学习《概率论与数理统计》应该注意的若干问题（6）——极限性质及其应用

许道云，秦永彬，刘长云

（ 贵州大学计算机科学与技术学院，贵州 贵阳 550025 ）

学习《概率论与数理统计》应该注意的若干问题（6）
——极限性质及其应用

许道云，秦永彬，刘长云

（ 贵州大学计算机科学与技术学院，贵州 贵阳 550025 ）

阐述《概率论与数理统计》中极限性质及其在近似计算中的应用。马尔科夫不等式是许多概率不等式的基础，从马尔科夫不等式很容易得到切比雪夫不等式，从切比雪夫不等式得到大数定理，大数定理从理论上解释了用频率近似地作为事件发生概率的基本思想。中心极限定理则说明：独立同分布随机序列的前n项和可以用正态分布近似。 这些结果所表现的是一种极限性质，为某些分布下概率的近似计算提供了便捷方法。

概率不等式； 极限性质； 近似计算； 大数定理； 中心极限定理

为帮助工科学生理解《概率论与数理统计》中的一些基本而且重要的问题，并为教授这门课程的教师提供一些有用的参考，我们按照授课的内容和顺序，以系列文章的形式阐明本课程教学大纲要求内容中的若干问题，以及这些问题在支撑整个教学内容中的联系和地位。

我们所选内容限于《概率论与数理统计》（浙江大学盛骤等编，高等教育出版社，第 3版）的第一章至第八章，将以 6篇系列教学研究文章完成我们对《概率论与数理统计》中若干问题和知识点的见解，其中不乏一些在相关参考文献或教科书上没有见到的新见解。教学实践证明：这些见解对教与学是非常有效的。此系列文章的全部内容都融进了我们的教学过程中，整理出来的目的是让后续学生在学习时参考，其主要读者对象是学生。

《概率论与数理论计》作为一门应用数学课程，与其他数学课程一样，有自身的一套“概念建立、性质和定理提炼、计算公式、实际应用”的体系。把握住其中关键概念的内涵以及延伸的逻辑体系和方法，对于本课程的教与学至关重要。

通常，多数学生认为：《概率论与数理统计》由于研究的是随机现象及其统计规律，所以该课程难学。实质上，只要悟透其中每一部分的概念和计算公式的内涵。从计算的角度而言，只需用到中学阶段已经学过的排列组合、以及大学一二年级学过的《高等数学》中的微积分计算，就足够完成大纲要求的学习内容。

我们将以一系列教学研究文章的形式，向学生进一步澄清《概率论与数理统计》中的一些基本概念的内涵，帮助学生进一步悟透这些概念和相关的计算公式以及知识点之间的联系，化难为易，使学生感受到《概率论与数理统计》课程中要求的计算难度不会高于已经学过的《高等数学》，消除学生对这门课程的“畏难”心态，让学生觉得这门课易学，其计算难度没有超过《高等数学》中的计算难度。同时，提高学生对这门课程的学习兴趣，认识到它在以后实际工作中的作用。

该系列文章由如下六个部分构成：

（1）概率概念的内涵与分解计算；

（2）随机变量与概率分布；

（3）随机变量的数字特征和作用；

（4）正态分布在抽样分析中的地位；

（5）三大分布在数理统计中的地位；

（6）极限性质及其应用。

本文为该系列教学研究文章之六，阐述《概率论与数理统计》中极限性质及其在近似计算中的应用。马尔科夫不等式是许多概率不等式的基础，从马尔科夫不等式很容易得到切比雪夫不等式、切尔诺夫不等式等众多重要的概率不等式。

从切比雪夫不等式得到大数定理，大数定理从理论上解释了用频率近似地作为事件发生概率的基本思想。中心极限定理则说明：独立同分布随机序列的前n项和可以用正态分布近似。中心极限定理是数理统计的理论基础，从另一角度解释了为什么在抽样分析中我们只考虑由标准正态分布的组合形成的三大分布（χ2（n）-分布、t-分布、F-分布）。此外，泊松分布是二项分布序列的另一种极限表示。

这些结果所表现的是一种极限性质，为某些分布下概率的近似计算提供了便捷方法。

1.基本不等式（Markov不等式）

马尔科夫（Markov）不等式虽然证明简单，但它是许多概率不等式的“根”，因为许多重要的概率不等式可以由马尔科夫不等式产生（或证明）。

概率不等式中，通常涉及到随机变量的数学期望和方差。为便于阅读，我们在此给出随机变量的数学期望和方差的定义。

数学期望：设X为一个随机变量，其数学期望定义为

度函数。（条件：积分绝对收敛）

两种类型的联系：

定理1.1. （Markov不等式）设X为一个随机变量，且X≥0，则对于任意实数v＞0, 成立：

证明：（以连续型随机变量情形进行证明）

由于X≥0，设X的概率密度为f（x）, 我们有：

由Markov不等式，容易得到Chebyshev不等式。

定理1.2. （切比雪夫Chebyshev不等式）设X为一个随机变量，则对于任意实数δ＞0, 成立：

切比雪夫（Chebyshev）不等式的几何表示见图1。

图1 概率估计

由此， 我们得到：

切比雪夫大数定理从理论上解释了为什么可以用频率近似地作为概率的基本思想。我们借助0-1分布为例解释这一现象。

设事件A发生的概率为,引入一个0-1随机变量X：

2.二项分布的近似计算

如下的中心极限定理提供了二项分布概率的一个近似计算方法。该定理的结果比泊松定理强得多。其原理是：借助极限分布是标准正态分布，用标准正态分布作近似计算。

3.切尔诺夫界

然而，在各种限制下的 0-1随机变量序列X1,X 2,…… ,Xn,……可以用来描述许多随机变化过程。在此，我们考虑一种非常自然、而且常见的限制：独立、同分布。

由马尔科夫不等式，通过构造适当的单调函数，可以证明许多非常有用的不等式。它们在概率估算时是相当有用的。

定理 3.1.（Chernoff不等式）设X1,X2,……,Xm为一组相互独立同分布的 0-1随机变量，其中，Pr[Xi=1]=p。作X=X1+X2+……+Xm，则对任意的0＜δ＜1，成立：

我们知道：0-1分布可以说是最简单的概率分布。

4.结束语

本文是我们有关《概率论与数理统计》教学研究文章的最后一篇，阐述《概率论与数理统计》中极限性质及其在近似计算中的应用。我们再次强调：马尔科夫不等式是许多概率不等式的基础，大数定理从理论上解释了用频率近似地作为事件发生概率的基本思想，中心极限定理是数理统计的理论基础，独立同分布随机序列的部分和的极限分布是正态分布。在抽样分析中，三大分布其源头是标准正态分布。参数估计、假设检验实质上是围绕三大分布展开的。

至此，我们有关《概率论与数理统计》教学研究的 6篇文章已全部完成，其中的一些见解对教与学具有一定的参考价值。当然，有些内容是要靠反复领悟才有效果的，我们也在不断的领悟之中。我们的经验是：讲过一遍后，回过头来看才发现有些内容下次再讲还可以讲得更好、更简单一些。老师的责任便是如此：将难的东西讲简单，讲透彻。

[1] 盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计（第3版）[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2] 盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计——学习辅导与习题选解（第2、3版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

[3] 谢婧，钮键，赵辉.概率论与数理统计——全程导学及习题全解（第3版）[M].北京：高等教育出版社，2006.

[4] M. Mitzenmacher, E. Upfal.概率与计算[M].史道济，译.北京：机械工业出版社，2007.

Several Matters on Learning “Probability Theory and Mathematical Statistics”（6）—— Limit Nature and Its Application

XU Dao-yun, QIN Yong-bin, LIU Chang-yun
（ College of Computer Science and Technology, Guizhou University, Guiyang, Guizhou 550025, China ）

It introduces limit nature and its application in approximate calculation in the course of “Probability Theory and Mathematical Statistics”. Markov Inequality is the root of many probability inequalities. Chebyshev Inequality, easily derivated from Markov Inequality, can infer Rout Theorem, which theoretically gives explanation to the fundamental thought that rate is taken approximately as event happening probability. Central Limit Theorem demonstrates that the firstnitems under independent and identically distribution is approximate with that under normal distribution. Those results show a kind of limit nature, which provides convenient ways for approximate calculation on probability under some distributions.

probability inequality;limit nature;approximate calculation;Rout Theorem;Central Limit Theorem

（责任编辑 毛志）

O211 < class="emphasis_bold">文献标识码：A

A

1673-9639 （2011） 06-0134-07

2010-12-11

许道云（1959-），男，教授、南京大学博士，贵州大学计算机科学与技术学院院长，博士研究生指导教师。主要研究方向为计算复杂性、可计算分析。