小学生数感建立的几个着力点

时丽宏

（甘肃省平凉市崆峒区东大街小学，甘肃 平凉）

数感自1954年被提出以来，已成为数学教育的重要主题之一。我国一直到2001年才在《全日制义务教育·数学课程标准（实验稿）》中把数感问题作为数学学习的主要内容之一。在2011年的数学课程标准中把数感作为10个数学核心素养之一，这样描述：“数感主要是指关于数与数量，数量关系，运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。”数学界有学者在利用数感理论与不利用数感理论的对比教学中，发现利用数感理论对小学生数学思维的培养方面效果突出，所以，在小学生数学学习中，建立数感非常重要。小学生数感的建立可以从以下几点着力。

一、数学学习情境化

数学课程标准在整数的学习内容中，这样规定：“在现实情境中理解万以内数的意义，能认、读、写万以内的数”。在小数和分数的学习内容中，这样规定：“能结合具体情境初步认识小数和分数，能读、写小数和分数”“能结合具体情境比较两个一位小数的大小，能比较两个同分母分数的大小”。这里反复出现的一个词是情境。无论是理解整数、小数、分数的意义，还是认、读、写以及比较大小，都是在具体的情境中进行的。小学生的数感主要是对整数、小数、分数的感悟，对整数、小数、分数的相等与不等，大与小的感悟，而这些感悟，首先是在情境中的直觉，离开具体的学习情境的死记硬背违背了小学生的学习规律，也与当今时代不适应。研究表明，科技发达的今天，数学思维比准确的运算更重要。尤其是数感中运算结果的估计更需要在情境中进行，因为估算是数量的估计，与精算中数的计算不同，数量是对具体事物数量特征的描述，是具体的，在一定的情境中进行的。

义务教育阶段小学数学的编写，虽然版本比较多，但是都围绕课程标准，数学学习具有鲜明的情境化特点。在学习过程中，教师需要对数学情境进行准确而生动地描述，让学生切身感受自己是学习的参与者，通过数学的眼光，运用数学思维认识社会现象，理解数学在生活中的重要作用。教师也可以让学生描述教材中用图文展示出来的学习情境，在描述中直观感受数量与数的联系与区别。

对数的认识从对数量的认识开始，数量的认识体现在具体的物上，如3头牛，5只羊，7斤大米，对它们进行描述，有一定的量词，停留在具体的物上。如果没有进一步抽象，那么这种认识仍然不能发展成数学，但是这是数学的萌芽，它是从数量的角度认识牛、羊、大米的。又因为3头牛，5只羊，7斤大米不是同一类，所以数与数之间没有可比性。如果是3头牛，5头牛，7头牛，具有共同点，则有了可比性，更容易从数量抽象到数，可以得出3＜5＜7，由此可以发现，小学生数感建立的情境设计应以有利于数学思维的发展为原则。不是任意情境都有利于小学生数感的建立，如果不从小学生的角度出发，建立的学习情境很可能成为学习的障碍。

在从数量到数的数感建立过程中，作为数的标记的0、1、2、3……这些符号起到了重要的作用。据研究，生活在澳大利亚的原始部落，对数量的认识只有1、2和许多之分。在对乌鸦的数量识辨的研究中，发现乌鸦能确定4以内的数量，大于等于5的数量乌鸦就无法确定。究其原因，是没有数字符号。所以数字符号的出现和数位、进位制等数学原则的确定，是数学的一大进步。我国古代数学研究有许多领先领域，但是受数学符号的限制，影响了数学的发展，都说明数学符号的重要作用。作为计数符号的数字，在数学学习中具有奠基作用。由此可见，从情境中感悟的数量，要上升到数的领域，必须创造数字符号，规定相关原则。要学习数学，必须识记这些数字、数位和十进位制，但是，这些识记的东西又不能让学生死记硬背。对数量与数的感悟中，既有一个从形象到抽象的过程，又有一个从抽象到形象的过程，所以需要识记的数字、数位和十进位又要在具体情境中理解记忆。小学生在这种互为相反的过程中既可以建立数感，同时也深化对数的感悟，进而认识并理解人们如何通过数学思维认识社会现实，而不是只把数学理解成加减乘除。数学学习兴趣的激发与养成，正是在情境化学习中发现它神奇的地方。在小学数学教学中因为急于得出加减乘除的准确结果，提高数学分数，却扼杀了部分学生对数学的好奇心。所以，课程标准反复强调数学学习的情境化，建立数感，有利于学生的长远发展。

二、数感建立方法多样化

数感的建立方法是多样的。对数量的感悟侧重于情境中的形象化，是对事物数量方面的感知与描述，但数量的描述是向抽象思维的转化，而数的感悟是基于对数量的认知。对整数的感悟是基础，尤其是人们在感悟整数的过程中数字符号的创造，数位的规定，十进位原则的建立，这些是认识分数与小数的基础。要建立并发展数感，可以运用多种多样的方法。

（一）在参与社会活动中建立数感

例1:同学们经常随爸爸妈妈到超市购物，请同学们把某一次所购商品的单价做一记录，购物结束后，问问爸爸妈妈总共花了多少钱，你从中发现了什么规律？

通过这次社会实践活动，学生会发现总共花的钱大于商品的单价，如果将所购商品的单价相加，就会得出总价=单价+单价+单价的规律。如果所购商品相同，就会得出总价=单价×数量的规律。正是在这些社会实践活动中，数量与数量之间的关系，数与数的关系，就会在头脑中形成直观的感知，尤其是在这种实践中对数量关系的推测与探究以及规律的发现，能培养学生用数学思维思考并解决生活中的问题的能力，这种能力的培养是受益终生的。在这里，学生在对数量关系的感悟中建立了数学模型。数学课程标准中第二学段有两个重要的数学模型，一是总价=单价×数量，一是距离=速度×时间。感悟数量关系从某种意义上讲也是一种数学建模思想。这种在社会实践中数感的建立方法在数学学习中可以螺旋式上升，随着年龄的增长及社会阅历的丰富，问题的提出也可在难度上逐步提升，甚至不设置问题，让学生自己提问，培养数学创造性思维。

（二）在动手操作中建立数感。

例2：伴随同学们学习的小书桌，是你的不说话的好朋友。请同学们拿出各自准备的测量长度的工具，量一量小书桌的长、宽、高，写一写，读一读。

在这个案例中，测量长度的工具，可能出现卷尺、直尺、三角尺等，而计量单位可能出现米、分数、厘米、毫米，也可能出现尺、寸等，而数量可能出现整数与小数。在测量之前，我们不做规定，测量之后，学生各自写一写，读一读，写完读完再统一计量单位写一写、读一读。在动手完成操作的全过程中感知数量。如测得书桌长度为25厘米、2.5分米、0.25米之间有什么关系。感悟计量单位引起数位的变化，感悟整数到分数的拓展。理解因为单位不同对同样的物体描述会不同，认识单位的重要性，也理解小数点位置的不同，数字意义的不同。这样，对整数与小数以及二者关系的感悟就会通透而深刻。

在测量小书桌中感知小书桌为0.25米，引导学生推测教室有多宽。有学生可能会根据书桌横排有8排估计出教室宽接近3米。再由教室估计校园的长和宽，以此类推，小学生从身边的小数量推测大数量，建立数量关系的数感。

（三）在运算过程中建立数感

数学课程标准对运算能力这样表述：“主要指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。”运算能力作为十大数学核心素养之一，与数感这一数学核心素养看似并列，实际上，运算的过程中对算理的理解也是数感建立的一条途径。运算过程中，既要理解运算法则，如整数、小数、分数加法中的同位相加法则，又要熟悉交换律、结合律、分配律等运算律。要理解这样运算的原因，就要理解算理。在运算的过程中，应当引导学生发现规律并总结规律，发现算理，算理有助于合理简洁地解决问题。

例3:14-8=□

这是20以内退位减法运算。学生在学习了进位加法和不退位减法之后，再学习退位减法，虽然难度有所提高，但在学习这一板块内容时，从算理角度理解，寻找已经学习的知识与需要学习的知识之间的联系。而不是匆匆忙忙讲怎么运算才是正确的。因为后者教给学生的是断裂的知识，而前者教给学生的是数学思维，看似结果一样，但是一个是短期的，一个是长久的，一个是暂时的，一个是终生的，孰优孰劣，一目了然。所以，一个同样的问题，因为解决方法不同，效果就会大不相同。在14-8的运算中，可以引导学生利用已经学过的进位加法和不退位减法来解决，启发学生对14-8这一算式进行变化，使它接近不退位减法和进位加法的形式。然后请学生把变化的算式写一写、读一读，看谁变化的算式更简便。这里可能出现10+4-8，也可能出现14-4-4，还可能出现8+6-8，当然还有其他各种可能。在10+4-8这一变式中可引导学生认识14这个数中1在十位，所以表示为10，4在个位所以表示为4，学生对数位不同数字意义也不相同的数感得到加强。8+6-8这一变式看起来更简便，但实际上，里面变化的思维比10+4-8要复杂一点:也可以从写8+6-8变式中看出学生的思维更灵活。

这个算式是异分母分数的加法，首先要通分，为什么分母相同才可以相加，原因是和分母不同而分数单位不同，是1个是3个，只有通分后变成是6个就转变成即1个

（四）在估算中建立数感

新的数学课程标准对估算这样表述：“选择恰当的单位进行简单估计，体会估算在生活中的作用”，“在解决问题的过程中，能选择合适的方法进行估算”。估算是解决数学问题的一种重要能力，如在进行除法运算中，试商就是一种估算。现实生活中也有许多地方需要估算。估算是数感建立的一条途径。

例5:学校组织春游，成人往返车票每人22元，学生往返车票是成人的半价，我班有2名教师和51名，带500元够吗？

这个案例，既可以通过运算求得车费的准确数，然后和500元比较。但估算不仅快速，也能得出相应的结果。可以把教师和学生都看作学生，计53人，票价10元左右，估算出530元左右，和500元相比，结果很清楚。这个案例中，估算能迅速准确地得出结论，而且得出的过程中反映出学生运用数学思维解决问题的能力。估算表面看起来是对结果的估计，其实质是一种思维过程和思维方法的体现，在这里，计算出准确的结果所反映的只是学生的计算水平，而估算则能反映学生的思维水平。

常用的估算方法有近似估算法，像上面春游的例子。也有数位估算法，如判断，对不对？通过数位估算，240是3的80倍，而801则在百位上，可以判定是错误的。还有对比估算法，比如例2中由测量书桌到估算教室宽，再到估算校园长和宽。通过多种方法的估算，学生的数感得以建立并不断加强。

三、抽象思维形成过程化

数学家希尔伯特认为数学中有两种倾向，一种是直观的倾向，另一种是抽象的倾向。数学表达也在不断向抽象化发展，由数量到数，出现数字，由数字到字母，再出现各种数学符号。这些数字、字母、符号的出现是数学不断抽象化的发展。小学生的思维水平各年级段各有特点，但整体而言，小学阶段仍以具体思维为主，并呈现逐渐向抽象思维发展的特点。所以，小学生抽象思维的发展必然伴随着形象思维。小学生对数这一抽象概念的认识要在学习过程中不断加深。

抽象、推理、模型是最基本的数学思想。在数学教学的全过程，教师应当把这一思想贯穿始终。

上面案例是在数的认识学习中的一个设计，左边3只小老虎，中间3个黑点，右边是数字3。这里不仅呈现出数量和数，而且呈现出从数量到数的转化过程。3只小老虎是用数量对小老虎的表述，属于形象思维，3个黑点，具有概括性，属于半形象半抽象思维，数字3则是抽象思维的。这里关键一步是中间的3个黑点的设计，巧妙地呈现出数量3到数字3的转化过程。这种设计易于学生理解和接受，也有效地实现形象到抽象的提升。正是呈现出抽象思维形成的过程，学生对数量和数的感悟得以建立和加强。

总之，小学生数感的建立要找到着力点，这样，可以有效地完成数学课程标准中相应的教学目标，培养并发展学生的数学思维。