据同质性的判别方法；目前尚未见到对不同批次试验数据同质性判别方法的研究。

为此，文中应用数理统计理论中的F分布与t分布知识[14-21]，建立了判别不同批次试验数据同质性的方法，基于两种金属材料低击冲击试验重复性评定数据，在双侧置信度为98%时，分析了3批次试验数据的同质性；基于材料性能基本符合正态分布假设，确定了桥梁用钢Q500qE与某船用耐蚀钢低温冲击试验重复性评定数据均值、标准差与变异系数取值区间。

1 构建基本方法

1.1 构建不同批次试验数据同质性的判别方法

假设R为金属材料冲击试验重复性评定数据、屈服强度、抗拉强度与断后伸长率之一，通过冲击试验或者拉伸试验，获得m个批次试验数据，其中第i个批次试验数据的平均值与精密度分别为：

(1)

(2)

1.1.1 第i个批次试验数据的同质性

第i个批次试验数据属于同批次试验数据，在双侧置信度为(1-α)时，其同质性的判别参数为：

(3)

判据为：

|tij|≤tni-1,0.5α

(4)

式中：tni-1,0.5α为t分布系数，由自由度(ni-1)与0.5α查得。

如果tij满足式(4)，则有(1-α)的把握认为，Rij与同批次的其它(ni-1)个试验数据具有同质性。

文中取α=0.02，所用的t分布系数值见表1[14-15]。

表1 t分布系数

1.1.2 不同批次试验数据的同质性

不同批次试验数据的同质性，是指使用不同批次试验数据估计材料性能指标均值与标准差时，其均值与标准差的无偏估计分别无显著差异。因此，材料性能指标基本符合正态分布，是判别不同批次试验数据同质性的前提。

①标准差之间无显著差异的判别方法。当μA与μB无显著差异时F分布是比较标准差σA与σB是否存在显著差异的工具，判别参数为：

(5)

在双侧置信度为(1-α)时，标准差σA与σB无显著差异的判据为：

F1-0.5α,nA-1,nB-1≤FAB≤F0.5α,nA-1,nB-1

(6)

式中：F1-0.5α,nA-1,nB-1与F0.5α,nA-1,nB-1为F分布系数，分别用(1-0.5α)、(nA-1)、(nB-1)与0.5α、(nA-1)、(nB-1)查得；nA与nB分别为第A与第B批次同质性试验数据的数量。

其中

本文取α=0.02，所用的F分布系数值见表2[14-15]。

表2 F分布系数

②均值之间无显著差异的判别方法。当标准差σA与σB无显著差异时，均值μA与μB否存在显著差异的判别参数为：

(7)

其中

(8)

在双侧置信度为(1-α)时，均值μA与μB无显著差异的判据为：

|tAB|≤tnA+nB-2,0.5α

(9)

式中：tnA+nB-2,0.5α为t分布系数，由自由度(nA+nB-2)与0.5α查得。

文中取α=0.02，所用的t分布系数值见表1[14-15]。

若m个批次试验数据相互之间同时满足式(6)与式(9)，表明在双侧置信度为(1-α)时，m个批次试验数据具有同质性。对于非同质性的无效数据可采用文献[11-13]方法剔除，并重新判别同质性有效试验数据。

值得注意的是，式(6)与式(9)中的α，是将同质性批次试验数据误剔除的风险概率，根据数理统计知识，小概率事件在有限的m个批次试验中不可能发生，因此文中取α=0.02，即在双侧置信度为98%时，判别试验数据同质性，对应的风险概率为2%。

1.2 根据同质性试验数据确定性能指标取值区间

若m个批次试验数据中有m/批是同质的，第i个批次试验数据中有ni/个是同质的，则同质性试验数据的总量N为：

N个同质性试验数据的平均值与精密度分别为：

(10)

(11)

在双侧置信度为(1-α)时，若材料性能R基本符合正态分布，则其分布参数的取值区间按如下方法确定。

1.2.1 均值的取值区间

材料性能R的均值μ在双侧置信度为(1-α)时取值范围为：

μ∈[μmin，μmax]

(12)

其中

(13)

(14)

式中：μ为材料性能R的均值；μmin与μmax分别为μ在双侧置信度为(1-α)时的下限与上限；tN-1, 0.5α为t分布系数，由自由度(N-1)与0.5α查得。

α=0.02时，文中所用的t分布系数值见表1。

1.2.2 标准差的取值区间

材料性能R的标准差σ在双侧置信度为(1-α)时取值范围为：

σ∈[σmin，σmax]

(15)

其中

(16)

(17)

α=0.02时，文中所用的χ2分布系数值见表3[14-15]。

表3 χ2分布系数

1.2.3 变异系数的取值区间

材料性能R的变异系数C在双侧置信度为(1-α)时取值范围为：

C∈[Cmin，Cmax]

(18)

其中

Ctmin=σmin/μmax，Cmax=σmax/μmin(19)

式中：C为材料性能R的变异系数；Cmin与Cmax分别为C在双侧置信度为(1-α)时的下限与上限。

2 工程实例

2.1 试验数据

文献[10]采用V形缺口的标准试样，通过冲击试验，分别测得3个批次(m=3)桥梁结构钢Q500qE在-40℃与某船用耐蚀钢在-20℃冲击试验重复性评定数据，每个批次试验数据为10个(n1=n2=n3=10)，每个批次试验数据以及平均值与精密度其见表4和表5。

表4 Q500qE钢的冲击试验重复性评定数据(-40℃)

2.2 试验数据的同质性判别

取α=0.02，文中在双侧置信度为98%时判别试验数据的同质性。

2.2.1 同批次试验数据的同质性判别

表5 某船用耐蚀钢的冲击试验重复性评定数据(-20℃)

2.2.2 不同批次试验数据的同质性判别

①Q500qE钢。将表4相同批次的平均值与精密度数据代入式(5)、式(7)与式(8)，可得到不同批次的判别参数，见表6。

表6 Q500qE钢同质性判别参数及计算值

由表2数据可知，F0.99,9,9=0.153与F0.01,9,9=6.541，表6中判别参数F12、F13与F23均不小于F0.99,9,9，并且不大于F0.01,9,9，即满足式(6)，表明3个批次试验数据之间对标准差的无偏估计无显著差异。

由于自由度(nA+nB-2)=10+10-2=18，由表1数据可知t18,,0.01=2.552，表6中判别参数t12、t13与t23的绝对值均小于t18,,0.01，即满足式(9)，表明3个批次试验数据之间对均值的无偏估计无显著差异。

根据以上分析，桥梁结构钢Q500qE在-40℃的3个批次共30个冲击试验重复性评定数据是同质性的。

②某船用耐蚀钢。将表5相同批次的平均值与精密度数据代入式(5)、式(7)与式(8)，可得到不同批次的判别参数，见表7。

表7 某船用耐蚀钢同质性判别参数及计算值

由表2数据可知，F0.99,9,9=0.153与F0.01,9,9=6.541，表6中判别参数F12、F13与F23均不小于F0.99,9,9，并且不大于F0.01,9,9，即满足式(6)，表明3个批次试验数据之间对标准差的无偏估计无显著差异。

由于自由度(nA+nB-2)=10 + 10-2=18，由表1数据可知t18,0.01=2.552，表6中判别参数t12、t13与t23的绝对值均小于t18,0.01，即满足式(9)，表明3个批次试验数据之间对均值的无偏估计无显著差异。

根据以上分析，某船用耐蚀钢在-20℃的3个批次共30个冲击试验重复性评定数据是同质性的。

2.3 冲击试验重复性评定数据的取值区间

取α=0.02，文中在双侧置信度为98%时，根据30组同质性试验数据，分别分析Q500qE钢在-40℃与某船用耐蚀钢在-20℃时，冲击试验重复性评定数据的取值区间。

2.3.1 Q500qE钢

根据以上分析，基于Q500qE钢3个批次的30个同质性试验数据，按式(10)与式(11)，可得到其在-40℃冲击试验重复性评定数据的平均值与精密度：

(20)

将式(20)代入式(12)～式(14)，可得到重复性评定数据均值的取值区间：

μ∈[187.4，202.2]

(21)

将式(20)代入式(15)～式(17)，可得到重复性评定数据标准差的取值区间：

σ∈[12.42，23.16]

(22)

将式(21)与式(23)代入式(19)，可得到重复性评定数据变异系数的取值区间：

C∈[0.0614，0.1236]

(23)

2.3.2 某船用耐蚀钢

根据以上分析，基于3个批次的30个同质性试验数据，按式(10)与式(11)，可得到某船用耐蚀钢在-20℃冲击试验重复性评定数据的平均值与精密度：

(24)

将式(24)代入式(12)～式(14)，可得到重复性评定数据均值的取值区间：

μ∈[320.7，332.5]

(25)

将式(24)代入式(15)～式(17)，可得到重复性评定数据标准差的取值区间：

σ∈[9.80，18.28]

(26)

将式(25)与式(26)代入式(19)，可得到重复性评定数据变异系数的取值区间：

C∈[0.0295，0.0570]

(27)

2.4 讨论

精度是指试验数据与真值之间差异的量度，差异小表明精度高，精度低表明差异大；变异系数是衡量精度高低的定量指标，变异系数小表明试验数据与真值之间差异小精度高，变异系数大表明试验数据与真值之间差异大精度低[13,16,17]；但是，刻意追求小的变异系数，有时会导致钢材制造成本的急剧上升，因此，必须通过技术经济性分析，确定钢材某个指标的合适变异系数。

在双侧置信度为98%时，比较式(23)与式(27)可知，Q500qE钢在-40℃冲击试验重复性评定数据变异系数的下限为0.0614，大于某船用耐蚀钢在-20℃冲击试验重复性评定数据变异系数的上限0.0570；根据文献[21]关于变异系数的比较方法，Q500qE钢在-40℃冲击试验重复性评定数据精度相对比较低，或者是重复性评定数据波动范围相对比较大，稳定性比较差。

Q500qE钢在-40℃以及某船用耐蚀钢在-20℃冲击试验重复性评定数据是否符合正态分布，笔者将在另外的论文中进行研究。

3 结论

1)同质性试验数据的平均值与精密度，分别是材料性能指标均值与标准差的无偏估计，不同批次试验数据的同质性，是指使用不同批次试验数据估计材料性能指标时，其均值与标准差分别无显著差异。文中在所要求的双侧置信度时，基于数理统计理论，对不同批次试验数据同质性的判别方法进行了研究。

2)应用数理统计理论的F分布、t分布知识和不同批次试验数据，建立了材料性能指标标准差与均值无显著差异的判别方法。并利用同质性试验数据分析了材料性能指标的均值、标准差与变异系数的取值范围。

3)在双侧置信度为98%时，Q500qE钢在-40℃的3个批次共30组冲击试验重复性评定数据具有同质性，某船用耐蚀钢在-20℃的3个批次共30组冲击试验重复性评定数据也具有同质性，并分别获得它们冲击试验重复性评定数据均值、标准差与变异系数的取值区间。

4)Q500qE钢在-40℃冲击试验重复性评定数据变异系数的下限为0.0614，大于某船用耐蚀钢在-20℃冲击试验重复性评定数据变异系数的上限0.0570，表明Q500qE钢在-40℃冲击试验重复性评定数据精度相对比较低，或者是重复性评定数据波动范围相对比较大，稳定性比较差。

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