疏离现实的教学——我国高校《线性代数》的课程现状

席 敏，肖爱玲

线性代数是代数学的一个重要分支，其萌芽可以追溯到四千多年前，当时古埃及的纸草书和巴比伦的泥板上都记载有方程组的内容。[1]但直到20世纪上叶，此前几世纪的思想和方法被总结成抽象的代数体系时，线性代数才第一次有了它的现代形式。线性代数作为一门独立课程进入大学课堂则是更晚的事情。1936年，当时哈佛大学的讲师、后来著名的数学家伯克霍夫（Garrett Birkhoff），首次在其所教授的代数学课程中加入了向量空间、有限维向量空间上的线性变换等内容。[2]哈尔莫斯（P. Halmos）1942年出版的著作《有限维向量空间》，被认为是第一本为本科生撰写的线性代数教材。[3]直到50年代末，线性代数才作为数学系研究生的课程，被写入了美国大学数学教学计划。[4]随后1965年又被美国数学计划委员会（CUPM）列为本科课程。然而直到80年代，我国才将线性代数列入教学计划。1995年，教育部基础数学教学指导委员会参照美国（CUPM）的课程规定，才制定了相应的大纲，正式将其列为本科必修的三门基础数学课程之一。与微积分等基础数学课程相比，线性代数课程在我国的开设和教授显然十分年轻。

第二次世界大战后，计算机的飞速发展极大地推动了线性代数的应用和普及。1949年，哈佛大学教授里昂惕夫（Wassily Leontief）用当时最大的继电器式计算机（Mark II），成功地处理了经济问题中的一个42维线性方程组，并因此获得1973年的诺贝尔奖。他的成功不仅开创了计算机处理大规模数学模型的先河，而且让人们看到了线性代数广阔的应用前景。尔后随着计算机技术的发展和普及，线性代数在自然科学、社会科学等各方面的应用日渐普遍和高效。线性代数的教授也从原来局限于理工科学生的狭窄范围，推广到了经济、管理、社会、人文等几乎所有专业的学生。

然而让人遗憾的是，线性代数的教与学却是数学教育里举世公认的难题。有调查显示，在线性代数这门课里，学生往往被铺天盖地的抽象概念所淹没，并且难以将其与已有的知识基础建立联系，而与此同时，老师对于学生无法理解和掌握这些“简单”的知识又感到无计可施。[5]在我国高校线性代数的教学中，这些问题更加突出，令人担忧。

1 三种描述方式的互译与转化

20世纪 30年代，线性代数知识被统一在向量空间的框架下，最终完成了它的公理化历程，形成了一个完整的理论体系。在这个理论体系中，并存着三种不同的描述方式：一种是抽象方式，使用向量空间、子空间等概念和思想来描述线性代数；一种是代数的方式，主要使用矩阵来描述；还有一种是几何方式，使用二维和三维中的几何对象来描述相关知识。[6]这三种方式就像三种语言，各有各的逻辑体系和使用方法、技巧，相互印证，相互交融，取长补短，从而使得线性代数在解决实际问题中，方法灵活多样，应用游刃有余。比如判别方阵A是否可逆，就有至少十多种的方法：既可以用A的行列式是否等于零来界定，也可以通过A的列向量线性相关与否来判别，还可以通过线性变换x→Ax是否为一对一来判定等等。

然而另一方面，学生在学习线性代数的过程中，首先需要理解和掌握这些抽象、复杂的概念，以及这三种不同的描述方式及其相互之间的转换、互译；其次，学生在面对实际问题时，需要以线性代数三种不同的描述方式来归纳问题，并且灵活地选用适当的方法解决问题。这不仅让人感到繁琐，而且更是对知识掌握熟练和灵活程度的巨大挑战。在实际教学中，学生往往以不变应万变，只掌握与其知识基础最贴近、最容易理解的一种描述方式，对于其他方式不闻不问，更别说相互之间的灵活转换和互译了。面对问题时，自然只能以这种熟悉的方式来解决；一旦问题不适用这种方式解决时，自然就束手无策了。上文关于方阵A可逆与否的例子里，一次考试给出的条件是“Ax=0只有零解”。很多学生试图以其熟悉的方式来解决问题，即从矩阵的角度去检查A的行列式是否为零，但很难直接获得结论。结果很多学生给出了错误的答案和解释。其实这个问题应该可以从向量的角度，将“Ax=0只有零解”理解为“A的列向量线性无关”，继而得出A可逆的结论。

2 繁杂的运算

线性代数教学中的另一个突出难题就是，解题和计算十分繁杂。像其他的数学类课程一样，实践性的运算和解题是线性代数教学中不可或缺且非常重要的一环。掌握的概念和理论可以指引学生进行相应的运算、解决具体的问题；而在运算中遇到的具体疑难问题又会反过来促进学生更深入地理解和思考相应的概念和理论。二者相互作用、相互促进。

但是另一方面，线性代数的解题和计算又有其特别之处：第一，线性代数的解题过程中往往有一些固定的程式需要熟记，且比较复杂。学生只有通过反复练习来强化记忆、探索技巧，才能熟能生巧。例如，用初等变换的方法把方阵变成上三角形来计算行列式的问题。首先需要把第一行第一列的元素换为非零元，然后再利用这个元素把第一列的其他元素消为零；接着再用类似方法处理第二行第二列元素下方的元素，以此类推，直到矩阵成为上三角形。这个过程虽然看似简单，但若不加练习，往往无法了解和掌握其中一些关键性的技巧，解答起来手忙脚乱。曾今在课堂上给学生布置过一个四阶行列式计算，行列式中元素为随机的整数。虽然数字不大，阶数不高，但是半小时后能得到正确结果的学生依然凤毛麟角。类似的情况，在教学中不是个例。其他诸如求矩阵的乘积、矩阵的逆、求解线性方程组、将一组基正交标准化等等，都同样需要学生反复练习，掌握其中的方法和技巧。然而在实际教学中，很多学生自认为学懂概念和理论就足够了，不屑于重复这样机械性的计算过程，更谈不上由此来加深对概念性知识的理解和掌握，结果循环返复，往往形成一种恶性循环。

第二，线性代数中的计算量相当大，常常因为一着不慎，而满盘皆输。表面看来，线性代数只是数字的加减乘除，不需要使用极限、导数或积分等运算；但是其运算的对象是矩阵，另有一套运算规则，而且运算规模往往较大。学生常常因为没有足够的细心和耐心，而无法得到正确的计算结果。如以上文所说的方法来计算n阶行列式，就需要大约 2 n3/3次的算术运算；而求解一个n阶可逆矩阵的逆矩阵，则需要大约 2 n3次算术运算。这也就是说，即使是求一个5阶可逆矩阵的行列式，也需要大约80多次算术运算；而求它的逆矩阵需要进行的算术运算则有 250次之多。

繁杂的运算这个问题，在我国高校的线性代数教学中表现得更加突出，因为我国当前的线性代数课程里并没有真正将计算机运算整合进来。离开计算机、单纯靠笔头来完成少则几十次、多则上百次以上的计算，对于任何一学生而言几乎都是难以企及、望而生畏的事情。

3 缺少生动实例的教材

线性代数知识在飞机制造、石油勘探、交通规划、卫星定位、密码学、经济管理等等许多实际生活的领域都有极其广泛的应用，正如美国数学及其应用联会(COMAP)所深刻指出的那样：“在现代社会，除了算术以外，线性代数是应用最广泛的数学学科”。从20世纪70年代开始，美国编写的线性代数教材中就包含有应用的实例和具体的算法。[7]1993年，美国线性代数课程研究组（LACSG）也曾给出课程教授建议：“线性代数课程应以矩阵为基础，应该从具体的、实际中的例子出发来引入基本的概念和法则。”[8]美国现行的线性代数教材里有许多生动丰富的应用实例。例如在雷（D. C. Lay）编著《线性代数及其应用》[9]中，每章开头都会介绍本章内容在实际生活中一些有趣的应用问题，等学习了相关内容之后，又会回过头来用所学的知识，具体地解决本章开头所提出的实际问题。例如在该书的第一章，雷首先介绍了里昂惕夫建立投入产出模型、以及利用大型计算机求解关于美国经济的 42个线性方程组的概况，激起学生学习的兴趣，随后在第六节列出了一个简化版的投入产出模型，并以线性方程组的知识完整地解析了这个模型。此外，他还列举了化学方程式的平衡、电路设计等其它实际应用问题。

为了不让繁杂的计算摧毁学生的兴趣，国外线性代数教材通常都穿插地介绍如何利用计算机解决计算问题。在《线性代数及其应用》中，雷就提示说计算机程序几乎都是使用消元法来求解方的系数矩阵，经济和工程中的问题往往使用浮点数来处理，如此等等；每节练习里都列有以Matlab来处理的题目。

与国外教材相比，我国现有各版本的线性代数教材虽然在知识体系上与国外教材并无太大差异，但是几乎都只有抽象枯燥的概念和理论，根本没有生动的应用和真实的计算。比如同济大学数学教研室编的《线性代数》，[10]通篇都是概念和理论的证明，鲜有提及知识在实际中使用，也没有介绍如何利用计算机解决大规模的计算问题。这些类似的线性代数教材多来源于20世纪70年代我国高校数学专业的专业教材，注重的是概念的掌握和理论的推导。而今线性代数课程的教授早已超出了数学专业，成为了有着日益广泛应用的众多领域和专业里学生的公共课程。现行我国高校线性代数教材应该进行比较彻底的改变了，否则，没有丰富生动应用实例的线性代数教材，不仅难以引起学生的兴趣，而且也无法将所学的知识运用实际问题的解决之中。

4 解决之道

面对上述的问题和困境，我国高校线性代数课程的教学自然需要改革：其一，将计算机运算融入到线性代数的教学中，这是我国当下线性代数课程最迫切需要的改革措施。从国外线性代数教材中可以看到，计算机的使用已经完全融入到了他们的教学中，成为教学中天然的一部分。笔者在英国访学时也注意到，他们的线性代数、数学建模等课程的作业基本都是用Matlab完成；图书馆的计算机里都安装了多种需要使用的数学软件；老师在课堂上也基本是借助计算机展示计算的过程和结果。一个在英国留学的研究生曾告诉笔者说，我们中国学生在这里往往不怕单纯的数学考试，但却不擅长Matlab、Mathematica、Maple和Spss等数学软件的使用，不擅长将实际问题转换成数学问题。显然，我们国内高校的数学教育确实该广泛地引入和利用计算机了。

就线性代数而言，利用这些数学软件，几行命令就能轻松地解决那些复杂的数学计算。这不仅能激发学生的兴趣、增强他们的信心，而且也有助于学生把用于繁难计算的时间花在那些更重要问题的思考和解决上。当然，有些老师担心利用计算机来运算，学生从此可能就不理解实际解题的原理和过程，变成只会敲键盘的人。这种担忧确实是有其合理性，但是我们却不能就此而因噎废食。我们在线性代数课程的教学中，应当首先教会学生笔算那些小规模的计算问题，然后再用计算机演示那些无法笔算的大规模问题，给学生布置的课后作业最好是必须利用计算机解决的大规模计算问题。

其二，适当地引入几何模型。线性代数的高度抽象性，使得它能够站在更高的高度上处理更广泛的问题，然而这种高度抽象性却给学生的学习造成了巨大的障碍。因此在线性代数的教学过程中，需要在高度抽象的理论知识与学生较低的知识层次之间垫上一块蹋脚石，让学生可以通过这块蹋脚石轻松地理解抽象的理论知识。几何模型就是这块合适的蹋脚石。几何模型的最大特点是直观，可以直接将一些数学概念用图画出来。比如向量的概念，就可以直接描述为二维或三维的射线段。

但是，直观的几何模型在线性代数的教学中也有其局限，其往往使得学生的思维仅仅停留在几何想象的层面，难以接受更一般的定义和理论。[11]比如在讲向量正交的问题时，三维里向量的正交可以理解为相互垂直，更高维的时应该用两个向量的内积是否为零来判定它们是否正交，此时学生就无法依赖几何想象来理解。因此，我们在线性代数教学中，使用几何模型特别需要理好顺序。从低维的几何开始而推出线性代数一般的概念，这往往会使学生的思维陷在二、三维中而难以向一般化发展。相反，从一般的概念和理论开始，而后以几何模型的演示来印证这一般的概念和理论，往往有助于学生摆脱几何模式的直观局限，从而使得几何模型可以成为连接抽象概念和理论的阶梯。

其三，广泛结合丰富生动的应用实例。线性代数是一门既高度抽象又应用广泛的课程，因而丰富生动的应用实例在教学中就显得尤为重要：应用实例的引入和求解既能激发和提升学生的兴趣和动力，更能促进学生对于高度抽象的理论和知识的理解和掌握；而这又有助于提高学生实践性的运算与解题的能力和技巧；从而更进一步地促进学生将线性代数的理论知识运用于具体生动的生活实际之中（如图）。

面对我国高校现行线性代数课程，过分注重概念、定理等抽象理论体系而疏离于生活实际的现状，在教材的编写和课堂教学中，恰当地引入和联系一些丰富、生动的应用实例，恐怕也是当下需要采取的重要举措。

[1] 梁宗世.世界数学通史（上）[M].沈阳：辽宁教育出版社，2001.

[2] G. Moore, The Axiomatization of Linear Algebra:1875-1940[J].Historia Mathematica, 1995(22): 262-303.

[3] P. Halmos, Finite Dimensional Vector Spaces[M].Princeton: Princeton University Press, 1942; J.-L.Dorier, A General Outline of the Genesis of Vector Space Theory[J].Historia Mathematica, 1995(22):227-261.

[4] A. Tucker, The History of the Undergraduate Program in Mathematics in the United States[J]. The American Mathematical Monthly, 2013, Vol. 120(8): 689-705.

[5] J.-L. Dorier, Teaching Linear Algebra at University[J].International Congress of Mathematics 2002, Vol. III:1-3.

[6] J. Hillel, Modes of Description and Problem of Representation in Linear Algebra[C].On the Teaching of Linear Algebra J.-L. Dorier ed., Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2000: 191-207.

[7] F. Uhlig, A New Unifed, Balanced, and Conceptual Approach to Teaching Linear Algebra[J].Linear Algebra and its Applications, 2003(361): 147-159.

[8] D. Carlson, Johnson C.R., D. C. Lay, A. D. Porter, The Linear Algebra Curriculum Study Recommendations for the First Course in Linear Algebra[J].The College Mathematics Journal, 1993, Vol. 24(1): 41-46.

[9] D. C. Lay, Linear algebra and its Applications (4th edition)[M].Boston: Addison-Wesley, 2010.

[10] 同济大学数学教研室.线性代数 [M].北京：高等教育出版社，2000.

[11] G. Gueudet-Chartier, Should We Teach Linear Algebra Through Geometry[J].Linear Algebra and its Applications,2004(379): 491-501.