浅谈学生数学思维能力的培养

白洪涛

（宁夏民族职业技术学院，宁夏吴忠 751100）

在数学教学中，思维能力的培养依赖于对数学问题的解决，而中学阶段的数学问题一般表现为习题的形式，解题思路的探索过程，不仅是帮助学生理解、掌握和巩固所学知识的手段，而且是培养学生思维能力的重要途径。心理学家布鲁钠说：“探索是教学的生命线”，作为教师必须引导学生探索解决问题的途径。

1 探索多种解法，发展学生的求异思维，培养发散思维能力

数学老师在教学中应鼓励、引导学生善于从不同的角度、不同的侧面进行探索，把各种知识，各种解法联系起来，形成解决问题的信息网络，从中选择最简单的解决问题的方法。这样，既有利于课堂教学的顺利开展，也有利于学生发散思维能力的培养。

例如：如图1，设AD、BE是由⊙O的直径AB两端所引的切线，DE是过⊙O上任一点F的切线，此切线与AD、BE相交与D、E（AD＞BE）.求证：⊙O的直径是AD和BE的比例中项。［1］

图1

启发学生此题考虑多种证明方法根本思路是观察图形的性质，然后与求证结论相结合，要证明线段的等积式，图形中有切线，则考虑构成直角三角形。由学生完成以下证法：（1）用直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角 形与原来三角形相似性质可以证明，即连结OD、OE、OF，证∠DOE＝90°，可得Rt△DOE，OF是直角三角形斜边上的高，可证得OF2＝DF.DE再由切线长定理即可得证。（2）应用多个三角形相似可证。连OD、OE，证△AOD∽△BOE即可。（3）利用三角函数的定义进行如下证明：连 OD、OE，先证∠DOE＝90°，在Rt△DOA与△BOE中，tanα＝且α＝90°－β，知tanα＝cotβ，可得结果。（4）此题还可拓展图形利用平行线构造相似三角形来做。如图2，连OF，延长DE、AB交于P，证△EBP∽△OFP，△OFP∽△DAP可得比例式，再用切割线定理也可得出结论。

图2

上例的一题多解可以发展学生的求异思维，因此学生在老师的引导下大胆、积极的思考，在寻求多种解法的过程中，必然会考虑问题的方方面面，开阔学生的视野。

2 剖析习题结构，激发学生的探索兴趣，培养深刻性思维能力

无论习题难易，教师要引导学生分析习题结构，探索解题思路，鼓励和激发学生的探索动机。

例如：如图3，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径。过C点作⊙O的切线CF，过A作CF的垂线交CF于F点，交BC的延长线于E点，若∠ABC＋∠DAB＝135°，DC＝cm，求 AE的长。［2］

图3

对于此题应引导学生进行观察、分析。

（1）观察：要求学生观察图形中的条件，找出内在规律，①AB是圆的直径，可得∠BCA＝90°；②CF是切线，知OCCF；③CFAE，OC∥AE，可知OC是△ABE的中位线，可得AE＝AB。

（2）分析：根据题目的特点，寻找解题的捷径，提高解题的速度。由∠ABC＋∠DAB＝135°，则∠CAH＝45°。作辅助线，延长BE和AD，交于点H，找特点，即构成等腰直角三角形ACH后可知。又由四边形ABCD内接于⊙O可得，∠CDH＝∠ABH，即∽，即：＝，即＝。

（3）综合以上观察、分析，可以求出AE的长。

上例通过引导学生观察、联想，层层分析矛盾，把问题逐步引向深入，使学生的点滴思维处于活跃状态、激发了学生的探索兴趣。

3 抓住问题本质，挖掘习题的隐含条件，培养严密性思维性能力

学生在解题时，往往抓不住问题的实质，对问题的某些隐含条件挖掘不出来，思维仅处于较浅层次，从而造成解题错误。为使学生养成良好的学习习惯，教师引导学生揭露问题实质，注意隐含条件。

对此题的探索，应引导学生怎样把含有无理式的代数式转化为有理式。学生马上意识到两边平方，利用条件a＋＝6，然后两边直接开平方得出：－ ＝ ±2，学生的思维到此为止了，没有注意条件0＜a＜1有什么作用，因此就会错误的得出题目有两个答案。

4 克服思维定势，注重学生的逆向探求，培养敏捷性思维能力

在探索习题解法过程中，首先教学生总结题目的常规解法，做到解决问题有“法”可循，“路”可走，但同时还要引导学生灵活应用所学知识，发散思维。

例如：在讲完幂运算性质后，可配如下习题，计算①250×0.552，②（）100×950时按常规解法则计算繁难。但如果老师提示了幂运算的逆向运用，就可起到事半功倍的效果。

逆向思维的训练，使使学生的思维敏捷，方法灵活，简洁，准确。

5 结 语

总之，作为一名数学教师，在数学教学中应站在一定的高度认真研究习题，发现习题功能，充分体现以教师为主导，学生为主体，重视解题思路的探索，变教为诱，变学为思，以诱达思，从而达到提高教学效果的目的。

1 祝朝富.培养学生探索能力的浅见［J］.数学通讯，2003，（3）

2 田亚薇.一题多解的关键——联想能力［J］.中学数学，1995，（4）