超空间上的MCM,K-MCM空间和函数插入

胡星宇，肖经渊，彭良雪

（1. 北京工业大学 理学部，北京 100124；2. 广州工商学院 通识教育学院，广东 广州 510850）

自1983年MASHHOUR[1]给出超拓扑空间的定义以来，超空间上的各种性质就被广泛研究．如：张国芳[2]在超拓扑空间上引入超可数紧空间、超仿紧空间[3]，研究了它们的若干性质，给出了超半连续函数的概念，并且利用这些概念给出了超可数紧空间的一些刻画[4]；DEVI等[5]引入了超α开集，并探讨了它的相关性质；SAYED[6]引入了一个新的集合类，把它命名为超b开集，利用它给出了超b开（闭）映射的概念，并讨论了它们之间的关系；MUSTAFA[7]研究了超拓扑空间中的弱分离性；AL-SHAMI[8]研究了超拓扑空间中特殊的一些超覆盖和超分离公理；在文献[9-10]中，AL-SHAMI继续引入了超α紧性，几乎超α紧性，以及弱超α紧性等相关概念，并且研究了它们之间的关系；张国芳[11-13]研究了超拓扑空间上超星覆盖的若干性质，超拓扑空间上的可乘性质和相对超分离公理.

近年来，一般拓扑空间上的函数插入问题受到广泛的关注，尤其是某些广义度量空间和函数插入的关系更是被深入研究．如：燕鹏飞[14]得到了半层空间、K-半层空间和函数插入之间的关系；谢利红[15]通过研究单调递减的集合列，给出了可数亚紧、可数仿紧、完全正规空间和函数插入之间的关系．受此启发，本文尝试在超空间中对某些广义度量空间进行研究，讨论它们和函数插入之间的关系．

1 基本概念

定义1[3]若X上的子集族μ满足μ包含X和∅并且μ的任意子族的并仍在μ中，则称μ为X上的超拓扑，偶对 ),(μX称为超拓扑空间μ中的元素叫做超开集，超开集的补集叫做超闭集．

定义 2[3]设(X,μ)是一个超拓扑空间，x∈X，如果U是X的一个子集，存在一个超开集μ∈V，使得x∈V⊂U，则称U是点x的一个超邻域．

定义3[3]设E是超空间(X,μ)的一个子集，那么包含E的所有超开集的交叫作E的超闭包，记作scl(E) ．

定义4[3]在超拓扑空间 (X,μ)中，若每一个超闭子集F和每一点Fx∈，都存在2个不相交的超开集G、H分别包含F、x，则称X是超正则空间，也称X是 3ST空间．

定义5[3]一个超拓扑空间 (X,μ)，若2个不相交的超闭集F1和F2，存在不相交的超开集G和H分别包含F1和F2，则称超拓扑空间 (X,μ)是超正规空间，也称X是 ST4空间．

定义6[4]设 (X,μ)是超拓扑空间，是赋予通常拓扑的实直线．f:X→是超上半连续函数（超下半连续函数)，若对任意r∈,集合{x∈X:f(x)＜r} (或 {x∈X:f(x)＞r})是超开集.

定义7[2]定义一个超拓扑空间),(μX，若对于X的任意超开覆盖均有一个有限的超子覆盖，则称它为超紧空间．

定义8[16]空间X被称作单调可数亚紧空间MCM，如果存在一个算子S，将X中的每一个相交为空集的递减的闭集列{Fn}都对应X的超开集列S(n, {Fn}))，并且满足：

定义 9[17]满足下述条件的空间X称为K-M C M空间：存在X上的g函数，使得对X的任一序列{xn}及紧集C，若对于任意n∈ω(ω代表自然数的基数），有则序列{xn}在X中有聚点．

文献[17]中称K-MCM空间为kβ空间．

定义10对于超拓扑空间 ),(μX，将X上的全体超下（上）半连续函数构成的集合记作CLSC(X)(CUSC)(X)．

定义 11令{An}和{Bn}是超拓扑空间(X,μ)的2个超子集序列．为了简便，对于任意n∈，如果An⊂Bn，则把{An}和{Bn}的关系记作．此外，令

2 主要结果

首先给出C-MCM，C-K-MCM半层空间的概念．

定义12[18]空间X被称作单调超可数亚紧空间C-MCM，如果存在一个算子U,将X中的每一个相交为空集的递减的超闭集列{Fn}都对应X的超开集列U(n,{Fn}))，并且满足：

定义13[18]设X为超拓扑空间 ),(μX，函数g：是X上的超g函数，如果对于x∈X和n∈，有x∈g(n+1,x)⊂g(n,x)成立．

下面，利用超g函数和递减的超闭集列刻画C-K-M CM空间．

定义14[18]满足下述条件的超拓扑空间 ),(μX称为C-K-MCM空间：存在X上的超g函数，使得对X的任一序列{xn}及超紧空间K，如果对于任意n∈，都有成立，则序列{xn}在X中有聚点．

接下来讨论C-K-MCM空间性质，由文献[17]的定理4易得以下结论:

定理1设X为超拓扑空间(X,μ)，则下列条件相互等价：

(1)X是C-K-MCM空间；

(2) 存在一个算子U，将X中的每一个相交为空集的递减的超闭集列{Fn}都对应为X的超开集列{U(n, {Fn})}，使得下面这些结论成立．

(ii) 对于X的任一超紧子集K，存在n∈，使得

如果算子U满足定义12或者定理1的条件，那么它被称作C-MCM算子或者C-K-MCM算子．

定理2设X是超拓扑空间(X,μ)，则下列等价：

(1)X是C-MCM空间；

(2) 存在保序算子映射

证明：(1) (2)⇒ . 根据定义12，假设算子U是X上的C-MCM算子．对于任意h∈ CLSC+, 令Fn(h) = {x:h(x) ≤ 1/n- 1}，在这里n＞ 1, 并且F1(h） =X．那么{Fn(h) }是相交为空集的递减的超闭集列．当时，定义φ(h) :X→，并且φ(h)(x) = 1/n，所以

此外，对于任意大于0的实数r，都存在n∈，使 得是超开集．

现在假设h,h‘ ∈CLSC+(X)，并且h≤h‘，因为h‘(x) ≤ 1/n-1，所以h(x) ≤ 1/n-1，所以，对于任意n∈，都有Fn(h‘ ) ⊂Fn(h)成立．那么，对于任意n∈，都有成立．

对于任意x∈X，存在n∈，使得

取定这些n，有成立，所以

所以，φ(h)(x) = 1/n，并且因此h(x)＞ 1/n．综上所述，φ(h)＜h．

(2) ⇒ (1)．假设{Fn}是X中相交为空集的递减超闭子集序列，可以假设F1=X．当时，令h{Fn}:X→ [0,1]，并且，因此

这足以证明U是X上的C-MCM算子，下面展开证明．

显而易见，每一个U（n,{Fn})都是超开集．因为x∈Fn，当且仅当h{Fn}(x)≤ 1/n，所以对于任意n∈，都有Fn⊂U(n,{Fn})成立．对于任意x∈X，都存在n∈，使得φ(h{Fn})(x) ＞ 1/n．取定这些n，有成立，这意味着

现在假设{Fn}和 {Fn‘}是2个相交为空集的递减超闭子集序列，并且，那么所以，这意味着对于每一个n∈，都有成立．因此U是X上的C-MCM算子．证毕．

定理3设X是超拓扑空间 ),(μX，则下列结论等价：

(1)X是C-K-MCM空间；

(2) 存在保序算子映射φ: CLSC+(X) → CUSC+(X)满足以下条件：

(ii)对于X的每一个超紧子集K，对于所有的xK∈，都存在实数 0r＞，使得φ(h)(x)＞r．

证明：(1) (2)⇒ ．根据定理1，假设U是X上的C-K-MCM算子，对于每一个令Fn(h) = {x:h(x) ≤ 1/n- 1}，在这里n＞ 1,并且F1(h）=X．那么{Fn(h) }是相交为空集的递减的超闭集列．

现在令K是X的超紧子集，存在n∈，使得．令r= 1/n，根据φ(h)的定义，

对于所有的x∈K，都有φ(h) (x) ＞r成立．

(2) (1)⇒ ．假设{ }nF是相交为空集的递减的超闭子集列．可以假设F1=X，当x∈Fn-Fn+1时，定义h{Fn}:X→ [0,1]，并且h{Fn}(x) = 1/n成立.因此h{Fn}∈CLSC+(X)．

再令

由定理2的证明可知，U是X上的C-MCM算子．

令K是X的超紧子集，存在 0r＞，对于所有的x∈K，都有成立．

又因为一定存在n∈，使得1/n＜r，取定这些n，有K∩U(n,{Fn})=∅成立．证毕．