数学概念教学“四部曲”

刘慧敏

(1.聊城大学数学科学学院,山东聊城 252059;2.山东省临朐实验中学,山东临朐 262600)

数学概念教学“四部曲”

刘慧敏1,2

(1.聊城大学数学科学学院,山东聊城 252059;2.山东省临朐实验中学,山东临朐 262600)

概念是数学的基本,加强概念学习是学好数学的关键,学好概念、掌握概念、理解概念才能切实地掌握知识,灵活地应用知识,才能抓住根本、深入理解,从而在解题时能将条件进行多方位的转化,寻找出合适的解题途径。因此需要加强概念教学,提高学生的基础知识掌握。

概念教学;概念学习;数学概念

“概念教学”并不是一个新生事物,而是一个始终伴随教育成长的老面孔。但是它成为系统理论并受到重视却是最近几年的事情。一个很重要的原因是：随着素质教育的深化,学生学习时间的缩短,以往“以方法代概念”,“以做题补概念”的机械式重复不能适应新的教育形势了。作为“双基”的一个重要组成部分,“概念教学“的重视和应用对激发学生兴趣,提高课堂效率,培养学生探索创新的能力都有着不容低估的意义,是素质教育背景下有益的探索和创新。

在实际的数学学习中,笔者发现有不少学生不重视概念的学习。他们认为,学数学只要会解题就行了,这些错误的认识导致他们的数学学习成绩总是难以提高,很多“半桶水”学生的问题主要就在于此。对于不少同学而言,概念学习方法不对,导致学习效率低下,影响了进一步学习的兴趣及信心,主要表现在：

首先,死记硬背。由于概念本身的抽象性,给学习增加了难度,进而不少同学干脆采取“死记硬背”方式。这种方式确实简单、省事,可以节约大量学习时间。然而,这种方式带来的负面影响也很严重：最直接的消极影响体现在解题方面,由于对概念没有理解,导致解题时“束手无策或困难重重”;由于没有经历概念形成过程,抽象、概括及归纳思维及相应的能力也无法得到发展及提高。

其次,孤立地学习概念。不少同学学习概念时,总是习惯于一个概念一个概念的去学习,孤立地看待概念,无法将不同概念形成体系,不能系统地学习概念。如此,对概念的理解流于形式及肤浅,学习效果自然大打折扣。

最后,概念与其应用脱节。在概念学习中有两种错误倾向：一是,部分同学为概念学习而学习,缺少应用环节,很少做一些相关的练习。二是,部分同学恰恰相反,很喜欢解题,只为解题而解题,在解题过程中对习题涉及的概念很少关注,更无从去复习、巩固相应概念。其实,这两种错误的本质是一样的,就是漠视了概念的应用环节,想当然地认为概念与应用是两个不同层面的内容,它们之间有着不可逾越的鸿沟。

那么,我们究竟应该怎样进行数学概念教学呢?

一、重视数学概念引入的方法

新课标指出：概念教学中要引导学生经历从具体的实例抽象出数学概念的过程。因此引入数学概念就要以具体的典型材料和实例为基础,揭示概念形成的实际背景,要创设好的问题情境,帮助学生完成由材料感知到理性认识的过渡,并引导学生把背景材料与原有认知结构建立实质性联系。充分了解概念的背景,包括生产生活及学科方面的背景,以丰富概念内涵,借助直观经验来促进对概念的理解,降低概念学习难度。以下是几种常用概念引入方法：

1.从实际生活中引入新概念。

新课标强调“数学教学要紧密联系学生的生活实际”。在数学概念的引入上,尽可能地选取学生日常生活中熟悉的事例,并且注意选取事例不在于数量的多少,关键是要贴近学生的认识经历,能够反映概念的本质特征。

譬如：函数概念是中学数学的重要概念之一,同时由于其本身的抽象,给很多学生学习带来了很大的困难。在教学中,我们可以利用函数概念丰富的实际背景：如匀速运动中位移与时间的关系,日常购物中的价格与数量的关系,上网的费用与时间的关系,“神州五号”载人航天飞船离开地面的距离与时间的变化关系,人口的增长与时间变化的关系,等等。透过这些背景资料,让学生对函数的内涵及特征拥有直观而丰富的认识及体验,为概念的进一步学习打下良好的认知基础。

再如数列极限的概念引入,数列极限的概念引入可以从学生熟悉的砍木棍引入：战国时代哲学家庄周著的《庄子·天下篇》中有这样一句话：一尺之棰,日取其半,万世不竭。意思是说：一根一尺长的木棍,每天砍去一半,这样可以无限制的进行下去。让学生将每天剩余的木棍长度和已砍去的木棍长度写成两个数列,并把它们的各项标在数轴上,引导学生归纳两个数列的共同点特征：(1)都是无穷数列;(2)随着项数的无限增大,数列的项无限趋近于一个常数,从而引出数列极限的定义。

2.创设问题情境,引入新概念。

教师要善于恰当地创设趣味性、探索性的问题情境,激发学生概念学习的兴趣,使学生能够从问题分析中,归纳和抽象出概念的本质特征,这样形成的概念才容易被学生理解和接受。例如在学习数学归纳法时就可以借助著名的多米奴骨牌试验,使学生对数学归纳法的两个条件有一个深刻的印象。

3.从最近概念引入新概念。

任何数学概念必定有与之相关的最近概念,因此教学中充分利用学生已掌握了的知识,从学生的最近概念出发,引导学生探求新旧概念之间的区别和联系。这样有助于学生形成相互联系的知识,提高学生对数学知识之间的整体认识。

比如,映射与函数的概念,函数作为一种特殊的映射：非空数集之间的映射,不仅具有映射的所有性质,而且具有其特有的性质。

二、注重引导学生自主探索,形成概念

波利亚指出“学习最好的途径是自己去发现”,因此在概念形成过程中,要引导学生通过对具体事物的感知,自主观察分析,抽象概括,自觉获取事物的本质属性和规律,从而形成新的概念。这样学生在获得概念的同时,还锻炼了抽象概括能力和创新精神,同时也使学生从被动的听发展成为主动的获取和体验数学概念,自主建构知识。

充分经历概念的形成过程,在“归纳、抽象及概括”中加深对概念内涵的理解,同时认识到数学概念的科学性、合理性及简洁性,是数学“简洁美”的展现。例如,对等差数列的概念的学习,可以练习以下题目：

(1)1,3,5,(),9

(2)15,12,(),6,3

(3)48,53,58,(),68

(4)8,(),8,8,8

观察、归纳、抽象、概括上述四个数列的共同特征,进而发现、归纳出等差数列的内涵,等差数列的定义产生也就“水到渠成”,此时对概念肯定已经有了一定的理解。

再如在曲线方程的概念形成上,通过连续设问,启发学生回忆直线方程的定义,自主地观察分析抛物线和正弦曲线,是否也象直线和方程一样满足两点,引导学生概括出曲线和方程的本质特征,将直线方程的定义迁移到曲线方程,从而形成曲线方程的概念。这样充分体现了学生为本,尊重学生主体地位的教学理念,同时也促进学生学习方式的转变和优化。

三、重视概念的内涵和外延

概念的定义,并不反映概念所包含的全部本质属性,尽可能地提示概念的内涵及外延,尝试用自己的语言阐释数学概念,结合文字、符号、图形或表格等多种语言来描述概念。既可从正面理解概念,也可通过反例来加深对概念的理解。另外,加强概念之间的纵横比较,在概念体系中学习概念,以优化知识结构。因此概念形成后,还必须让学生掌握概念的内涵和外延,帮助学生内化概念,建构新的知识体系。在概念教学中,教师既要让学生理清概念的结构特征,又要说明它与其它概念的联系和区别。因此教师要引导学生仔细阅读概念,对概念逐字逐句加以推敲、分析,同时教师要多角度、多层次地剖析概念,充分了解概念的背景,包括生产生活及学科方面的背景,以丰富概念内涵,借助直观经验来促进对概念的理解,降低概念学习难度。

譬如,偶函数概念的学习。对于概念的内涵,首先可以借助图像语言来理解,图像关于 y轴呈直线对称。然后,将图像语言转化成文字语言,对于定义域内的任意 x及 -x,它们对应的函数值符号相同,绝对值大小相等。最后,借助抽象的数学符号来表示,对于定义域内的任意 x,均有 f(-x)=f(x)。在充分掌握概念的内涵 (这是概念的根本)之后,再过渡到概念外延的认识,回顾以前学习的种种函数,哪些是偶函数,如特殊的二次函数等等。另外,可以寻找一些不是奇函数的反例,从反面加深对概念的理解。在此基础上,将偶函数概念与前面的奇函数概念进行比较,寻找它们之间的异同,甚至还可以将它们与函数的其它性质进行横向比较。最后,将函数分成如下四类：奇函数、偶函数、既奇又偶、非奇非偶函数,构建奇偶函数概念体系。

四、重视概念应用和巩固

心理学告诉我们,知识一旦获得,如不及时巩固,就会被遗忘。在概念教学过程中,经常会出现这样情况：学生课堂上听懂了,却不会应用概念去解决问题,而且对知识的遗忘程度比较高。因此概念的巩固尤其重要,教师要在学生形成概念的基础上,创造性地使用教材,对教材中干扰概念教学的例题要更换,对脱离学生实际的概念应用题要大胆删除,通过精心设计适量典型性的例题和习题,让学生尝试运用概念解决问题。设计题目时要根据概念的内涵和外延,可编写各种题型,也可有意设置错误解法和易错习题,学生通过阅读、辨析、讨论,找出错误并纠正。加强对概念的应用环节,在实际问题情境中丰富、拓展对概念的全面而深入的理解,真正将陈述性知识的概念转化成自己的智慧技能,由此实现概念与能力的有机结合,完成概念学习的目标及任务。值得注意的是,解题的目标是为了巩固、加深对概念的理解,切忌为解题而解题,解题后须认真反思这道习题所涉及了哪些概念,主要是运用了概念的哪些性质,对概念又有了哪些新的认识及体验。譬如：函数奇偶性概念的学习可采用下面的步步深入的方法：

题型1：判断函数的奇偶性

判断下列函数的奇偶性

(3)f(x)=x3+x2

题型2：考查奇偶函数图像特征

下面四个结论：①偶函数的图象一定与 y轴相交;②奇函数的图象一定通过原点;③偶函数的图像关于 y轴对称;④既是奇函数又是偶函数的函数一定是 f(x)=0(x∈R),其中正确命题的个数是( )。

A.1 B.2 C.3 D.4

题型 3：与单调性、解析式有关的综合题型

已知 y=f(x)是奇函数,它在(0,+∞)是增函数,且 f(x) =x(1+x)。试问：当 x＜0时,f(x)是增函数还是减函数,并求出 y=f(x)在定义域 R上的函数解析式。

题型4：其它更复杂的综合题型

(1)求函数 f(x)的表达式;

(2)如果 f(x)为偶函数,求 a的值;

(3)当 f(x)为偶函数时,根据单调性定义讨论 f(x)的单调性。

结语

上面系统地展现了概念教学的整个流程,并作了比较详尽地解释及展开。概念学习作为教学中的重要一环,我们在数学教学一定要给以足够的重视,尽管数学概念众多,有一定的难度,且容易混淆,但只要我们树立信心,怀着浓厚的学习兴趣,在上述方法的科学指导下,勤于实践,反复琢磨,坚持不懈,在不久的未来,“数学概念”将成为大家的“亲密伙伴”,数学学习也会变得更加轻松及高效。

[1]李明照.“问题探究式”教学在高中数学课堂的实践与思考[J].数学教学研究,2005,(8).

[2]袁竟成.一堂关于直线和圆的建构式习题课[J].数学教学,2004,(3).

(责任编辑：潘 敏)

2011-02-14

刘慧敏(1979-),女,山东临朐人,聊城大学数学科学学院2009级在读硕士研究生,山东省临朐实验中学二级教师。

O1-42 文献标志码：B 文章编号：1009-2080(2011)04-0084-02