亲历规律探究的过程，提升数学思维的品质

谢小庆

（常州市勤业小学，江苏 常州）

有效探究规律是如今小学课程教学中的重点环节所在，也是提升小学生数学解题意识的重要基础。教师具体开展教学的阶段中，需要全面关注相关教材内容，以实现教学的高品质开展，真正意义上提升小学生的数学解题思维，从而实现课堂教学朝着高效率与高品质的方向发展。

一、尝试猜想，体会猜想的方法

猜想是具有显著革新特征的专项思维运作互动，其不仅是合理化探知的先导，也是改善问题的重要方式。在具体教学阶段中结合猜想式教学，可以让学生依据现已获得的知识内容，同时借助自我的实践来获取全新的想法与认知，同时对猜想的实际内容展开探究。学生借助标准化的学习方式，不仅可以获取较系统化的数学知识，还可以规范应用思想，获取学习体验，让学生充分享受学习所带来的快乐。在教学“多边形的内角和”这节课时，教师先后三次安排了猜想的环节。

片段1：

第一次猜想：在探究四边形内角和的活动之前，让学生猜想四边形的内角和是多少度。

师：同学们，根据你们的经验，你认为四边形的内角和可能是多少度？你又是怎样想的？

生1：我觉得四边形的内角和要大于180°，因为三角形的内角和是180°，它有3个角，而四边形有4个角。

师：这个想法有一定的道理。

生2：因为长方形和正方形的内角和都是360°，而它们都是四边形，所以我觉得四边形的内角和也是360°。

师：从特殊的四边形来猜想一般的四边形，这个联想很有价值。那么这些猜想是否正确，还得去验证。

片段2：

第二次猜想：在探究五边形内角和的活动之前，让学生猜一猜五边形的内角和是多少度。

师：同学们，现在我们已经知道了三角形和四边形的内角和了，那你能猜一猜五边形的内角和是多少度吗？

生1：我认为五边形的内角和会大于360°，因为它有5个角。

师：角越多，和越大，有道理。

生2：因为三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360°，所以我认为五边形的内角和是720°。

师：你是根据数据的特点来猜想的，真会观察。

生3：540°，因为360°比180°大180°，我觉得五边形内角和比360°大180°。

师：你觉得五边形内角和与180°有关，真会思考。

片段3：

第三次猜想：在学生探究完五边形和六边形的内角和之后，让学生猜想七边形、八边形的内角和。

师：同学们，照这样下去，你们觉得七边形的内角和是几个180°，八边形呢？

生：七边形的内角和是5个180°，八边形的内角和是6个180°。因为四边形的内角和是2个180°，五边形的内角和是3个180°，六边形的内角和是4个180°。

《义务教育数学课程标准》指出：在数学的学习过程中，应该给学生创造足够的时间和空间，使其亲历完整的观察、猜想、验证等一系列活动过程。可见，猜想是学习中一个非常关键的环节，也是探究数学知识不可或缺的方法，需要教师以学生现有的认知基础以及新知学习条件为出发点，引导学生大胆地想象，然后对所学知识进行推理和验证，因此，数学猜想是数学发现的起点，更是学生体验知识的过程。那么，在平时教学中，小学生的猜想能力足够吗？怎样开展猜想才是科学且有效的？在具体的课堂教学过程中，诸多学生往往不会结合应用猜想，其简单认为个人的奇思妙想便是猜想。这些猜想本质上无具体的依据作为支持，而实际猜想需要充分的合理性。所以，在开展规律探究的实际教学过程中，教师不仅需要给出学生具体的猜想结构，还需要让学生给予更多的相关依据。在“多边形的内角和”这节课中，教师设计的三次猜想的方法及思维层次是不一样的，第一次猜想不需要数据的依托，根据自己已有的经验，有的学生觉得四边形的角比三角形的多，所以认为四边形的内角和比三角形的内角和要大，也有的学生会根据学过的特殊的四边形（长方形和正方形），它们的内角和是360°，由此联想到其他的、一般的四边形的内角和也可能是360°，这种猜想是从特殊到一般的猜想。第二次猜想是基于两个数据的猜想，学生会根据三角形的内角和以及四边形的内角和两者数据之间的关系来猜想五边形的内角和，它有可能是540°，依据是四边形的内角和比三角形的内角和多了180°，也有学生认为五边形的内角和可能是720°，依据是四边形的内角和是三角形的内角和的两倍。这些都是通过观察、分析数据特点从而进行猜想，这是有理有据的猜想。第三次猜想是通过对一组数据的比较而进行的猜想。在猜想之前，学生已经知道了三角形、四边形、五边形和六边形这些图形的内角和，这时对七边形的内角和和八边形的内角和的猜想就有了一组数据，根据这组数据，学生能很快地找出规律、提出猜想。因此，不同的猜想方法体现了猜想的多样化阶层，可以让小学生在具体学习开展阶段通过体验与验证的方式，来进一步提升其科学解题思维与意识。在探究规律教学的实际阶段中，需要充分注意的是，规律的应用不是核心，核心在于探究的整体过程，开始的时候是怎样猜想的，验证之后结果又是怎样的，与原来的猜想是否一致。

猜想是推动小学生数学解题思维提升的重要方式，教师需要从平时教学的细节之处着手，重视并鼓励学生大胆地猜想，为创新插上猜想的翅膀，提高学生的数学思维能力。

二、多元路径，经历不同的探索

小学生个人数学思维的有效培养与教师的正确引导有着密切的关联性，在具体教学开展中要为学生创造更多思考的时间和空间，让学生在思考的过程中对数学知识形成深刻理解。多角度思考，寻找不同的解决问题的方式，往往能让学生的思考更加深入，这对学生思维能力的发展有着很大的帮助。让学生在多样化解决问题的过程中，不仅要独立思考，还要尝试换位思考，除了从常规的角度进行思考之外，还要另辟新路，突破固化的思维方式，如此才可以更好地培养小学生在解题过程中的创新精神与意识，让学生的思维灵活性获得有效发展。小学阶段的数学学习要为以后的数学学习打下扎实的基础，要使学生对相关的数学知识产生深刻的认识，真正体会知识的本质和内涵，而灵活运用数学知识来解决问题就是学生理解数学知识内涵的重要体现。带领学生从不同的角度来解决问题，实际上就是带领学生从题目中联想数学知识并加以运用的过程，加强解决问题方法多样化的教学能让学生对数学知识把握得更加深刻。

在“多边形的内角和”这节课中，教材的设计意图是将“求多边形内角和”的问题转化成“求若干个三角形内角和”的问题，这是解决多边形内角和问题的一种策略。这样设计其实是把复杂的问题转化成简单的问题，把未知的问题转化为已知的问题。这样安排的原因是把多边形分成最少数量的三角形，学生在之前的教材中曾经接触过，教师只需要引导提出这些经验，那么学生就会自然而然地理解这种方法。但是在实际的教学中，笔者发现，在探究时，有的学生确实是按教材的意思去分的（如图1），但是，也有的学生有着不同的方法（如图2），甚至有的学生想到了第三种方法（如图3）。其中，方法一是根据教材探索规律的路径，将四边形分成两个三角形，五边形分成三个三角形……学生有过这样分的经验，就能较快地理解这种方法，而且利于规律的发现和表达。方法二是基于学生的研究实际，四边形可以分成两个三角形，五边形可以分成一个三角形和一个四边形（四边形刚刚才研究过，知道了它的内角和），六边形可以分成两个四边形（或者一个三角形和一个五边形）……随着多边形边数的增多，都可以在前面研究的多边形基础上来进行研究的。并且学生认为这样分的次数较少，分起来比较简便，计算起来也不麻烦。而方法三是学生在探究四（六）边形的内角和时常常会出现的，一开始，大多学生可能觉得这样分并不能求出四（六）边形的内角和，然而经过后期讨论，学生会欣喜地发现，原来只要拿四（六）个180°减去中间的一个周角（360°）也能求出四（六）边形的内角和。这样学生的思维会进一步地打开，转化的感悟会更多样，这些都是将未知的问题转化成已知的问题，只是路径不同而已。

在经典数学题目“鸡兔同笼”问题的练习中，经常会设置问题如“小鸡与兔子总共数量为8，所有动物的腿数量加一起为26，则其中小鸡和兔子具体有多少？”教材中是引发学生借助画图与演练的举措来解答此问题，不过在具体的教学中，学生往往会结合应用假设的方法来去解答相关问题。所以在具体开展此类问题的解答过程中，任课教师首先需要引导学生结合运用诸如绘图、推演等多样化方式开展问题解析，以实现培养学生解题思维的深度。与此同时，任课教师还需要引导学生对相关方式开展有效对比，从而推动学生在不同探索方式中有效把控其中所对应的规律。这不仅可以提升学生对解题规律的深入认知，还可以起到推动解题效率提升的效果。

《义务教育数学课程标准》较关注问题运作的多元化特性以及答案的不指定性。这便需要所有学生对问题具有自己不同的解析，“探究规律”的教学不仅仅需要关注其规律性，而更多需要关注探究规律的方式，其主要目标是让学生探究阶段中感知改善问题的多样化特性，以更好地培养学生的革新意识。每一个学生都是单独的个体，持续化拓展“探究规律”的方式，有助于推动学生深入思索，更好地提升学生的参与度，让所有学生的个性都可以得到很好的保护与引导。

三、互通勾连，明晰内在的联系

小学阶段的数学知识是学生开展学科学习的重要根基，也是任课教师提高小学生数学学科综合素养的关键基础。在具体的教学开展中，需要教师不局限于专业知识的学习，还要引导学生关注知识中所蕴藏的联系，以实现教学的高品质开展。只有如此，小学生才可以更好地探知学习数学的真正意义，并更全面地掌握解题的思维与技巧。在探究规律的过程中，方法、路径可能不同，但本质往往是相同的。

在“多边形的内角和”这节课中出现的几种探究路径中，无论是方法一还是方法二，其规律都可以用“多边形的内角和=（多边形的边数-2）×180°”来表达，而方法三其实不光四（六）边形可以这样分，其他多边形也可以分，以五边形为例，只需要从五边形内任意找一个点，连接这个点和五边形的5个端点，也可以得到5个三角形（如图4）。那么我们也可以得到它的规律为：多边形的内角和=多边形的边数×180°-360°。到这里看似多边形内角和有了两个不同的表达式，但它们是孤立存在的吗，它们之间就没有内在联系吗？显然不是！通过让学生再仔细观察、比较这两个表达式，让学生说说自己的理解。如果将第二个表达式中的“360°”看成“2×180°”，第二个表达式就可以像下面这样转化：

图4

这其实就是乘法分配律的应用。通过互通勾连，学生就会进一步理解规律。不同方法，异曲同工，学生就应该在这样开放的探究过程中，明晰内在联系。

同样，在“鸡兔同笼”问题中，在学生交流完画图法和假设法后，让学生仔细观察这两种方法，沟通图形和算式之间的联系，发现假设法其实就是将画图法抽象化，画图法就是将假设法形象化，通过数形结合的思想，明确了两种方法之间的关系，促进了学生的进一步思考，从而发展了学生的思维。

数学是系统性很强的一门学科，各种方法之间其实联系非常紧密。在面对有多种策略、方法可以解决问题时，学生对每种方法的理解往往是个体的、分散的，常常是“见木不见林”。而通过对多种方法之间的互通勾连，有助于学生理解多种方法之间的具体关系，明晰所应用方式的具体特点，让方法进行有效的科学结合，形成合理架构，以打造更完善的知识结构，推动小学生数学知识的完善化。

整体而言，探究规律的小学数学教学对提升学生探知与具体解决问题的能力有着极大的推动作用，同时有助于学生有效养成主动探究的思维习惯。它是一个让学生自主发现数学知识的过程，这就要求教师精心设计教学，要让学生学会猜想，敢于经历不同的探究路径，沟通不同路径探究下的规律，实现小学生数学整体解题能力的整体化提升。