力学中加速度及其测量方法的研究

苏赋文

（华中师范大学，湖北武汉 430073）

1 加速度基本概念

1．1 加速度的定义

对于运动的质点，设其在时刻t1和t2的速度分别为v1和v2，则该质点在t1到t2时间内的平均加速度为

当Δt→0时，平均加速度就变成时刻点的瞬时加速度，即

从式（2）中看出，某一时刻的加速度的大小就是速度在该时刻的瞬时变化率，它表征了速度在该时刻变化的快慢程度。

1．2 加速度与运动方向的关系

速度为矢量，其变化包含大小和运动方向的改变。于是，加速度包括平行于速度方向和与垂直于速度方向的两个分量，其中，前者改变速度的大小，后者改变速度的方向。

图1为质点在平面内作曲线运动时的情况，设A点处质点的运动速率为v，曲线曲率（弯曲半径R的倒数）为p，则有

由此可得点处质点的加速度为上述两个分量的矢量合成，合成规则满足平行四边形法则。

图1 质点作曲线运动时加速度的分布

1．3 加速度与力的关系

牛顿第二定律指出，物体所受的力等于其动量的变化率，即

式中，F为物体受到的合力，m为物体的质量，v为物体运动的速度，a为运动的加速度。这表明，物体的加速度大小与其所受外力成正比，比值等于该物体的质量，加速度方向与外力方向一致。

2 加速度的基本测量方法

测量物体运动加速度的仪器称为加速度计。加速度计的核心器件是加速度传感器，传感器将加速度转化为可直接测量的物理信号。

微机械式加速度传感器根据测量原理通常分为三类：应变式［1］、容感式［2］和热感式［3］传感器。无论哪种加速度传感器，均由感受加速产生的惯性力的活动质量块和敏感测量元件两部分组成。

2．1 压电式加速传感器

压电加速度传感器采用具有压电效应的材料作为基本元件，将施于材料上的力转化为可检测的电信号来完成对加速度的测量（见图2）。

图2 压电加速度传感器原理图?

实际测量时，使传感器与待测对象一起运动。此时，质量块就会因惯性作用对压电元件产生压力或拉力，进而使得压电晶体的表面产生分布电荷。当施加的力变化的频率小于压电晶体的固有频率时，其输出电荷量数值与作用力大小成正比。将输出电荷信号放大并测量其数值，可得到物体的加速度值。

如果压电材料选用极化方向与厚度方向（取为z轴方向）一致的压电陶瓷，设该材料产生的电荷量Q满足关系式

式中，d33为材料沿z方向的压电常数，T为作用于材料表面的应力，S为晶片电极面面积。

当传感器随被测物体加速运动时，压电晶体受到两个作用力，质量块对其作用力F1和支座对其作用力F2，这两个力的大小分别为

于是晶体受到的平均作用力为

传感器中压电晶片自身的质量m远远小于质量块的质量M，故而实际测量中受到的平均作用力可以近似为由于采用的压电陶瓷的极化方向、晶体厚度方向和受力方向都沿着z轴方向，从而外加应力只有沿z轴方向的分量，其大小为

利用上式和电荷与应力之间的关系式式（5），得到晶体产生的电荷与加速度之间的关系为

由式（6）可知，晶体表面产生的电荷量Q与加速度a成正比，比值为d33M，于是通过测量电荷量的大小就能够求得加速度值。

2．2 电容式微加速度传感器

微机械电容式加速度传感器（见图3）是以MEMS（微机电系统）技术为基础发展起来的，其关键部分是一个对加速度敏感的差分电容结构［4］。

图3 电容加速度传感器基本结构

图3（a）中，整个传感器处于零加速度的环境中，此时，质量块M处于平衡位置，支撑质量块的悬臂梁没有形变。上下两个电极板与中间的质量块之间形成两个平板电容。由物理学可知，如果不考虑边缘效应，平板电容器的电容为

式中，ε为极板间介质的介电常数，S为极板间电荷作用的有效面积，d为极板间距。假设图3中极板与质量块之间的介电常数为ε0，有效面积均为S0，间距d1＝d2＝d0，得到

加速时，质量块产生的惯性力使悬臂梁发生形变。假设悬臂梁的弹性系数为k，则施加的作用力F与形变位移Δd满足关系式

由图3（b）可知，当传感器的加速度大小为a时，质量块发生位移Δd，使得极板与质量块之间的电容均发生改变，分别变为

该式表明，两个电容差值大小与质量块的位移成线性关系。于是，测量极板与质量块之间电容的差值，就可以得到质量块的位移，然后利用关系式（8）和牛顿第二定律得到

从而，通过测量电容差值就能得到运动对象的加速度。

2．3 微机械热对流加速度传感器

该加速度传感器由单晶硅、腔体加热器和一对对称放置在加热器两边的温度传感器构成，温度传感器和加热器悬放在空腔上面（见图3），具有一维测量的特性，其敏感方向为垂直于温度传感器的水平方向。工作时，加热使周围的空气温度升高，密度减小。若水平方向加速度为零，气体只在重力作用下发生上下方向的对流，而水平方向温度分布关于加热器对称，从而两个温度传感器检测到的温度大小一样。水平加速时，腔体内的气体会因惯性作用发生水平方向的对流，导致温度沿水平方向在加热器中分布不再对称，此时，温度传感器检测到的温度不再相同，而是产生了一个差值，通过测量这个差值的大小，就能计算出运动的加速度值。图4分别给出两种情况下传感器敏感方向上的温度分布示意图5。

图4 微机械热加速度传感器结构图

图5 水平方向温度分布

3 结 语

比较以上三种典型加速度传感器可知，虽然不同类型的加速度传感器直接测量的物理量和具体测量方式有着较大的差异，但都利用了牛顿第二定律给出的力和加速度之间的定量关系。压电式和电容式传感器利用了已知质量的物块加速时产生的惯性力，热对流传感器则利用了气流在惯性力作用下的对流。无论采用何种手段，只要能将惯性力与某个可以具体测量的物理量之间定量对应起来，就能通过测量该物理量得到加速度的具体值。

1 邢丽娟，杨世忠．压电加速度测量系统的设计［J］．压电与声光，2009，31（2）：215－217

2 李艳，王玲，唐豫桂．厚膜混合集成电容式加速度计［J］．传感器与仪器仪表，2010，36（2）：105－106，64．

3 杨拥军，吝海锋，师谦．微机械热对流加速度传感器可靠性研究［J］．微纳电子技术，2003，7（8），317－320．

4 胡雪梅，韩全立．电容式微加速度传感器偏置电压的设计与分析［J］．仪表技术与传感器，2008，（7）：92－94，98．

5 李立杰，梁春广．微机械热对流加速度计［J］．半导体学报，2001，22（4）：465－468．

6 熊俊俏，郝毫毫，刘增华．精密位移测控系统的设计［J］．武汉工程大学学报，2009，31（9）：59－61．