简洁而不简单——数学符号发展综述

（桂林师范高等专科学校数学与计算机技术系，广西 桂林 541199）

符号是用来指称和代表其他事物的一种象征物，是承载交流信息的载体。数学符号就是用以表示数学概念、数学运算和数学关系等的符号，是传递、启示数学意义、数学信息的基本载体。

数学符号可以按照不同的标准分类，如将数学符号分为元素符号、关系符号、运算符号及辅助符号等。

数学是高度抽象的学科，其抽象性体现在数学独特的符号、语言和方法。数学符号作为数学语言的基本单位，不仅形式优美，书写、运算和推理方便，而且体现了数学发展的脉络，对数学的传播、推广、普及和发展起着重要的作用。

本文将从数学史的发展过程中提炼数学符号发展、进化的轨迹。

数学符号的发展可分为四个时期：15世纪之前，数字符号形成为主阶段；15—17世纪，符号代数发展阶段；17—19世纪，近代数学符号形成、发展阶段；19世纪至今，由数理逻辑发展带来的数学符号形式化及现代数学发展阶段。

一、数字符号形成为主阶段（15世纪之前）[1-3]

人类对数的认识是一个缓慢的、渐进的过程，其中记数符号的出现、发展及完善是这一过程的必然产物。古埃及、古巴比伦（美索不达米亚）、古中国和古印度被历史学家称为四大文明古国，它们是人类文明的发源地，早期数字符号，就是在这些地域首先发展起来的。

（一）古埃及数字符号

早在公元前3000年古埃及人就创造了象形文字，他们使用特殊记号来表示数字，如一条竖线表示1，表示 10，用或者表示100等。这一记数系统表示数的方法是数字中某位上是几，就在该位上把这个符号重复写几次，并且数字顺序是从右到左，如表示12345。这种以10为基底，没有位值制的记数方法由于符号多，用做运算会相当复杂。在莱茵德纸草书和莫斯科纸草书中，僧侣文数字代替了一些冗长重复的记号，引进了10的乘幂的倍数和一些表示数字的记号，如4用“”替代了，1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、20 分别记为：。

使用单位分数是古埃及数学的一个重要特色。古埃及人将所有除外的真分数都分解为单位分数的和，如：。显然，对于分数本身，这种单位分数是极为繁琐的，但是他们将分数分解为几个单位分数之和后，分数的四则运算就可以进行了，尽管做起来比较麻烦。为了简化计算，纸草书上还有相关数表。

公元前4世纪古埃及被希腊人征服，以论证几何为主的希腊数学也随之替代了这一古老的数学文化。

（二）美索不达米亚数字符号

约公元前2800年，在古巴比伦，美索不达米亚人创造了楔形文字，其中由两个基本的楔形文字构成了美索不达米亚人的数字符号体系。该数字系统的特点就是有进位记号并以60为基底，而且用位值制表示数值，即按其位置用相同的符号表示数值。比如59记为，对于大于59的数，他们则采用六十进制的位值记法。同一个记号，根据它在数字表示中的相对位置而赋予不同的值，因为它是用较少的符号来表示数的，没有位值制表示数便会极其复杂。位值制的发明，是古巴比伦数学的一项突出贡献。例如，右边的表示2个单位，中间的表示2个60，左边的表示2个602，所以表示 2×602+2×60+2＝7322。当然因为没有零号，这种位值制是不完全的。比如美索不达米亚人表示722和7202的形式是一样的，人们只能通过上下文来猜测它们的意思。不过在公元前3世纪的泥版文书中出现了一个表示空位的专门记号，凭借这个空位记号，人们就很容易将数（2×602+0×60+2）与（2×60+2）区分。但是现存的泥版没有发现零号置于尾端的情况，所以还可以表示形如2×602+2×60k-1（k≥1）的整数。另外，美索不达米亚人还将位值原理推广应用到整数以外的分数，这就是说不仅表示2×60+2，同时表示类似2×60k+2×60k-1（k≤-1）的分数。这本质上是进制小数的表示方法，还蕴涵了位值制的思想。因此，美索不达米亚人对分数的运算跟整数的运算一样能够进行。美索不达米亚人有时混用多种进位制，这使得他们的记数系统在极不规范的情况下更显繁杂了。但是这种混乱没有影响他们取得较高的数学成就。

大约在公元前6世纪，古巴比伦数学文明也被论证几何为主的希腊数学取代。

（三）古代中国数字符号

中国早在商朝时期（约公元前1600年—约公元前1046年）的甲骨文中已经使用完整的十进制计数。用甲骨文书写的数字有12个独立的符号，并以空位表示零。1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、100、1000 分别记为：。至迟到春秋战国时期（公元前770年—公元前476年）又开始出现严格的十进制筹算计数，筹算计数又有纵横两种形式。纵式用来表示个位、百位、万位……数字；横式用来表示十位、千位、十万位……数字。纵横相间，零则以空位表示。如76031记为，6724则记为。

春秋战国时期，完善的算筹记数法已得到普遍使用，这种依靠筹的摆放来计数的算筹记数系统在中国使用了两千多年，直到元朝。在此基础之上的古代中国数学，一直居于世界前列。另一方面，在如此漫长的时间里，算筹计数的弊端也日益突出。由于计算是通过筹的摆放来进行的，这样就难以保留其演算过程，并且步骤会相当繁琐，难以简化、压缩。同时，根深蒂固的算筹计数也成了其他先进算法和数学符号引进的一大阻碍。在《九章算术》中求解线性方程组的演算过程相当于对矩阵施行初等变换，当时应该是非常先进。然而它是对筹的摆放，即是对数的运算来进行。元代朱世杰的“四元术”采用分离系数的方法，其本质也是对数（筹）的操作，所有这些都使得算筹难以产生用符号代替未知量的思想。最终的结果是中国筹算完全被欧洲先进的符号化数学取代。

（四）古印度数字符号

关于公元前2世纪至公元3世纪的印度数学，可参考的资料不多，但发现的书写在桦树皮上的“巴克利手稿”已出现完整的十进制数码，其中零用点表示。点后来逐步演变为圆圈，即现在的“0”号。这一过程最晚于公元9世纪完成，有一块叫作Gwalior的石碑上面有着完整的数系：，它们分别表示 1、2、3、4、5、6、7、8、9、0。印度人不只把“0”看作记数法中的空位，也视其为可施行运算的一个独立的数。

现在通用的记数方法最初是在印度首先制定。在这个记数符号基础上印度人形成一套完整的运算方法。印度数字的写法不断有所变化和演变，并在公元8世纪传入阿拉伯国家。其中零号的传播则要晚一些，后经阿拉伯人改进最终成为现今的数字“1，2，3，4，5，6，7，8，9，0”。12世纪后，这套数字系统通过意大利数学家Leonardo Fibonacci的《算盘书》，传入欧洲大陆，成为引发欧洲文艺复兴的重要原因之一，对近代欧洲数学发展起了重要作用。

此外，印度人使用一些缩写文字和记号来替代运算、运算过程、代数式和未知量。在“悉檀多”（约公元5世纪—12世纪）初期，得益于他们对零和负数运算法则的理解，印度人对一元二次方程的一般式甚至丢番图方程进行了研究，尽管印度人使用的记号不多，但他们的代数可以看成是具有符号化的代数。

另外古希腊对最初的几何符号影响深远。古希腊文明（公元前800—公元前146）对现代西方社会的发展影响极大，它是人类历史上最宏伟的文明之一。古典时期的希腊（公元前510—公元前323）几何是数学发展史上的光辉一幕，其中Euclid of Alexandria的《原本》更是几何学的里程碑。书中Euclid首先给出了几个不严格的定义，然后通过几何图形的直观性演绎展开。《原本》的原稿已丢失，不清楚Euclid表示图形的记号，由于当时数和线段的长度是用希腊字母来表示的，古希腊人也很可能是利用字母来表示点、直线。而对于三角形、四边形等多边形则可能用多字母表示。公元1世纪的Heron of Alexandria和3世纪的Pappus开始用一些如△、∠、⊙等符号表示几何图形了，这些符号形象、简洁，可极大地简化推理过程。

二、符号代数发展阶段（15—17世纪）[4，5]

15世纪始，人们开始频繁地使用符号来表示运算。最早使用P和M，分别表示加和减，而德国人J.Widman于1489年用“+”和“-”来表示箱子重量的超亏，后来数学家用来表示加减。“×”是英国人W.Oughtred于1631年第一次用来表示乘法。法国数学家F.Vieta先用aequalis，后改用“～”表示相等，法国数学家 R.Descartes则用“∝”表示相等。1557年英国人R.Recorde认为表示相等最合适用平行相等的线段“＝”。到17世纪末，“＝”逐步流行。小于和大于号“＜”和“＞”是英国人T.Harriot首次引入的。至于根号“”的使用却源远流长，几经变化。在数学发展史上，远至古埃及的纸草书上都曾有方根的身影。瑞士数学家Leonard Eular曾认为，根号“√”应该来源于“radix”的首字母小写形式“r”。但在德国的代数手稿中人们发现“√”是由点“·”演变而来的。在一部 1480年的拉丁文手稿中，“·”表示开平方；“··”表示开四次方；“···”表示开立方；“····”则是开九次方。当时数学家们也曾采用符号“”来作为方根符号。1525年，波兰—奥地利数学家Christon Rudolff在《未知数》中创作符号“√”表示平方根。同时Rudolff还引入了立方根符号“”，四次方根符号“”。Rudolff的符号相比之下有着很大的优势，因此它在16世纪和17世纪在欧洲迅速传播开来。但是，这一符号也有明显的缺陷，如符号的含义难以区分被开方的是多重根式或一个多项式的情况。直到17世纪，R.Descartes第一个使用了现今用的根号“”。16世纪，荷兰数学家A.Girard开始引入an表示乘幂。

整个16世纪，相当多的数学家对符号表示做了非常多的工作，当时的数学家应该都已经意识到未知数必须用符号来表示。然而符号标准不明，甚至杂乱不堪，其中有用文字叙述形式或者文字缩写来表示未知数的。至于乘幂的写法更是各有千秋，比如有用正方形和正方体分别表示平方和立方的。第一个在数学中系统地用字母表示代数式的数学家是F.Vieta，他分别用元音字母和辅音字母表示未知量和已知量，一般的系数则用字母表示。他还将代数称为“类算术”，即对“类和形式”的运算，称算术为“数算术”。这样处理使代数形式更抽象，运用也更广泛，代数学也就更具普遍性了。可以说F.Vieta建立了一个表示未知量的标准。后来R.Descartes又对F.Vieta的字母符号作了改善，一直沿用至今。

16世纪之前，数学家因为没有合适的代数表达方式，从古希腊的Diophantus到F.Vieta的12个多世纪，数学发展非常缓慢，这与缺乏符号体系不无相关。而从F.Vieta开始，代数学终于步入快车道。科学的符号体系逐步形成，大大推动了整个数学的发展。

随着解析几何的诞生，加之代数符号化的推动，几何图形符号也得到了快速发展，到19世纪初，法国数学家Carnot的几何图形符号已与现代几何图形符号相差不大了。

另外，在15世纪时，随着几何学的发展，三角学脱离天文学成为一门独立数学分支。其中三角函数符号sine（正弦）一词首先出现在德国数学家Johannes Regiomo的著作《论各种三角形》中，这也是欧洲第一部独立于天文学的三角学著作。英国人Gheshir首先使用cosine及cotangent来分别表示余弦及余切。secant（正割）和tangent（正切）则是丹麦数学家Thomas Fink首创的。后来数学家们又进一步推出更简洁的三角符号“sin”“tan”“sec”“cos”“cot”“csc”等，并逐渐通用起来。

16—17世纪，为简化天文、航海方面所遇到的繁杂数值计算，另一项重要的数学创造就是对数。对数是由苏格兰数学家Napie创立的，对数一词也是他所创造的。1632年，意大利数学家Cavalieri是首个采用符号log的人。1902 年，奥地利人 Stolz，O.以“alog.b”表示以 a为底的b的对数，此后经过逐渐演变成为logab。

另外，在17世纪末，行列式的概念和符号伴随着方程组的求解也发展起来。最初的雏形由日本数学家关孝和与德国数学家Gottfried Wilhelm Leibniz各自独立提出。

初等数学的主要符号在17世纪初大体完成，这为近代数学的到来铺平了道路，也为后续惊人的发展打下了基础。

三、近代数学符号形成、发展阶段（17—19世纪）[6，7]

符号代数直接推动了近代数学时期的到来。解析几何和微积分的创立标志着近代数学的来临，由此带来分析学的蓬勃发展，这是数学发展史上的里程碑之一。

（一）解析几何的发明及概念、符号引入

资本主义生产力在文艺复兴以后快速发展，到了16世纪，物理学的中心问题是研究运动与变化，但是传统的方法难以解决问题，必须创造一种新的数学方法处理这类问题，新的数学方法导致了变量数学即近代数学的诞生。解析几何的发明是近代数学的第一个里程碑。解析几何的创立要归功于法国的两位数学家R.Descartes与P.de Fermat。他们工作的出发点不同，但却殊途同归。Descartes在《几何学》中建立了历史上第一个斜坐标系，给出了坐标的概念与符号，并且把两个未知数的任意代数方程看成平面的一条曲线。Fermat则在他的著作《论平面轨迹》中指出：只要在最后的方程中出现两个未知量，对应就有一条曲线。书中，Fermat定义了以下曲线：直线 d（a-x）＝by；圆 b2-x2＝y2；椭圆 b2-x2＝ky2；抛物线 x2＝dy，y2＝dx；双曲线 xy＝k2，x2-b2＝ky2。此后，1655年，英国数学家John Wallis在《圆锥曲线》中引入负坐标概念；1691年瑞士数学家Jakob Bernoulli引入极坐标；Johann Bernoulli1715年引入空间坐标系；1736年Leonhard Euler引入平面曲线的内在坐标。这些工作使解析几何得到了进一步完善。解析几何的发明沟通了几何和代数，从而使几何符号与代数符号对应起来，也为微积分的创立搭建了舞台。

（二）微积分符号的创立及发展

微积分的思想萌芽，特别是积分学可以追溯到古代。在古希腊、古中国和古印度的数学著作中，不乏用无限小过程计算特殊形状的面积、体积和曲线长的例子。与积分学相比，微分学的起步要晚得多。导致微分学发展的主要问题是求曲线在一点的切线、求函数的极值以及求瞬时变化率等问题。

英国数学家Isaac Newton在1666年撰写了第一部系统的微积分文献《流数简论》。他在文中将自古以来计算无限小问题的各种处理技术归并为两类，称为正流数术（微分）和反流数术（积分）的一般算法，并证明了两者互为逆运算，从而将正、反流数术统一成整体。Newton还首创了小○符号表示无限小且最终趋于零的增量。Newton在他的《曲线求积术》中引入符号表示变量x，y，z的一次流数（导数），二次流数、三次流数则用和，表示，等等。

Gottfried Wilhelm Leibniz在1675年引入dx和dy表示x和y的微分，导数记为dx：dy，用ddv表示二阶微分。Leibniz还用omn.l表示l的总和，之后他将omn改写成。1684年Leibniz在《教师学报》上公开发表了数学史上第一篇微分学论文《一种求切线和极值的新方法》，总结了自己1673年以来的研究成果。他定义微分的概念，并创造了微分dx，dy符号。Leibniz给出了函数的和、差、积、商、乘幂与方根等的微分公式，还得出了复合函数的链式微分法则，后来又将乘积微分法则推广到高阶情形。Leibniz引进的d和充分体现了微分和积分的“差”与“和”的实质。这些都表明Leibniz非常重视微积分的形式符号和系统运算。与此相反，Newton尽管也发现和运用了正反流数术（微积分）的方法，却没有专门研究它的一般概念、符号和一般公式，他最多的兴趣还是利用微积分的方法解决问题。

对于Newton和Leibniz的符号，历史上有过一番争执。在这场争执中，Leibniz的微积分符号显示出巨大的优越性。Leibniz的微积分符号更能表达微积分的本质，对后来的分析学发展产生了极大的影响。而保守、顽固的英国人拒绝使用更科学的Leibniz微积分符号，导致英国数学在逐步远离分析的主流。分析的进步在18世纪主要是由欧陆国家的数学家在发展Leibniz积分方法的基础上而获得的。可见，微积分符号的采用充分体现了：一种合适的符号能促进数学的发展，反之就会阻碍数学的进步。

微积分在18世纪的多方面应用及与其他学科紧密结合，导致了许多数学新分支的产生，这个世纪可以说是分析的时代，也是向现代数学过渡的重要时期。其中微积分最重大的进步是由Leonard Euler作出的。Euler的三部著作《微分学》《无限小分析引论》和《积分学》是微积分历史上里程碑式的著作。在这些著作中，一批标准的符号如、i和e分别用来表示函数符号、求和符号、虚数单位和自然对数底。这一时期微积分深入发展还体现在积分技术的推进、微积分向多元函数的推广、无穷级数理论、函数概念深化和微积分严格化。同时微积分的应用带来了常微分方程、偏微分方程和变分法等分支的产生。伴随着这些发展也带来了一系列分析新概念和符号，如f（x，y）＝0的偏导数的偏微分（zxx、zyy、zxy）。

分析的光辉使18世纪的几何的发展相对暗淡，但几何也出现了一些革命性的发展，这主要有利用分析方法研究空间曲线和曲面的微分几何的形成。Euler是微分几何的重要奠基人，他给出了空间曲线在任一点的曲率定义和符号，并求出了曲率半径公式。

四、由数理逻辑发展带来的数学符号形式化及现代数学发展阶段（19世纪至今）[8，9]

符号代数的建立、微积分的严格化及后续发展都要求数学符号更规范和统一，即数学符号形式化。数学符号形式化即是用符号、符号的方法或技术来表述数学对象的规律和结构，进而以符号对象的抽象研究替代数学具体对象的研究[10]。

在F.Vieta之后，符号以及用符号推演被数学家普遍重视。用数学方法研究逻辑或形式逻辑的学科数理逻辑（或称符号逻辑）的诞生与发展正是数学符号演绎的体现，现代数学的高速发展正是由符号演绎推理的思想方法推动的。

“数理逻辑”的名称由意大利数学家Giuseppe Peano首先给出，他也称其为符号逻辑。作为数学的一个分支，数理逻辑的主要分支包括：模型论、证明论、递归论和公理化集合论。Leibniz在17世纪时就首先提出了数理逻辑的思想方法。Leibniz指出，演算可用符号作运算进行，其中的符号既不是数，也不是量，而是代表其他一些元素，如点、性质、关系等。所有推理的正误将取决于计算的正误，演算规则成为推理规则。19世纪中叶，英国数学家George Boole提出数学运算类似于逻辑关系，如将代数系统的各种解释平移到逻辑则形成一种思维演绎。Boole的代数首先是作为一种类演算建立起来的。类就是我们所说的集合，用x、y、z等表示，符号X，Y，Z等则代表个体元素。1表示全类或称论域，0代表空类。两个类x和y相加用x+y表示，两个类x和y相乘用xy表示。1-x代表那些所有不在x中的个体元素组成的类。更一般地，Boole还考虑了两个类相减x-y，而x包含y则可写成y＝xy。我们可以将Boole代数看作是符号代数在逻辑上的应用，Boole代数的创立被认为是数理逻辑的诞生。

这一时期的英国数学家Augustus de Morgan还提出了关系逻辑概念。到了19世纪70年代，英国数学家C.S.Peirce进一步推广Morgan的思想，首次系统建立了关系逻辑。他提出了命题函数，特别地引入了全称量词“”即“对所有的 x，有 F（x）成立”，及特称量词“”即“至少存在一个 x，使 F（x）成立”。德国人Friedrich Ludwig Gottlob Frege是第一个全面系统地建立量词理论的人。他认为严格的形式语言应该体现在逻辑演算中，从而构建起一套完整的演算体系。这是标志数理逻辑奠基的一个起点。然而当时人们并没有太留意Frege的理论，主要原因之一是由于Frege用的符号不太简洁。Giuseppe Peano则改进了符号的使用，提出了一些如“或、且、非”的关系连结词，并创造了一类表意符号，如用分别表示属于、任意、推出、合取和析取等。现代分析中很多命题仍在使用这些符号。

数理逻辑史上一项伟大的成就就是集合论的创立。这是一个奠定现代数学初步基础的新领域。集合论带来了符号的革命。当今有大量的数学分支理论方法都是建立在集合论符号系统之上的。

通过符号的形式化方法构筑出新概念，已成为数学发现的利器，这极大地拓展了数学研究的范围。各种数学理论的逻辑结构被清晰地揭示，这为进一步探讨各种数学分支的相互关联奠定了理论基础。另外，公理化方法使数学家的思想完全自由，从而有机会获得更全面的成果。

19世纪末的德国数学家DavidHilbert将数学符号形式化发展推向了系统化阶段，他运用形式化的公理化思想方法给出了几何学的公理基础，从而给出了非欧几何与欧式几何的公理化统一方法。Hilbert所发展的这种公理化方法在20世纪已远远超出了几何学的范围而成为现代数学甚至物理学领域中普遍应用的科学方法。

在19世纪变革与积累的基础上，20世纪以来数学呈现出指数式的高速发展。现代数学已成为分支众多、庞大的知识体系，并且仍在继续急剧地变化发展中。大体上，纯粹数学的扩张、数学空前广泛的应用以及计算机与数学的互相影响，形成了现代数学活动的三大方面。其主要特征和趋势是：更高的抽象性、更强的统一性、更深入的基础探讨和更广泛的应用性。与此相伴，现代数学的新符号和新思想方法也层出不穷，当今世界已难有人能够通晓所有数学符号。然而，一旦有新元素或新概念创立，对应的新的数学符号立即被数学家创造出来，并且在演绎中持续改良符号，因为他们深信，一个适当的符号，简洁而不简单，能极大地加速和简化思维的推导过程。凭借符号，数学家能抽象和复杂地思考。可以说，没有抽象、精确、规范和富有启发性的数学符号，就不可能有丰富多彩的当代数学[11]。