一类带时滞生物反应扩散方程的行波解

王宗毅

（惠州学院 数学系，广东 惠州 516007）

1 引言

本文研究如下一类带时滞和全局反应的方程的行波解:

其中，w(t,x)表示生物种群在时刻t和地点x处的密度函数,b(w(t-r,y))代表该生物种群的生长函数,µ∈[0,1],r代表生物的生长周期,函数K(x)为核函数.例如我们可设置核函数方程中常数d＞0代表该种群的迁徙或扩散比率,dm＞0则代表种群死亡率.

方程(1.1)是一个在物理,化学,生物等领域常见的模型.事实上,若假定(1.1)有两个平衡解：w0=0和w+＞0,且生长函数b(·)在区间[w0,w+]上为非单调递减且满足

对上述生长函数为单调情形,Weng,Huang 和Wu]6[等应用单调迭代技术构造了对应的上下解,从而证明了连接两个平衡接w0和w+之间行波解的存在性.但如果生长函数b(·)在区间[w0,w+]上为非单调函数,则通过构造上下解进行迭代的方法就一般不能奏效.

最近,Faria,Huang 和Wu]4[提出了一种针对非单调时滞反映扩散系统行波解存在性的方法,该方法可以揭示出格时滞反应方程行波解的存在性与其对应的常微分系统在R上的异宿轨间之间的内在关联.从文[4]得到启发,我们在本文中将研究反应扩散系统(1.1)的行波解和对应无扩散系统的异宿轨存在性之间的联系.

2 主要定理

考察如下时滞方程：

假定生长函数b(·)满足如下条件:

(h1) b: R+→R+（R+表示区间[0,+∞)）是连续函数,且方程-dmw+µb(w)=0存在唯一正值解w+，dmw＞µb(w),(w＞w+).

(h2) b′(s)在R+上存在；b(0)=0,b′(w+)＜0,dm＜µb′(0).

由以上假设易知,方程 (2.1)存在两个平衡点,分别设为：E1=0和E2=w+.

定义2.1 对任给初值函数:φ(θ)，θ∈[0,1],称函数u(t）,(t∈[-r,β])为方程(2.1)在[-r,β]的一个上(下)解是指:

设Cr=C([-r,0],R)为定义在区间[-r,0]到实数集R上由连续函数生成的Banach空间,Cr+=C([-r,0],R+). 对任意L＞0,我们记

[0,L]Cr={φ∈Cr:0≤φ(θ)≤L,θ∈[-r,0]}.

考察初值问题,

定义：f(φ)=dmφ(0)+µ(φ(-r)),则有

其中,φ1，φ2∈[0,L]Cr和φ1≥φ2.

证明 由f定义,我们有

因此,对0＞h及mhd＞1,有

φ1(0)-φ2(0)+h[f(φ1)-f(φ2)]≥[1-hdm][φ1(0)-φ2(0)]≥0.

从以上知不等式(2.3)成立.

注 注意到L和0分别为方程(2.2)的上解和下解,利用文[8]中推论5,我们可令

S(t,s)=T(t,s)=T(t-s),(t≤s≤0)及v+(t)=L,v-(t)=0,B(t,φ)=F(φ),

从而由解的存在唯一性定理可得方程(2.2)定义在t∈[-r,∞)上的解 v(t,φ)∈[0,L]Cr.

这也意味着对方程(2.2)来说,[0,L]Cr是Cr+的一个不变子集.

根据泛函微分方程的比较原理(见[5,Proposition 3]),我们知方程(2.1)的解w(t,φ)满足初值条件φ且有w(t,φ)≤v(t,φ),t ∈[-r,∞),并且[0,L]Cr也是该方程在Cr+上的不变子集.

下面考察方程(2.1)在E1及E2处的特征方程,分别设为: Λ1(λ)=Λ2(λ)=0.

其中,

Λ1(λ)=λ+dm-µb′(0)e-λr;Λ2(λ)=λ+dm-µb′(w+)e-λr.

我们有如下结论.

引理 2.31E为双曲的.

证 明 我们有,

由于Λ1(λ)是λ的单增函数,可知Λ1(λ)=0具有正实部根λ0＞0. 因此方程的解在E1处对应的不稳定流形至少是一维的. 注意到Λ1(λ)=0 至多有限个根λ具有正实部,不妨设Λ1(λ)=0有 m(≥1)个根具正实部.

由于方程 Λ1(iβ)=0(β＞0)等价于

dm-µb′(0) cosβr=0,dm+µb′(0) sinβr=0.

因而有,

由(2.4)我们可知rβ落在第一象限,且

其中,n∈N0:={0}∪N. 令

若 0＜r＜r′～,则可知E1为双曲的.

引理2.4 Λ2(λ)=0的所有根均为负实部.

证明 由Λ2(λ)=λ+dm-µb′(w+)e-λr=0,λ=α+iβ,我们有

α+dm-µb′(w+)e-αrcosβr=0,β+µb′(w+)e-αrsinβr=0. (2.5)

若|µb ′(w+)|≤dm,则(2.5)的第一个方程不存在非负解α. 我们用反证,若存在有α＞0使(2.5) 成立. 则会有

|α+dm|=|µb′(w+)e-αrcosβr|＜dm，

这是一个矛盾. 若有α=0,则dm=µb′(w+)cosβr,这不管是对β＞0或β=0均不可能.因而Λ2(λ)=0均为负实部.

若 |µb′(w+)|＞dm,对充分小r,我们可知Λ2(λ)=0所有根的实部也有：Reλ＜0. 事实上,若r=0,我们有α+dm=µb′(w+),从而α＜0.设α=0,β＞0,则从(2.5)知,

dm-µb′(w+)cosβr=0,β+µb′(w+)sinβr ＞0. （2.6）

从(2.6)及条件（2h）我们可知rβ位于第二象限,且成立

其中n∈N0.记:

则当0≤r＜r′′,方程Λ2(λ)=0的所有根均具负实部.

对方程(2.1),我们有下面的稳定性定理成立.

引理2.5假定

(i)函数V:Cr=C([-r,0],Rn)→R是连续的,V(0)=0;

(ii)u(s),v(s)为两个非负连续函数,u(s)→∞,(s→∞),v(0)=0;

(iii)u(|φ(0)|)≤V(φ);

其中导数按如下定义,

则方程(2.1)的所有解都有界且零解为李亚普诺夫稳定的.如果)(sv 正定,则(2.1)的所有解当+∞→t 均趋于0.

证 明 由文[4]中定理易知结论成立,证明此处省略.

利用引理2.5,我们得出本文的主要定理.

定理2.6假定（h1）-（h2）成立,且有

(i)存在c0＞0和c1＞0,|b(w)|≤c0,|b′(w)|≤c1,(w∈R+);

则方程(2.1)存在一个异宿轨解w*,且满足边值条件

证 明 考虑初始问题

其中λ0是特征方程Λ1(λ)=0的正实根.

我们用wT(t),t∈R表示系统(2.9)-(2.10)的解.则对T∈(-∞,0],我们得到一个解函数集合：{wT(t)}T∈(-∞,0].定义:

则对w*(t)有以下结论:

(1)w*(t)是方程(2.1)的解;

因而{wT(t)}T∈(-∞,0]在t∈R上是等度连续的.对任意N＞0,存在{wT(t)}T∈(-∞,0]的子列(为不失一般性,我们仍以{wT(t)}T∈(-∞,0]表示)在[-N,N]上是一致收敛的.我们假设其极限函数为w*(t).由N的任意性,并注意到{wT(t)}T∈(-∞,0]的定义,我们可知w*(t)在t∈R上处处有定义,从而为方程(2.1)的一个解.

设0＞ε,选取T＜0,|T|充分大使得,

若t＜T,则我们可得,

令x(t)=w(t)-w+,t∈R 则可得关于x的方程,

定义泛函,

则可知,

对上面等式两边沿着方程(2.13)的解求导得,

其中,ς(t)介于x(t)+w+和w+之间,t∈R. 由假设(i)和(ii)及上述方程的推导可得,

定义：u(s)=s2，v(s)=-[(2k-1)-c12]s2.

则有,

易知)(sv为正定函数. 另一方面,从(2.14)有

因此,由引理2.5我们可知,当t→∞时,方程(2.1)的任何解w(t)=x(t)+w+都会趋于w+. 因而(ii) 成立.

从(i) 和(ii) 可导出w*(t)是方程(2.1)的解并满足边值条件(2.8),从而结论成立.

由引理2.1-引理 2.4,我们可进一步推知,

引理2.7 文[3]中条件 (H1)-(H4)条件均成立.

证明 略.

由引理2.1-引理2.5,及定理2.1,利用文[3]中主要定理,我们即可得到关于反应扩散方程(1.1)的行波解的如下结论:

定理2.8 假设引理2.3中的条件成立.

令

［1］CHOW S N,HALE J K. Methods of Bifurcation Theory,New York:Springer- Verlag,1982.

［2］ CHOW S N,LIN X B,MALLET-PARET J. Transition layers for singularly perturbed delay differential equations with monotone nonlinearities,J. Dynamics and Diff. Equations,1,3-43,1989.

［3］FARIA T,HUANG W Z,WU J H. Traveling waves for delayed reaction-diffusion equations with global response,Proc. Royal. Soc.(A),46,229- 261,2006.

［4］HALE J K. Theory of Functional Difrrential Equations,New York: Springer-Verlag,1977.

［5］ MARTIN R H,SMITH H L. Abstract functional differential equations and reaction-diffusion systems,Trans. Amer. Math. Soc.,321,1- 44,1990.

［6］ WENG P X,HUANG H X,WU J H. Asymptotic speed of propagation of wave fronts in a lattice delay differential equation with global interaction,IMA J. of Applied Math.,68,409- 439,2003.