微积分核心概念的无矛盾表述——不需无穷小、极限等概念的增量分析

沈卫国

（区域供热杂志编辑部，北京 100026）

微积分核心概念的无矛盾表述
——不需无穷小、极限等概念的增量分析

沈卫国

（区域供热杂志编辑部，北京 100026）

在前期工作的基础上，提出强而有力的证据，进一步论述了在现有微积分基础理论中，贝克莱悖论没有、也根本不可能如很多人所认为并声称的那样被消除，而只是在若干繁复、生僻的概念、定义、步骤之下被掩盖。基于此认识，把先前提出的唯一可以彻底解决此类矛盾、并且根本无涉极限、潜无穷、无穷小概念的导数的全新定义，推广到微分、积分领域，以彻底解决、澄清数学分析基础理论中的一些疑难问题。可以看出，如想真正消除微积分基础理论、导数求导、微分、积分理论中的固有矛盾，笔者前期及本文提出的理论解释——特别是关于导数的新定义——就不能不是必需的。显然，分析理论中的矛盾、悖论即消，可使整个理论非常明确并大为简化。同时，正是由于现有的、仅仅致力于“掩盖”分析理论中固有的矛盾、悖论的做法本身的窘境，而使中外学者甚感困扰的微积分基础理论的教学困难，也必将由于理论中矛盾的彻底澄清而变得极其简单、干净。

潜无穷；极限；导数；贝克莱悖论；微分；积分；数学分析；无矛盾分析；增量分析

一、与导数相关的切线斜率及微分问题

早有不少文献直接将导数说成是“曲线上某点的切线斜率”；或者“导数的几何意义是曲线上某点的切线斜率”等等。但严格说，某直线的斜率，只能是两个有限、宏观、最起码也是“无穷小量”之比，增量不能等于0。其数值等于单位横坐标（等于1）下的相应纵坐标的数值。它是明确定义在直线上两个点上的。而导数是定义在曲线上一个点上的。而且对传统的标准分析的极限法而言，仅从极限的求法本身，也不可能认为导数是两个宏观量之比。理由简单之极：在曲线上两个点无限接近时，其割线的斜率虽是宏观量，但却是两个越来越小（随二点无限接近）以致可看成无限小的量的比值。那么，怎么可能其极限倒成了两个宏观量的比值？所以，笔者定义的导数所依赖的所谓切线斜率（二宏观量之比）与传统意义的极限法定义的导数所依赖的切线斜率有本质不同。后者充其量是定义在所谓各边均无穷小的“微分特征三角形”上的，不能认为是宏观量。

此外，可以看出，微积分思想的发展脉络，基本是从第一代的牛顿、莱布尼茨承认存在无穷小，到第二代（标准分析）的以原本并非所论函数值的极限值为扩展函数值的表面摈弃、实为掩盖无穷小问题，再到非标准分析的重新明确无穷小存在，但目的仅仅是把这个无穷小忽视或抛弃，这无疑本质上又等于又回到了牛顿、莱布尼茨的观点。从这个之字形的发展历程也足以看出，数学家普遍认为标准分析与非标准分析是等价的，而标准分析是明确冲着解决第一代含有无穷小问题而产生的，结果与其等价的非标准分析又把其否定的无穷小又请了回来。我们只能说，绕了一大圈，什么问题也没有解决。

当然，还有一种与导数有关的重要应用，甚至非严格意义上的导数的切入点，是微分。

我们有关系式：

△y=f'（x）△x+α（x）△x

其中含α的一项是非线性段，通常不太严格地在△x→0时被认为是“高阶无穷小段”，但其实“高阶”之说，并不普遍成立。

（1）

其中令：

dy=f'（x）△x

（2）

其中dy为微分。其几何意义见图1。是函数的增量△y的“线性部分”，经常被称之为“线性主部”。但有文献指出，对有些函数而言，根本就谈不上什么“主部”，甚至是“次部”。特别需要指出的是，（1）、（2）式中的f'（x）为原先已经按极限法或牛顿、莱布尼茨方法定义好的导数，此时它不可能也不应该被看成是个分数。其次，同样需要指出的是，式（1）、式（2）中（也就是图1中）无论是△y、dy、还是△x及以后的dx，都有共同的“起点”A。这就决定了在这个前提下，当函数的增量△y→0时，其余与其相关甚至比其要小的各量dy、△x、dx也必然要“同步地”→0，也就是“趋于0”。这形成了约束条件，也构成了传统微积分的本质局限性，甚至可以说是矛盾。而这些正是图1中A点作为各量的共同“起始点”所决定的。这等于是一个约束条件。

图1

图1中，dy:增量的线性部分；a（x）△x:增量的非线性部分；△x=dx:自变量的增量（不必为无穷小）；c:曲线在A点的切线。

通常认为，当x以自己为函数时（当然只能是“特例”，但一般文献居然把此作为一般情况对待之），也就是y=f（x）=x时，由（2）式有：

dy=dx=f'（x）△x

（3）

此时显然有：

f'（x）=1

（4）

于是有：

dy=dx=△x

（5）

将（4）、（5）式代入（3）式，移项，有：

f'（x）=dy/dx

（6）

一般认为，经过这样的“代换”后，（6）式中的dy、dx都不必是无穷小量，它们可以是宏观量。而且可以作为通常的分数处理，也就是分子、分母可以拆分。这两点与传统极限法明显冲突（极限法只能将导数看成一个整体而不是分数）。这等于是在导数问题上前门拒绝分子、分母分别为宏观量，后门又悄悄地又把宏观量请了回来，并且“在引进了微分概念之后，就可以把它作为分数来处理”，理由仅仅是“它给予我们以极大的方便”[13，P281]。可见极限法所“求出”的导数（本源性的、“正规”的）与微分中为使用方便而引进的“导数”是互相冲突而不相容的。这等于是又否定了极限法得到的那个只能被看成是一个整体的无量纲数的结论。比如上面的（6）式，由（3）式得到。而（3）式中的导数是由极限法“求得”（前已论述，实际上是定义）的，因此严格地讲（6）式中的等式左边，是一个无量纲的整体数，而等式右边就是一个分子、分母可以分离的真正意义上的分数，如果它体现的是一个物理量而不仅仅是几何量，就有量纲。等式两边只是数值相等，但并不完全等价。如果偏要说等价，那就是重新进行了否定性的定义。而如果这种做法真的合理，又何必当初（指很费劲地引进极限论）？必须明确指出，对一贯标榜严格性的数学理论而言，这是不能允许的。又如，（3）式中的自变量dx是完全可以等于0的，而（6）式由于作了除法，dx显然不能等于0了，两个式子的定义域变了，显然并不等价。当然，人们如此做，是有其现实应用的需求及苦衷的。不如此，下面的微分，特别是积分操作根本无法顺利进行下去。所以数学家们可以说是硬着头皮出此下策，这是无奈。因为基础理论并没有澄清。总之，如果极限法还正确且必要，则这里由定义宏观量微分而得到的所谓导数（仅形式上相同）的重新定义必不正确；反之，如果后者正确，则极限法甚至牛顿法必无必要，甚至本质上是错的。因此我们说，看似严谨的微积分理论，实际问题、矛盾很多，需要彻底澄清。而笔者所要做的，正是进行这种澄清，彻底揭示为什么可以甚至必须这么定义导数的逻辑理由，从而达到彻底消除而不是掩盖矛盾（贝克莱悖论），简化、理顺微积分理论，为其应用提供坚实的基础（现实基础不牢靠，并且人们为了掩盖这点，理论及其繁琐、曲折、自相矛盾）。

从前文的“推导”我们明显可以看出，y=f（x）=x以致（4）、（5）式是作为结果的（6）式的前提条件的，也就是（6）式并不是一个普遍的结果。很显然，这里的所谓“推导”，只具有推导的形式，其实是逻辑学中典型的“偷换概念”，它仅仅是为了与传统微积分中早已被人们用熟的dy/dx相一致而硬凑出来的。严格地，它只能写成：

f'（x）=dy/△x

（7）

这个“丑陋”的形式。而这只能表明用这种方法得到的这个所谓的“导数”与传统极限法等求出或定义的导数完全不同，这里只能是两个宏观量的比值，它的分子、分母（当然主要是分母。但此时如果分母为0，分子也必然只能为0）不应该被允许在趋于0时在0点还有定义。

同时，一般而言，dx不可能等于△x，这是由于已经在（2）式中定义dy是曲线函数y的增量△y的线性部分也就是“微分”了。同理，dx必然也就是△x的线性部分，也就是它的微分而不是它本身。除了y=f（x）=x的特殊情况，二者一般根本就不应该相等。也就是一般地，我们应该总有、起码是有dx≠△x,否则我们也应该总有dy=△y。在复合函数条件下，这一点看的很清楚，也就是如果x是t的函数g，即有x=g（t）,仿y是x的函数，把（1）式中的y用x代入，x用t代入，必然一般地有dx=dg（t）≠△g（t）=△x。类似地，如果我们对微分公式（2）作同样的代换，则可得到：

df（g（t））=f'（g（t））△g（t）

（2*）

我们当然有x对t的导数：

x'=g'（t）=dg（t）/dt≠△g（t）/△t

（6*）

因此我们既得不到：

df（g（t））=f'（g（t））g'（t）△t

（2**）

也得不到：

df（g（t））=f'（g（t））dg（t）=f'（g（t））g'（t）dt

（2***）

而且，即令我们由y=x，自然有y=f（g（t））=g（t）≠t，则带入（2*）式可得到：

dx=dg（t）=△x=△g（t）。

但显然得不到dt=△t，除非也有g（t）=t,而这几乎等于承认取消函数的功能，当然绝不可取。因此，即使有人认为由于（5）式推导的不能成立因此仅仅是个硬性的假设，由于上面的理由，这个假设也没有任何合理性。

在微积分中，这种复合函数的代换比比皆是，根本就没有可能仅仅把x看成无法代换的绝对自变量。

此外，既然已经有了（1）式，自然我们也可以有：

△x=g'（y）△y+α（y）△y

（8）

这里g为f的反函数。也就是，如果我们把（1）式中的非线性函数y看成（8）式中的线性函数，那么，（1）式中的线性函数x自然就是非线性的了。二者是个互为反函数的关系。此时参照对（1）式成立的（5）、（6）式，这里也必有：

dx=dy=△y

（9）

代入（1）式，必有：

dy=f'（x）dx+α（x）dx

（10）

显然与（3）、（6）式不符。可见，通常文献中由微分“推导”导数的方法根本就是不成立的。

我们甚至可以更进一步地“证明”（1）式到（6）式的推导不能成立：由（1）、（2）式及图1可知，△y≥dy，而且二者有共同的起点A（图1中），因此，在△y→0时，也必有dy→0；同理△x→0时，必有dx→0，于是又有△y/△x也就是dy/dx趋于0时的0/0问题。极限法的问题犹在，不可能由（6）式就解决。反之，如果（6）式中的dy、dx可以是宏观量，则由（1）式可知，△y、△x也可以是宏观量，如此，传统微积分极限法的什么“趋于0”岂不多余？由此也可知道极限法求导与微分中的所谓“导数”是内在矛盾的。此外，在（6）式中，显然dx≠0，但在（2）式中，无论△x是否换成dx，它都可以等于0（此时dy自然也等于0），而导数f'（x）早已由极限法“求得”或更严格地是定义出来了。这里有一个逻辑因果的问题。也就是孰先孰后的问题。总之，在极限法等现有微积分求导方法的问题没有被彻底澄清以前，（6）式只是徒具导数形式。其中与传统导数的区别是，它可以是两个宏观量的比值，而传统导数不得不被看成是一个非比值的整体的数值，否则就有0/0的问题出现。也就是说，传统上导数公式（6）中的dy/dx,按极限法是不可以真正当作一个分数的，它只是一个习惯写法，不严格。正因为如此，才不可以直接把dy/dx看作分子分母可以分开的分式而从（6）式直接得到（2）式。而是必须反过来，先把dy定义成宏观量（有违“微分”这个习惯用语，可是在积分中却必须是“微”的。这本身就充分反映出现有微积分理论中的矛盾性），而且不是增量△y（见图1）。然后由（2）式得到（6）式。而（2）式中△x是函数的增量，前面已经讨论了，一般不应该将其看作只是增量的一部分的“线性主部”，也就是一般而言dx≠△x，但很显然，在（2）式中只有当△x是函数自变量x的全增量时，dy才为函数y的增量△y的“线性部分”。但当一般地dx也是函数x的增量△x的“线性部分”时，dy只能是作为增量的一部分的“线性部分”本身的一部分了，充其量我们也只能称其为“主部的主部”罢了。因此，我们这么得到的（6）式只能解释成为了追求表面的“一致性”要求而根据特殊条件（y=x）硬凑出来的。人们之所以不顾逻辑的合理性非要这么做，是为了其后积分的方便，不得不牺牲严格性。这与当年牛顿、莱布尼茨的作法如出一辙。我们只能说，（6）式即使可取，也没有讲清道理。而此正是笔者的目的。

对于导数，还是有必要补充一点。经常有人认为，极限法求导公式（以2次函数为例）：

（11）

是完全正确的。但究竟是（11）式推导中的第一步的[2x·△x+（△x）2]/△x基本，还是第二步的2x+△x基本？当然前者是本源的，作为第二步得到的后者，是由前者除以△x得到的。分母上的△x被消去了。这两个式子还等价吗？只能说一般情况下等价，但恰恰是在△x=0时，二者不等价。因此在绝对意义上，二者不等价。前者△x在分母上，所以不能等于0，而后者可以。前者是导数的原始定义，后者实际上是经过“处理”后的非原始公式，因此，既然后者中当△x→0时有△x=0，那么前者分母中的△x也没有理由在同样的情况下不等于0。于是0/0又会出现，贝克莱悖论的问题根本就没有解决，只是被先进行的除法操作掩盖了。它等价于说，不必理会分母为0的事，尽管什么理由也没有给出。因为除以△x前后两式是不等价的，不能草率地以后者代替前者了事。这个实例，可以说本质地反映出求导过程中的贝克莱悖论为什么并没有解决。

这有些类似物理中相对论量子力学“解决”无穷大问题的重整化过程，它并没有解决本质性的问题，不过是把“垃圾扫到了地毯下”。很遗憾地，很多数学教师甚至“数学家”认定（以为、认为、声称），某点只要有极限值，将此极限值定义成或认为是（看作是）该点的导数值没有任何问题，不会产生矛盾，因此才有教科书中的定义“如果二增量比的极限存在，则称这个极限值为函数在该点的导数，并称函数在该点可导或具有导数”，真就好像这个极限原本在那儿，不过给其起个名字叫“导数”而已。但事实真是如此简单吗？数学家们，在这里究竟丢掉了什么？都知道极限分两种，一曰可达极限，一曰不可达极限。这里的极限显然是不可达极限，也就是只能“无限”接近，不能真正抵达的那个类型。既然有这个限制条件，仅仅为了维持数学作为最为严密的科学的尊严，是不是应该在自己的相关表述中要明确表达出这个条件？为什么竟然忽略或者隐匿？完备的表达是否应该是：如果二增量比的那个只能无限接近、并不实际可达的极限存在，则称这个只能无限接近但并不能实际到达该点，或说在该点并无定义或无值（只能有0/0这样的“值”）特别是应该特别强调的是在该点根本不应该允许再有或被赋予函数值的极限值为（被定义为）函数在该点的导数。由此，只能有两种可能：一种是这个导数与该极限一样，在该点无值，只是这种“不可达极限”的同义语；另一种就是在“该点”虽称有值（有明确定义），但由上面那个完备的导数定义可知，这个导函数的值实际上是把值赋予了那个“根本不应该允许再有或被赋予函数值”的“该点”。这个极限明显（只能、必须）不可达，却偏要令其可达，这里当然存在矛盾。总之，如果在极限点早就有函数值，则根本用不着求极限，它成了多此一举；而且如果在极限点函数本无值（只有极限值），则用极限值代之，只能得到另一函数值而已，改变不了原先函数在极限点无值这一根本事实。

从另一个角度，导数如果作为一个比值，在所谓的极限点有值，就应该能够自然得到（求出），何必如此周折地用极限法的ε～δ语言？过去只强调了该语言的可以趋于无穷小的过程，但完全无视该语言实际另一方面，也就是ε、δ无论多小，也不会消失。而这意味着什么？不就是“永远”不可能达到△x=0吗？因此，极限法的前一半，也就是求出极限的部分，有一个被人们忽略了的“副产品”，那就是按此法不可能再有函数在极限点的值，也就是明白说，极限点的极限值不能再作为或定义为函数的值。否则就是前后自相矛盾。因此我们说，极限法不但没有解决贝克莱悖论，实际上它自己就是一个典型的贝克莱悖论的变种。也就是：如果极限点有函数值，就无须再去求那个被描述为“永远达不到”的极限（即使用所谓ε～δ语言“包装”也罢）；而如果极限点本无函数值，求出这个“永不可达”的极限又有何用？这里面有明显的逻辑循环问题。其实是贝克莱悖论的另一种形式。

事实上，芝诺悖论（龟与兔）与微积分求导的极限问题是同构的。兔追上龟和在极限点有函数值，本来都是客观现实。但正是在此点它们都发生了类似的问题。如果我们把基准参照系建立在龟所在的参照系上，然后令兔与龟间的相对速度是个逐渐变慢的变速运动，然后再把兔与龟换成ε、δ，二者几乎就完全等价了。芝诺悖论就化为微积分求导问题。因此所谓兔永远追不上龟，与永远到不了极限点（函数在极限点无定义）几乎就是一个意思。因此，可以说试图用极限法解决微积分求导问题，就等于是用芝诺悖论去解决贝克莱悖论，当然本质上是不可能的。

总之，任何曲线上二点间的直线，无论多小，也不可能是曲线的一部分。而一条直线，必须唯一地以空间的两点才能决定。作为直线的切线自然也不例外。而导数不是一般的斜率，它是定义在一个点上的，而通常在一个点上不可能定义需要两个点才能定义的斜率。而过曲线一点与该曲线只有一个交点的直线通常有无数条，远不止一条切线，此即不定式0/0的本质。如此我们可以看出，传统极限法，表面看导数是求出来的，实际还是定义出来的。而且由于传统上并没有真正搞清曲线上某点的导数、斜率、增量比值、瞬时（时刻）速度这些基本原始概念的含义，因此严格说，当一个比值的分子、分母都趋于0时，其极限不应该是两个宏观量之比，也就是传统上一再强调这个极限是一个不可分拆的数值，不能有比值，无论无穷小比值还是宏观量的比值。这显然是为了避免0/0的尴尬（从导数的物理意义上来看，瞬时速度严格说是不能有量纲的，也就是不能有“距离/时间”这个量纲，但如此一来，瞬时速度还有什么意义？还能是速度吗？这也是过去未见人们提及的一个极限理论的尴尬之处，反映此方法的深层次的问题）。但同时又由于此导数值与该点切线斜率数值完全一样，所以为了几何直观甚至应用的方便，有人又不甚严格地说导数就是切线的斜率。但如此，就必须解释比值式中分子、分母两个宏观量分别趋于0时，如何又得到这个“两个宏观量的比值”的，哪怕是一个极限值。换言之，很重要的是，极限值只能是比值本身，也就是一个完整的数值，而不能再表示成一个两个宏观量之比的形式，因为此时作为比式（不是比值！），极限法只能得到0/0，而作为一个比值，当然是一个宏观数值。也就是说，如果我们当真认为导数就是切线的斜率而不仅仅是数值相等，就会与极限法直接产生逻辑矛盾。除非我们根本就不再顾及极限法建立的初衷，干脆直接定义导数就是切线的斜率，而且不但数值相等，还可直接表成两个宏观量的“比式”，也就是彻底的切线斜率的完整定义。但如此一来，我们还需要极限法吗？直接把导数定义成切线斜率不就成了？而此正是笔者对导数问题的基本思路，也就是：直接定义宏观量比值、比式（切线斜率比式，不仅一个比值）为导数，从而彻底摈弃无穷小、极限等概念，达到正本清源、澄清概念、消除矛盾、简化理论、析疑解惑、有利教学的目的。因此，笔者对导数、瞬时速度等概念的理解、定义，才是唯一既可以彻底消除贝克莱悖论，又与现有微积分的一些实用化的做法（比如微分概念的提出）不但协调，而且可提供更加合理的解释及理论基础。也就是，在笔者的解释下，导数、微分、积分概念才在真正意义上得到了一个统一的描述。比如解决了传统上微分被定义成宏观量，而与之密切相关的导数却不行之类的问题。因此，笔者理论比之传统理论，并不是一个等价的可相互替换的问题、一个求法问题，而是一个本质上含矛盾与不含矛盾、精确与非精确的问题，在基本概念上，它揭示了本源性的更加深刻的东西。

二、导数、微分概念的全新观点——无矛盾的增量分析

由上文的论述可知，传统微积分极限法等不但求导中的贝克莱悖论没有解决，而且微分概念也大有问题。我们甚至可以证明无论牛顿法还是极限法，都不能成立，都要产生贝克莱悖论：导数比照速度概念，必然要依赖两个点。但其又是严格定义在曲线上一个点上的。如果我们还是像传统上那样认为这两个点再小也是在曲线上的，就只能产生矛盾，也就是贝克莱悖论。因为第一，曲线上无论多么靠近的两个点之间的连线，只能是割线，不会和曲线重合，因此必有误差，通常以根本就不严格的所谓高阶无穷小的形式出现（牛顿、莱布尼兹法）；而一旦两个点重合为一点，则必然出现0/0的情况，更不行。直观上，这是人们总认为变速运动下的瞬时速度就是现实走出来的，不能脱离现实的运动。而变速运动中的“现实”就是变速运动的速度随时在变，哪怕两个时刻挨的再近也罢。这也就意味着，在变速运动中，根本就没有机会给我们去实际走出本质上应该在该瞬时或时刻是不变的瞬时速度（如果在该瞬时还在变，岂不该称之为“瞬时变速度”，还有什么本质上是不应有变化的唯一的“瞬时速度”？也就是，既然变了，就会有很多，远不止一个。为了排除这个矛盾（贝克莱悖论），我们只能认为，导数这个既需要只有一个点、又需要两个点的概念，几何上只能分别定义于两条线上，而这两条线又有关连。同时，这两条线一条当然是曲线，一条是直线，因此很明显了，这只能是曲线和它在某点的切线：一个点是曲线的切点，为曲线本身和切线所共有，而另一个点或者更一般地两个点在作为曲线切线的直线上的任何位置，两点间距是不为0的有限值，也就是在直线上，另一点不与切点重合或者任何位置的两个点互相不重合。切点，作为一个点提供了曲线与该点切线（直线）的连接、关联纽带，它提供了导数数值的唯一性；而切线上的任何不重合的两个点，提供了导数、速度概念所要求的间距性、线段性（非点性）本质。各取所需，构成完整无矛盾的导数概念。既彻底地排除了贝克莱悖论的问题，又根本不需要极限或者无穷小等概念。特别值得一提的是，导数所需要的在切线上的两个点，现在已经不需要受图1上A点的约束，也就是不必在二点中，其中之一必取A点。这是由于直线的斜率处处一样，任何两个点算出的斜率完全一样。新导数概念的这两个特性，也就是：两个有限值之比，不再依赖什么极限、无穷小；切点不必作为两个点之一。这一观点在微分、积分中将有重要的应用。这在下文将会详细论述。也就是在图1的A点（切点）处，作用力突然消失“后”物体的匀速运动轨迹及速度。那里片面强调了“其后”，似乎还要某种程度依赖切点作为两点之一。实际上，其物理意义还应该加上：作用力突然消失后，物体其后的运动形态，当然是沿切线方向的匀速运动，但对于这个切点“其后”的运动而言，切点（图1中A点，作用力消失点）之前的运动形态的差别，是不可分辨的。也就是在切点之后，搞不清也无需搞清这个匀速运动的物体，究竟是一直匀速不受力，还是原先是变速受力运动，只是在A点（切点）才不再受力改成匀速的。如此，导数、瞬时速度的概念就不是绝对地只涉及切点之后，它也与切点之前有关联了。此是新导数概念的物理解释。具体说就是速度所需要的两点都可在切线上任选，完全无必要非取切点的理由。

图2

总之，我们可以看到：

导数、斜率、速度等统一可以写成△y/△x形式的概念，这应该是这些概念的“本源定义”。由于分母上有△x，所以原则上是离不开约束条件△x≠0的。因此在△x=0处本无定义（无值、无确定值）。至于我们通常说的某时刻到达某位置或走了多少路，是当t1=0时，△t=t2-t1时的情况（t这里为时间）。这里虽然说的是“时刻”，但显然并不是真正意义的△t=0。

由于物理上的匀速直线运动或几何上的直线上处处△y/△x为恒定值，在这个基础上，不妨定义以往经常被很随意地使用着的次级定义“瞬时速度”、“时刻速度”、“某点的斜率”，数学上也就是导数。这是明确定义在点上的（无论是曲线上的点，还是“时间点”，甚至直线上的点。并不因为在直线上其值处处不变而改变定义于点的本质）。也就是必须要△x或△t=0。可以明显地看出，此定义其实与定义在线段上的“本源定义”（也就是本质上△x≠0）不相容的。但由于在直线情况下，处处速度、导数、斜率都一样，所以在不至于引起混淆（其实经常被混淆，比如所谓的芝诺悖论）的情况下，不妨这么说而已。

对于几何上的曲线及物理上的加速、变速运动而言，上面这个“瞬时速度”、导数的概念如果不彻底澄清就会产生明显的问题，即所谓微积分中的贝克莱悖论。其实只要有时差，无论多小，变速运动就有速度的变化。而在某个时刻（瞬时），只能是运动物体到达某位置，在变速运动中，不可能以“瞬时速度”、“时刻速度”前进任何小的距离，因为速度随时在变，无论这个时间段是如何的小。也就是本源性的速度，在瞬时没有定义。我们通常说的瞬时速度，是笔者指出的曲线或变速运动时作用力突然消失时的假象情况下的。如果真的作用力突然消失，才有现实的匀速直线运动速度发生，这也是作为次级定义的“瞬时速度”概念的基础。同理，作为曲线上的导数概念，并不是曲线本身上就可以实现的。人们之所以非要先是拘泥于曲线上两点间的无穷小距离（牛顿、莱布尼茨），然后又是曲线上两点的无穷趋近（极限，标准分析），后来又重返无穷小（非标准分析），就是将导数所需要的两个点拘泥于曲线本身的结果。而笔者的导数观，彻底地将这两个必需的点超脱出曲线本身，直接定义在切线上的任意两点上，这就彻底消除了贝克莱悖论，也不再需要无穷小和极限等复杂概念。这使得微分、积分的概念彻底地简化、确定化，特别是合理化。因此也可以说，曲线上的导数、变速运动中的“瞬时速度”概念，又是直线、匀速运动中相关概念的“次级概念”。

直线的斜率及匀速运动的速度（定义在线段上的）由于处处一样，我们就可以定义“点”（不是线段）的导数和瞬时速度，作为斜率、速度的次级概念。细究起来，它还是某点相关的直线上的两个点也就是线段上的斜率与速度。只是二者数值处处一样，无区别，所以人们以往并未深究其本意罢了。但一涉及曲线，问题就显现了。对直线的导数或匀速运动的瞬时速度这样的“次级概念”，我们可以直接定义，因为按笔者对曲线导数的定义，就算当曲线上两点无限趋近然后重合时，切线上定义导数所必需的任意两点并不相互趋近或重合。但如果我们仿曲线情况，使直线看成曲线的特例，则直线上的两点如果也认为可以相互趋近以至于重合呢？此时既然已经两点重合了，如何还能定义两点不重合而得到瞬时速度这个次级概念，这不矛盾吗？当然，我们可以说不重合的是其它的两点，但为了彻底消除疑点，我们不妨仿曲线情况，设有一个与原直线完全重合的另一条直线，那两个不重合的点事这条直线上的。如此，矛盾就彻底不会出现了。也就是第一条直线的△x=0，但另一条（虽然与第一条相重合）直线的△x'≠0。

我们说，无论牛顿、莱布尼茨法还是极限法（标准分析），甚至非标准分析，都是躲不开贝克莱悖论的，因此有问题，但它们为什么有都能得到正确的导数值？有关极限法的分析上文事实上已经回答了，这里着重分析牛顿法。不失一般性，我们以二次函数为例，我们通常得到：

△y=2x△x+（△x）2

（12）

注意，这里与一般写法的区别是，我们先没有在等式两边除以△x。难以想见，如此微不足道的差别，竟然会使结果大相径庭。牛顿和莱布尼茨是令曲线上的两个点不断靠拢，使△x→0，甚至等于0时，才能得到导数，而我们这里不是，我们直接去掉（△x）2这一项，而此时它完全可以是宏观量。不必是无穷小，更不能等于0。因为如果它是0了，2x·△x也必然等于0，求不出什么。但为什么明明（△x）2不等于0，甚至不必是无穷小，我们也可以舍弃它而保留2x·△x？这是因为前者是增量的非线性部分，后者是线性部分。而导数自然只与线性部分也就是切线有关。可参见图1，只要把它当成二次曲线就可以了（图形相似，不再重画）。当我们去掉（△x）2项后，再把（12）式两边除以不等于0的△x，就很自然地得到导数。区别仅仅是这里分母上的△x不是说不清的什么无穷小。也不再需要曲折地由极限法先得到函数本不可达的极限值，再重新定义这个△x=0时的函数本不可达的极限值（即原来的函数本身在该点本无值）就为该点的函数值。即定义本不允许有值处有值。这明确是个矛盾。这样就解释了为什么牛顿法可以从一个看似错误的推导而竟然可以得到一个正确的、而且是精确的值（而其方法看起来不是不合理，就是不精确）。但只有按笔者这里阐述的新的导数观，才可以使这一切获得合理而无矛盾的解释。

总之，按牛顿、莱布尼茨甚至极限法对求导的实际做法与对导数的解释，这些方法既不必要，也不充分，还要产生贝克莱悖论，因此是不完备甚至根本就是错的。即使在笔者给出的做法与解释框架下，如果导数所需要的两个点之一是基于图1中A点要作为“共同起始点”的，因此也是不必要的（增量不必依赖于起始于A），但充分。而笔者对导数的新解释（定义），也就是不以图1中A点为共同起始点，这才是必要而充分的一个方法。

Contradiction Free Statement of Core Concepts of Calculus——The Incremental Analysis without Concepts of Infinitesimal and Limit

SHEN Wei-guo

（EditorialDepartmentofDistrictHeating,Beijing, 100026）

Based on the preliminary work, this paper provides strong evidence for the opinion that in the current calculus theory, Berkeley’s paradox is not eliminated and it is also impossible to be eliminated as many people think and claim. It is just covered by several complicated and uncommon concepts, definition and procedures. On this basis, the new definition, which is proposed to solve such kind of contradiction and does not involve the concepts of limit, potential infinity, and infinitesimal, can be extended to the fields of differential and integral to completely solve and classify some complicated problems in the basic theory of mathematic analysis. It can be seen that the theoretical explanations proposed by the author previously and in this paper, especially the new definition of the derivative, are necessary for the elimination of the contradictions in the basic theory of calculus and theories of derivation, differential and integral. Obviously, the elimination of contradictions and paradox in the theory of analysis would make the whole theory very clear and simplified. At the same time, the teaching difficulties of the basic theory of calculus, which confuse the scholars at home and abroad because of the practice of trying to cover the inherent contradictions and paradox in the theory of analysis, would surely be solved with the complete classification of the contradictions in the theory.

potential infinity; limit; derivative; Berkeley’s paradox; differential; integral; mathematic analysis; contradiction free analysis; incremental analysis

2014-10-15

沈卫国（1950-），男，上海人，前区域供热杂志主编，西北工业大学原逻辑与人工智能研究所研究员，中国人民大学原现代逻辑与人工智能研究所研究员，主要研究计算机控制系统，数学基础理论等。

O13

A

1673-582X（2015）05-0103-08