轮子不是圆形的汽车也能平稳行驶

罗奇

（桂林师范高等专科学校数学与计算机技术系，广西 桂林 541001）

轮子不是圆形的汽车也能平稳行驶

罗奇

（桂林师范高等专科学校数学与计算机技术系，广西 桂林 541001）

通过对正三角形、正多边形以及椭圆的转动运行轨迹探究得出：只要设计出适当的路面和汽车前后车轮轴心的距离，轮子是三角形、凸多边形和椭圆形状的汽车可以平稳行驶，并且求出一般结论，光滑封闭曲线形状的车轮可以平稳行驶。关键词：车轮；正三角形；正多边形；椭圆；光滑封闭曲线

一、问题提出

汽车的轮子是圆形的，对此大家司空见惯，试想如果汽车轮子不是圆形的，那么这样的汽车能否平稳行驶？

其实，在高低不平的路面，圆形轮子的汽车是不能平稳行驶的，要使汽车在这样的路面平稳行驶，就需要设计各种形状的车轮。反之，如果车轮不是圆形的，就需要设计特殊的路面以使汽车平稳行驶.那么汽车平稳行驶的路面条件是什么呢？那当然应该使得车轴与地面的距离保持一个定值。怎样的路面轨迹才能达到这个要求呢？下面对各种轮子情况进行探究。

二、问题解决

为使问题简单，先从正三角形轮子考虑，如图1，取正△ABC的中心为车轴的位置，作出△ABC的外接圆O，取△ABC的顶点A为坐标原点，地面水平线l为x轴，AO方向为y轴，建立直角坐标系.当圆在直线l运动时，圆心O，即正△ABC的中心的轨迹始终在与直线平行的直线l上，假设圆O由A点运动到E点时，OE与AB的交点F即为正三角形轮子设计的路面轨迹动点，下面求出轨迹方程。

图1

汽车的轮子形状还可以推广到一般的三角形，这时三角形的每边在不同形状的轨迹上运动，即在最小正周期内，轨迹是个分3段的函数，并且轮子的轴心可以取通过该三角形一个顶点，并且覆盖三角形的一个圆的圆心（该圆心要求在三角形内部）。

一般地，对于正n边形的轮子，如图2，在△OAG中利用正弦定理也可以得出：

图2

对于x取任意实数的情况，同样可以得出：

图3

在几何画板中，分别画出R=1，n为3、4、5、6、10、20在一个周期内的轨迹（如图3），可以看到随n的值越来越大，轨迹变得越来越平，当n趋于∞时，轨迹就变成了直线。

更一般的情况：汽车的轮子是一般凸n边形，这时多边形的每边在不同形状的轨迹上运动，即在最小正周期内，轨迹是个分n段的函数。

下面进一步探讨椭圆形的车轮，假设椭圆轮子从如图4位置开始运动，取椭圆的中心O为车轴的位置，以椭圆的中心为圆心，椭圆的长半轴为半径作出椭圆外接圆，取椭圆的顶点A为坐标原点，地面水平线l为x轴，AO方向为y轴，当圆在直线l运动时，椭圆中心O的轨迹始终在与直线l平行的直线上，假设圆O由A点运动到E点时，OE与椭圆的交点F即为椭圆轮子设计的路面轨迹动点，下面求出轨迹方程。

图4

图5

如图5，在几何画板中，画出了b：a分别为0.1、0.3、0.5、0.7、0.9的轨迹，可以看到随比值的值越来越接近1，轨迹变得越来越平，当比值趋于1时，轨迹就变成了直线。

可以根据上面的轨迹利用几何画板设计出车轮是以上各种形状的汽车在这样的路面行驶的情形。

三、问题推广

更进一步，可以证明，只要车轮是光滑封闭曲线，都可以设计路面让这样的汽车平稳地行驶。

有兴趣的读者还可以进一步考虑相反的问题：如果地面是连续的周期函数曲线，又该如何设计车轮从而使汽车平稳地行驶？

Cars of Which Wheels Are Not Round Can Run Smoothly

Luo Qi

（Department of Mathematics&Computer Science，Guilin Normal College，Guilin，Guangxi 541002，China）

Through the studies of locus of moving wheels of equilateral triangle，regular polygon，and ellipse，it is declared：as long as the road and the distance of axis of front wheel and rear wheel of a car are proper，the cars with the wheels of triangular，convex polygon and elliptical shapes can run smoothly.And the general conclusion is obtained that the wheel with the shape of smooth closed curve can be smoothly running.

wheel；equilateral triangle；regular polygon；ellipse；smooth closed curve

O15

A

1001-7070（2016）05-0134－03

（责任编辑：杨建香）

2016-07-28

广西教育科学“十二五”规划2015年度广西教育教学法研究基地专项课题（项目编号：2015JD409）。

罗奇（1964-），男，广西桂林市人，桂林师范高等专科学校数学与计算机技术系教授，主要从事初等数学与数学教育研究。