双时滞Volterra微分系统的稳定性

黄明辉，刘 君

（广州城建职业学院 数学教研室，广东 广州 510925）

自然科学、社会科学中众多学科提出了大量有关时滞微分系统的问题，如种群生态学[1]、传染病学[2]、神经网络[3]等.其中，Lyapunov是研究微分系统稳定性问题最常用的方法.但是Lyapunov函数的构造是相对困难的，尤其在高维系统[4]中.此外，在研究具有时滞的微分系统时，Lyapunov方法也会遇到很多困难，比如要求时滞有界[5]等.

近年来，许多学者应用不动点研究微分系统稳定性.经过长期的探索研究，发现采用不动点定理是处理稳定性问题的有效方法之一.作为不动点定理的推广，文献[8-12]采用不动点研究了Volterra积分微分系统、随机积分微分系统和中立型时滞积分微分系统零解的稳定性.

受文献[8-12]的启发，本文继续利用Banach不动点定理研究一类具有双时滞的Volterra微分系统零解的稳定性.

1 一类具有双时滞的Volterra微分系统

考虑以下具有双时滞的非线性中立型微分系统零解的稳定性

2 主要结果

定义1如果K(t)的任意一列都构成系统的一组基本解，则称K(t)为该系统的基本解矩阵.且满足K(0)=I，其中I是n阶单位矩阵.

定义2若K(t)是系统的基本解矩阵，则称为状态转移矩阵.同时，状态转移矩阵K(t,r)满足Chapman-Kolmogorov等式：

引理1设K(t)是系统的基本解矩阵，则x是系统（1）的解当且仅当

证明设x是系统（1）的一个解，且Φ(t)是系统的基本解矩阵.系统（1）等价于

由式（3）、（4），得

式（5）两边同时对t从t0到t积分，可得

为了得出系统（1）零解稳定的充分条件，假设如下条件成立：

（H1）设t∈R，x,y,z,w∈Rn，Q(t,x)、F(x)是关于x的全局Lipschitz连续函数，G(t,x,y)是关于x、y的全局Lipschitz连续函数，即存在正常数，使得

（H2）存在正常数k5，使得

（H3）t→∞，有Φ(t)→0且

（H4）存在常数 0α＞，使得

定理1假设条件（H1）至（H4）成立，则系统（1）的任意一个解x(t,t0,ψ)是有界的且渐近稳定，其中ψ为足够小的连续函数.此外，零解在0t是稳定的.

证 明令且，则Sψ是一个范数为的完备度量空间.

根据引理1定义映射H：

显然H是连续的.对给定足够小的连续函数ψ，且.由于，则存在正常数L，满足.选择适当的δ，根据条件（H1）、（H2）、（H4），可得

故Hφ有界.

下面证明当t→∞时，(Hφ) (t)→0.由条件(H1）至（H4），易证明当t→∞时，式（7）的前3项均趋于0，即和

对给定的ε＞0，存在t1＞t0，使得当t≥t1时，有由条件（H3）可得：存在t2＞t1，使得当t≥t2时，有.因此，当t≥t2时，式（7）的最后一项

因此，当t→∞时，.设任意，有

因此，H是一个压缩系数为α的压缩映射.由Banach不动点定理得，H在空间Sψ上存在满足系统（1）的唯一不动点，此不动点是有界、渐近稳定的.此外，用ε代替L，即可得出系统（1）的零解是稳定的.

证毕.