投资组合的VaR风险价值分析

甘小艇，吴雨珊，顾乔美，徐 敏

（楚雄师范学院 数学与计算机科学学院，云南 楚雄 675000）

随着时代的更替，90后逐渐成为新时代的主力军，而伴随着这批主力军到来的还有“基金热”。基金的一大特点是分散风险，而做到这一点所依靠的方法便是投资组合［1］。投资人或金融机构将他们所持有的股票、债券、金融衍生产品等进行重组，按照不同的权重组成的集合就是一个投资组合。然而，投资组合是否能够为我们带来利益，以及它所具有的风险，仍需要进一步判断，VaR模型便是计算投资组合风险价值的常用方法［2］。

1 数据处理

一般来说，投资组合不得少于二十个品种，为了将过程简化，随机选取二十只股票。以2018年10月8日到2019年3月1日期间，代码为“H11021”的股票基金指数成分股价格序列，作为分析的目标［3］。此外，采用三种方法，参数法、历史模拟法、蒙特卡洛模拟法计算投资组合的VaR值。投资组合中股票数量为自由流通股本。数据储存在Excel文件中，方便MATLAB导入。此处选取的有“平安银行（000001）”“泛海控股（000046）”“盐 田 港（000088）”“中 航 飞 机（000768）”“粤高速A（000429）”等共计二十只股票。

1.1 数据标准化将初始价格标准化为1元，并将选定股票价格序列作图，为了使图片更清晰，此处只选取了“平安银行”，“特力A”，“盐田港”和“中航飞机”的标准化后数据作图，结果如图1所示。

图1 标准化后的股票价格序列图Fig.1 Standardized stock price sequence diagram

1.2 相关性分析对股票价格进行相关性分析，相类似的做法可参见文献［4］。以“平安银行”“特力A”“盐田港”和“中航飞机”这四只股票为例，经计算得到的均值、标准差和最大回撤结果如表1所示，其他股票的计算相类似。

表1 部分股票的均值、标准差与最大回撤Table 1 Mean，standard deviation and maximum retractions of some stocks

上述4只股票的相关矩阵为：

将投资组合的二十只股票的相关性矩阵使用MATLAB中的热图（Heatmap）展示出来，如图2所示。相对于通常列表行情模式而言，热图的展示方法更加直观，信息量更大，也能更加形象地展示出投资组合的表现与市场的整体概况。

图2中Heatmap以颜色的深浅变化与梯度反映数据之间的相似与差异，颜色越相近则相似性就越高，反之亦然。由图2可看出，盐田港与粤高速A、泛海控股与渤海股份有一定的相似性。

图2 投资组合的相关性Heatmap图Fig.2 Portfolio correlation Heatmapdiagram

1.3 净值与收益率通常为得到投资组合的VaR值，还需要计算投资组合的净值序列、收益率序列等指标。通过MATLAB编程实现，结果如图3所示。

图3 投资组合净值与收益率分布Fig.3 Distribution of net value and return of investment portfolio

2 数值实验

在一定的置信水平α下，某一金融资产证券组合在未来的一段时间△t（持有期）里，可能的最大损失值，这就是VaR的含义。它的数学定义可以这样说

式（1）表明在给定置信水平1-α和一定的持有期△t内，如果投资人或机构在时间间隔△t内，预计的损失额会超过M的概率小于α，则称这个投资人或机构在该持有期△t之内的VaR值为M［5］。另外，式（1）中，△r为在一定持有期△t下，某一种资产组合的市场价值的变化。1-α为给定的置信水平。注意，持有期和置信水平在不同的银行可能有不同的数值。

2.1 参数法参数法也被称为方差-协方差法。参数法是计算VaR最常用的方法［6］。参数法首先要假设投资组合的资产收益率服从正态分布，然后再借助于正态分布转换，把VaR表示成标准差的倍数，通过简单的计算即可获得最终结果。

参数法在计算时可以采用的三种方法是直接法、指数平均移动法与移动平均法。这里介绍直接法。

直接计算所有n个样本的样本均值与标准差，日变化率的样本均值和日变化率的样本标准差如下：

用单尾法计算1-α置信度的单位资产收益率的日VaR值为式（4）。另外，标准正态分布下置信水平α与标准差数zα之间的关系如表2所示［7］。

表2 标准正态分布下置信水平与标准差数之间的关系Table 2 The relationship between the normal distribution and the standard deviation

接下来，随机选取2018年10月8日到2019年3月1日的二十只股票进行模拟计算，此期间的股票基金指数成分股作为投资组合，经参数法计算得到的结果如图4所示。此外，在置信区间为95%～99%下，经参数法计算得到的VaR值如表3所示。

图4 参数法VaR结果Fig.4 The VaR result of parameter method

由表3可知，该投资组合在置信度为95%时，最大的损失值不会超过21，023，243，950.50元，在置信度为99%时，最大的损失值不会超过30，654，761，123.28元。

表3 参数法得到的VaR值Table 3 The value of VaR obtained by parametric method

2.2 历史模拟法历史模拟法的基本思想，用给定历史时期内所观测的市场因子的变化，来表示市场因子的未来变化［8］。在估计市场因子模型时，一般采用全值估计法，即根据市场因子的未来价格水平对头寸进行重新估值，然后计算出头寸的价值变化（损益），最后，将得到的组合的损益从最小到最大排序，即得到了损益分布，再通过给定置信度下的分位数求出VaR值。

随机选取2018年10月8日到2019年3月1日的二十只股票进行模拟计算，此期间的股票基金指数成分股作为的投资组合，经过历史模拟法得到结果如图5所示。

图5 历史模拟法结果Fig.5 Historical simulation results

然而只有在庞大的数据支撑下，历史模拟法才能够得到比较精确的数据，而此处的数据均取自锐思金融数据库，由于网站的限制，只能下载100条数据，与要进行历史模拟所需的历史数据相比是渺小的，因此此处的结果并不精确。此外，利用历史模拟法，在置信区间为95%～99%下所对应的VaR值如表4所示。

表4 历史模拟法得到的VaR值Table 4 Value-at-risk derived from historical simulation

由表4可知，该投资组合在置信度为95%时，最大的损失值不会超过19 053 141 389.40元，在置信度为99%时，最大的损失值不会超过33 090 572 308.89元。

2.3 基于随机收益率序列的蒙特卡洛模拟VaR计算蒙特卡洛模拟是一个概率模型，该方法是计算VaR最复杂的方法，通常只有在其他方法不能使用的情况下才会使用，主要因为难以假设其概率分布以及原有问题的复杂程度［9］。

假定好概率分布后，接着根据假定的分布可随机生成模型的输入数据，然后再收集数据结果并得出结论。得出模拟输出的数据之后，可以按照与历史模拟法相同的步骤进行操作。

同样对随机选取的2018年10月8日到2019年3月1日的二十只股票进行模拟计算，此期间的股票基金指数成分股作为投资组合，经过基于随机收益率序列的蒙特卡罗模拟计算得到结果如图6所示。

图6 基于随机收益率序列的蒙特卡洛模拟结果Fig.6 Monte Carlo simulation results based on random rate of return series

得到在置信区间为95%到99%所对应的VaR值如下表5所示。

由表5可知，该投资组合在置信度为95%时，最大的损失值不会超过21 261 896 469.28元，在置信度为99%时，最大的损失值不会超过29 178 474 596.42元。

表5 基于随机收益率序列的蒙特卡罗模拟VaR结果Table 5 The result of Monte Carlo method VaR based on random rate of return series

2.4 基于几何布朗运动的蒙特卡罗模拟计算VaR值基于几何布朗运动的蒙特卡罗模拟法VaR计算的步骤如下：

首先，假设投资组合中资产价格的变动服从某一种随机过程，并且这个变动在时间上是不相关的，其离散形式可表示为：

其中，F i表示i时刻的资产价格，也就是收盘价，μ表示资产收益率的均值，σ表示资产收益率标准差，ξ表示随机变量，假定ξ～(0,1)，t为当前时刻，T为目标时刻。

其次，随机模拟价格变动路径，生成正态随机数ξ1(i=1,2,…,n)。当前的价格为F i，根据上述随机模型，按i=1,2,…,n，依次产生相应的模拟价格F i+1(i=1,2,…,n)，模拟出资产价格F未来走势及目标时刻T的资产价格F T，那么

重复第二步n次，得到一定时期内的价格分布情况。最后由模拟得到的分布情况计算出VaR值［10］。

对随机选取的2018年10月8日到2019年3月1日的二十只股票进行模拟计算，此期间的股票基金指数成分股作为的投资组合，经过基于几何布朗运动的蒙特卡罗模拟计算得到结果如图7所示。

图7 基于几何布朗运动的蒙特卡罗模拟结果Fig.7 Monte Carlo simulation results based on geometric Brownian motion

置信区间为95%到99%所对应的VaR值如表6所示。由表6可知，该投资组合在置信度为95%时，最大的损失值不会超过21 253 700 144.18元，在置信度为99%时，最大的损失值不会超过31 247 184 035.71元。

表6 基于几何布朗运动的蒙特卡罗模拟VaR结果Table 6 VaR results for the Monte Carlo simulation based on geometric Brownian motion

3 结论

本文运用求解VaR值的三种主要方法，即参数法、历史模拟法和蒙特卡洛模拟法（基于随机收益率序列和基于几何布朗运动）对投资组合的风险价值进行计算，并对相关理论进行了梳理。通过采用以上三种方法对所选取的投资组合的VaR值进行计算，得到了四个不同却相近的结果。若以四个结果的平均值作为该投资组合，则最终结果如表7所示。

由表7可知，该投资组合在置信度为95%时，最大的损失值不会超过20 647 995 488.34元，在置信度为99%时，最大的损失值不会超过31 042 748 016.08元。所以该投资组合的风险价值较高，相关性较大，分散风险的效果并不好，不能给投资者或投资机构带来期望的收益。此外，本文假设了投资者服从正态分布，显然是过于理想化，因此在实际应用中VaR模型的选择上仍需考虑到这一点。

表7 该投资组合的平均VaR值Table 7 The average VaR value of the portfolio

总之，通过对相关性较低的资产进行组合，分散风险才能得到较高收益的投资组合，VaR值的计算结果也会较好。本文通过简单的投资组合的VaR值计算，增强了对投资组合在现实中的作用的理解，还增强了投资人与投资机构对投资组合的重视程度，也让当代年轻人对基金等的本质有一定了解。