复赋范线性空间上的(I,B)-近似保正交映射

孔亮

（商洛学院数学与计算机应用学院，陕西商洛 726000）

为了研究赋范空间的几何性质，各种正交性和近似正交性定义被相继引入和研究[1-4]，其中B-正交即Birkhoff正交受到了许多学者的关注[5-8]。在此基础上，一些学者研究保持各种正交性和近似正交性映射的性质。文献[9-12]在内积空间给出了近似保正交映射的性质，文献[13-14]在实赋范空间中给出了近似保等腰正交线性映射的刻画，文献[15-17]在实赋范空间中分别研究了保ρ-正交、保ρ*-正交和近似保等分线正交线性映射，文献[18]在实赋范线性空间中引入了(I,ρ)-近似保正交映射的概念并证明了非零(I,ρ)-近似保正交线性映射有界并且是下有界的。本文在复赋范线性空间中，给出近似（I，B）-保正交映射的定义，证明非零（I，B）-近似保正交线性映射有界并且是下有界的，证明在一定条件下，非零（I，B）-近似保正交线性映射是近似保B-正交线性映射。

1 预备知识

定义1［5］若则称x和y是B-正交的，记为

定义2［7］设则称x和y是近似B-正交的，记为

定义3[7]设若则称x和y是δ-近似B-正交的，记为

定义4设映射若对任意的则称 T 是近似保B-正交的。

定义5[13]若且则称x和y是等腰正交的，记为x⊥Iy。

定义6[16]设x,y∈X，称为范数导数。

定义7设映射T：X→Y，ε∈[0，1)，若对任意的则称 T 是（I，B）-近似保正交的。

2 结论及其证明

为了完成定理的证明，先介绍几个引理。

引理1设x,y∈X，则

证明由定义5可知结论成立。

引理2[8]设 ε∈[0，1)，x,y∈X，则

引理3[8]设定义映射为为 φ（t）=‖u+tv‖2+a‖u‖‖tv‖。 若φ（0）＜φ（t），∀t∈[b1,b2]｛0｝，其中b1＜0,b2＞0，则φ（0）≤φ（t），

定理 1设 ε∈[0，2-1)，T：X→Y 是非零（I，B）-近似保正交线性映射，则T有界且‖T（x）‖，∀x∈X。 从而 T 是下有界的。

证明设x,y∈X且‖x‖=‖y‖=1， 则由引理1知于是由（I，B）-近似保正交线性映射的定义知从而由引理2得有

和

于是对任意的γ∈（0,1），

由T是线性映射和范数导数的定义可知

由极限的保号性得，存在 δ1＜0，使得∀t∈[δ1,0)，

同理由(2)式和极限的保号性得，存在 δ2＜0，使得∀t∈(0,δ2]，(3)式成立，故∀t∈[δ1,0）∪（0，δ2]，(3)式成立。定义凸函数

在(4)式中令γ→0得

在(5)式中令 θ=0,t=1 得

则由文献[18]定理1的证明知T有界且

定理 2设 ε∈［0，2－1），T：X→Y 是非零（I，B）-近似保正交线性映射，则T：X→Y是近似保B-正交映射。

证明由定理1知

设 x,y∈X 且 x⊥By，即于是有