例析分层次教学在高中数学课堂中的应用

潘丽钦

（福建省清流县第一中学）

例析分层次教学在高中数学课堂中的应用

潘丽钦

（福建省清流县第一中学）

新课程改革要求在教学中必须确立面向全体的教育思想。面向全体与注重个别差异进行分层教学符合新课程标准理念，通过几个例子分析分层次教学在高中数学课堂中的应用。

分层次教学；正确分层；应用

一、简述分层次教学

分层次教学是根据班级的具体学情，以班级学生能接受的程度为基础，确定一节课知识的教学起点、教学量、教学进度，精心设计教学方案，因人施教。区别对待、分层施教、全员参与、共同进步，这样既能保证每个学生都能达到基本要求，又能因人而异使每个学生的个性得到发展，使不同层次的学生都参与到教学过程中来，实现学生学习的个体化、最优化，使学生真正成为学习的主人。

二、分层次教学的理论依据

人的认识，总是由浅入深，由表及里，由具体到抽象，由简单到复杂的。教学活动是学生在教师的引导下对新知识的认识活动，数学教学中不同学生的认识水平存在着差异，因而必须遵循人的认识规律进行教学设计。分层次教学中的层次设计，就是为了适应学生认识水平的差异，根据人的认识规律，把学生的认识活动划分为不同的阶段，在不同的阶段完成适应认识水平的教学任务，通过逐步递进，使学生在较高的层次上把握所学的知识。

三、例析分层教学在高中数学课堂中的应用

（一）分层教学在集合中的应用

例1.问题1：已知集合A={1，2，3}，B={1，a+2}，若B⊆A，求a的值。

解：∵B⊆A，∴a+2=2或a+2=3，解得a=0或a=1.经检验a=0或a=1均满足题意。

问题2：已知集合A={1，a2，3}，B={1，a+2}，若A∪B=A，求a的值。

解：∵A∪B=A∴B⊆A

若a+2=a2解得a=2或a=-1，经检验a=-1不符合题意，故a=2.

若a+2=3解得a=1，经检验a=1不符合题意。

综上所得a=2。

注：问题1是对集合的简单应用；问题2是问题1的升华，综合性更强。本题涉及分类讨论的思想。从问题1到问题2，分层明显，使每个层次的学生都能获得成功的体验。

（二）分层教学在函数中的应用

（1）若t=1，求（fx）的单调增区间；

（2）若（fx）在区间［-1，1］上是增函数，求t的取值范围.

（2）由题知（fx）=x（21-x）+（x+1）t=-x3+x2+tx+t

∴f′（x）=-3x2+2x+t.若（fx）在区间［-1，1］上是增函数，

则有f′（x）≥0⇔t≥3x2-2x在［-1，1］上恒成立.

在区间［-1，1］上，g（x）max=g（-1）=5，故在区间［-1，1］上使t≥g（x）恒成立，

只需t≥g（-1）即可，即t≥5.故t的取值范围是［5，+∞）.

注：对于（1），已知函数求单调性，大部分学生都会做。而（2）是已知函数的单调性求参数的取值范围，难度有所提高，从（1）到（2）分层明显，使各层次的同学都有所得。

（三）分层教学在不等式中的应用

例3.问题1：解不等式x2-2x-3＜0

解：因为Δ=（-2）2-4×1×（-3）=16＞0，方程x2-2x-3=0的解是x1=3，x2=-1所以不等式x2-2x+3＜0的解集是{x|-1＜x＜3}，

问题2：解不等式x2-5ax+6a2＞0，（a≠0）

解：原不等式可化为：（x-2a）（x-3a）＞0，对应方程（x-2a）（x-3a）=0的两根为x1=2a，x2=3a。

当a＞0时，即2a＜3a，解集为{x|x＞3a或x＜2a}；

当a＜0时，即2a＞3a，解集为{x|x＞2a或x＜3a}。

注：对于问题1，2大部分学生还是会理解，但是问题3中两个大小就不容易比较出来。本例题体现了分类讨论的思想。从问题1 到3层次明显，达到了分层次教学的目的。

（四）分层教学在解析几何中的应用

问题2：已知抛物线y2=2px（p＞0）.过动点M（a，0）且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A，B.若AB ≤2p，求a的取值范围.

解：直线l的方程为y=x-a，将y=x-a代入y2=2px，

得x2-2（a+p）x+a2=0.

设直线l与抛物线的两个不同交点的坐标为A（x1，y1）、B（x2，y2），

注：利用弦长公式问题1就迎刃而解，问题2的直线不仅含参数而且与不等式结合，难度明显提高，从问题1到问题2体现了分层次教学。

（五）分层教学在三角函数中的应用

例5.问题1：在△ABC中，若a2=b2+c2-bc，则A=（）.

解：∵a2=b2+c2-bc

问题2：在△ABC中，若（a+b+c）（c+b-a）=3bc，

（1）求角A.

解：（1）∵（a+b+c）（c+b-a）=3bc，∴a2=b2+c2-bc

注：问题1只要适当引导学生就容易想到应用余弦定理来解决，但是问题2学生看到式子（a+b+c）（c+b-a）=3bc就怕了，不知道怎么化简，更不用讲会利用正余弦定理来解决。从问题1到问题2，层次明显，会使不同层次的学生各有所得。

（六）分层教学在立体几何中的应用

例6.问题1：在长方体ABCD—A1B1C1D1中，若AA1=2，AB= AD=1，则该长方体外接球的表面积为＿＿。答案：6π

问题2：三棱锥P-ABC的四个顶点点在同一球面上，若PA⊥底面ABC，底面ABC是直角三角形，PA=2，AC=BC=1，则此球的表面积为＿＿。答案：6π

注：对于问题（1）大家比较容易求出长方体外接球的半径，对于问题（2）只要把三棱锥P-ABC放进长方体里就跟问题（1）一样了，从而将问题简化.从问题1到2层次明显，达到了分层教学的目的。

四、分层次教学的反思

采用分层教学后，出现了“你追我赶，奋勇向前”的可喜局面。对于层次较低的学生，因为学习目标定得较低，学习过程中又能得到老师更多的帮助，从而增强了学习的信心和战胜困难的勇气。对于层次较高的学生也因难度的加大而有所得。

总之在普通高中数学教学中正确地运用“分层次教学”，可使学生的学习目的性更明确，自觉性更强，学习兴趣更浓厚，达到缩小两极分化，大面积提高数学教学质量的目的。

［1］孙金义.新课标下对分层教学的尝试.科学教育，2009 （15）：13-14.

［2］韩德宗.新课改背景下的“分层递进教学”初探.中国教师, 2012（04）.

·编辑 郑淼