含损伤黏弹性阻尼加筋层合板声功率和指向性变异∗

时间：2024-06-19

沈敏何为王真余联庆

(湖北省数字化纺织装备重点实验室武汉纺织大学机械工程与自动化学院武汉 430200)

0 引言

为提高板结构承载力和稳定性，加筋板结构在舰船、土木、车辆工程和航空航天等领域被广泛应用。在舰船动力机舱、水线下舷等重要舱段加筋板表面敷设阻尼材料，可将结构振动能量转化为热能耗散，达到减振和降低噪声辐射的目的［1−2]。加筋板结构形式复杂，并工作在重载环境下，在服役过程中加筋板容易出现疲劳损伤，影响舰船等结构的可靠性和安全性。

由试验观察可知，对于含损伤的加筋板，在动载荷作用下的损伤演化规律复杂，难以评估，当加筋板出现损伤后，不仅导致结构动力特性发生变化，并且其声学辐射特性也将发生变化［3]。因此，利用结构声学辐射特性的变化对典型加筋板结构的损伤加以识别和对受损结构的寿命进行评估，对于加筋板实际工程应用具有重要的意义。

国内外研究人员已对加筋板的动力学特性展开了大量的研究，在加筋板理论建模方面，主要集中在正交板模型、板架模型和板梁模型。Xu等［4]用改进的傅里叶级数给出了加筋板的位移函数，计算了不同边界条件加筋板的模态固有频率和振型。Cho等［5]用有限元及假定模态法研究了加筋板振动特性。黄海燕等［6]建立了板梁组合有限元模型，并考虑了板的剪切变形和板梁单元中性轴不重合的偏心作用，计算了四边固支单向加筋板的固有频率和振型。刘文光等［7]建立了铆接、点焊和滚焊连接方式加筋板的有限元模型，讨论了不同连接方式对单向和双向加筋板振动模态特性的影响。石楚千等［8]使用ABAQUS 建立了复合材料加筋板的有限元模型，研究了不同筋条刚度下的加筋板剪切稳定性。

高双等［9]将正交加筋板在特定边界条件的结构动力学问题转化为基于李兹法的能量泛函变分问题，推导了加筋板的振动方程，计算了典型加筋薄板的固有频率，并使用边界元方法计算了加筋板声辐射特性。张英蓉等［10]采用有限元方法研究了加筋板振动和声辐射特性，讨论了基板加筋和腹板加筋对板结构振动声辐射的影响。刘成武等［11]使用加筋板有限元模型计算振动响应，结合边界元方法计算了薄板的声辐射，讨论了沿长度方向“二字型”、“十字型”和“X 字型”不同加筋形式对加筋板结构声辐射功率和效率的影响。周海安等［12]也采用有限元和边界元结合的方法研究了双层周期加筋板在简谐力作用下的声辐射特性。Ma 等［13−14]使用解析公式计算了单向和双向加筋双层板结构的振动响应，使用Rayleigh积分计算了声辐射功率，并讨论了施加主动控制力对降低双层加筋板声辐射功率的作用。郭新毅等［15−16]研究了含损伤的加筋钢板振动模态和声辐射模态、声辐射功率的变异。然而，对于含损伤黏弹性阻尼加筋层合板动力学特性和声学变异研究成果还很缺乏。

本文旨在研究结构损伤程度和位置对自由阻尼加筋层合板振动和声辐射特性的影响。基于板梁组合有限元动力学模型，计算四边简支边界条件下自由阻尼加筋板模态固有频率和振型，将有限元模型计算结果与Ansys建立的阻尼加筋层合板有限元模型的结果对比，误差不超过3%，验证了有限元模型的正确性；继而采用Rayleigh 积分法计算了复合板结构声辐射功率和指向性，并与已有文献中的结果对比，验证了其正确性。最后，详细讨论了四边简支边界条件下，黏弹性阻尼加筋钢板结构损伤程度和位置对声辐射功率和指向性的影响。

1 黏弹性阻尼加筋层合板有限元动力学方程

本文研究对象为矩形黏弹性阻尼加筋层合板结构，如图1所示。钢板作为基板，在基板的上层铺设筋条，基板的下层敷设一层黏弹性材料作为阻尼层，当加强筋的宽度和高度远小于加强筋的长度时，可以将加强筋简化为梁。

图1 敷设自由阻尼加筋层合板结构Fig.1 Stiffened laminated panel with unconstrained damping materials

1.1 基板和黏弹性层Mindlin板单元有限元模型

基板和黏弹性阻尼层使用Mindlin 板单元，采用分项等参插值方法构造4 节点等参数单元，每个节点有6 个自由度，3 个线自由度u、v、w和2 个中面法线转角自由度θx、θy以及一个面内旋转自由度θz，节点自由度可用向量表示为

构建黏弹性复合板结构的能量泛函数，得到自由阻尼复合板结构单元质量矩阵和单元刚度矩阵：

1.2 加强筋Timoshenko梁单元有限元模型

Timoshenko 梁单元考虑剪切变形和面内旋转的影响，属于扰度w和截面转动θ各自独立插值的单元。Timoshenko 梁单元为2 节点梁单元，每个节点有6个自由度：节点线位移u、v、w和转角θxi、θyi、θzi，节点自由度可以用向量表示为

从而可以导出梁单元刚度矩阵为

其中，KeL和MeL分别为不考虑偏置梁单元的刚度矩阵和一致质量矩阵，NL为Timoshenko 梁单元形函数，DL为梁单元的弹性矩阵，BL为梁单元的应变矩阵，具体形式可参考文献[17]。

1.3 板梁组合结构有限元模型

在板梁组合结构中，由于板结构的中性面和梁中性轴之间有一定距离，板单元和梁单元节点不重合。因此，梁单元需要进行偏心转换：

式(8)中，A1和A2分别为板、梁横截面面积；e为梁的中性轴到板中面的距离；e∗为梁的中性轴到组合截面中性轴距离。

将公式(6)的刚度矩阵与公式(8)进行集成，可得到偏心梁单元的刚度矩阵为

最后对梁板组合结构的单元刚度矩阵进行组装，得到系统的总刚度矩阵，以复刚度法表达自由阻尼层的黏弹性材料特性，根据Hamilton 变分原理，可得复合材料加筋板在频域的有限元动力学方程为

其中，[M]为总质量矩阵，[K]为总刚度矩阵，[C]为总阻尼矩阵，结构无阻尼取零值，{x}和{F}分别为板结构节点的总位移向量和激励力向量。

当激振力为谐波激励Fejωt时，根据有限元法可以得到结构振动速度响应为

2 声辐射数值模型

2.1 声辐射功率

计算板的声辐射功率时，假设该板镶嵌在一块无穷大的障板上，如图2所示。在这块障板上，仅嵌入的板表面振动时向半空间辐射噪声。

图2 板振动辐射声压示意图Fig.2 Vibrated panel radiated sound pressure

其中，p(r)表示空间中一点r处的声压，|r −rs|表示振动的板上某一单元与点r处的距离，ρ0和c0表示周围空间的介质密度和声速，k表示声波波数，˙w(rs)表示板单元法向振速。

声功率可以用声强的表面法向分量对表面的积分表示：

使用数值方法计算Rayleigh 积分，将板沿x、y方向分别划分为Nx和Ny个均匀的矩形单元，面元的最大几何尺寸应远小于声波在介质中传播的波长，若每个振动面可看作独立声源，总的声功率可表示为

其中，wn(r)表示为每个面元法向复振速构成的向量，[R]表示N ×N阶声辐射阻抗矩阵。

声功率变化范围极大，采用声功率级来表示，即

其中，基准声功率W0=1×10−12W。

2.2 声辐射指向性

定义任意θ方向的声压幅值与θ=0°轴上的声压辐射之比为该声源的辐射指向特性：

3 结果与讨论

3.1 数值模型验证

为了验证数值模型的正确性，本节根据上面的理论基础，使用数值计算软件计算四边简支约束加筋钢板振动模态和声辐射特性，加强筋使用偏置的梁单元，基板使用Mindlin 板单元，加强筋、基板结构离散采用共节点叠加的有限元网格。计算过程中，空气密度ρ0= 1.12 kg/m3，声速c0= 343 m/s，其他具体参数如表1所示。根据本文建立的坐标原点在基板的左下角，激励力F1位置分作用在中心点(0,0,0)，F2作用在加强筋上一点(0.15,0.10,0.0)。此外与使用ANSYS 软件建立的加筋钢板有限元模型进行比较，板壳单元为shell 4 node 181 单元，是一种用于模拟复合材料层合板较好的单元，加强筋使用Beam 2 node 188 单元，板梁组合有限元模型采用共网格方式，使得阻尼层、基板和加强筋具有位移协调性。

表1 自由阻尼加筋层合板性能参数Table 1 Property parameters of the laminated plate with unconstrained damping

本文建立的有限元模型计算的单一材料加筋钢板的前4 阶固有频率如表2所示，与文献[18]给出的结果基本接近，相对误差在2%以内，与使用ANSYS 计算的结果对比，相对误差在3%以内，可以验证本文有限元模型的正确性，但是计算效率远超过ANSYS软件。

表2 健康单一材料加筋钢板前4 阶固有频率Table 2 The first four natural frequencies of healthy steel plate(单位:Hz)

为了进一步验证本文建立的声辐射数值模型精确度，通过计算加筋钢板结构的声辐射功率和声辐射指向性进行验证。在健康的加筋钢板中心(0,0,0)位置施加单位简谐力F1，计算板结构振动速度，继而使用Rayleigh 积分公式得到加筋钢板振动向外场辐射的声功率，如图3所示。从图3中可以看出，计算的声辐射功率和声辐射指向性与文献[18]的计算结果基本一致，验证了声辐射功率计算结果的正确性。图4 给出了在激励力频率F1为200 Hz，健康的加筋钢板在z= 0 的平面内，以坐标圆点为中心、半径为1 m的圆周上的声压分布，其中x轴沿θ= 0°，y轴沿方向θ= 90°。从图4 可以看出，本文计算的声辐射指向性与文献[18]的结果非常接近，验证了声辐射指向性计算结果正确性。

图3 健康加筋钢板的声辐射功率与文献[18]的对比Fig.3 Comparison of radiation power of healthy stiffened steel plate with Ref.[18]

图4 健康加筋钢板的声辐射指向性与文献[18]的对比Fig.4 Comparison of sound radiation directivity of healthy stiffened steel plate with Ref.[18]

运行数值分析软件有限元程序进行加筋板振动模态和谐响应分析，用“etime”指令调用windows 系统时钟读取程序运行时间，使用ANSYS 有限元程序进行加筋板模态特性和谐响应分析时，用APDL中的“get,cputime”指令读取程序运行时间。分别使用两种方法提取加筋钢板振动前10 阶固有频率以及振动速度所消耗的时间，如表3所示。从表3 中可见，加筋钢板振动模态分析时，ANSYS 软件运行时间约为数值分析软件编写的有限元动力学方程的3 倍。进行谐响应分析时，ANSYS 运行时间是数值分析软件编写的有限元程序的5 倍。由数值分析软件编写的加筋板振动有限元程序计算速度远超过ANSYS，在工程应用中，可以极大提高运算效率。

表3 数值分析软件和ANSYS 计算耗时对比Table 3 Comparison of calculation time between matrix laboratory and commercial finite element software

3.2 损伤对自由阻尼加筋层合板结构模态固有频率的影响

为了讨论不同损伤位置对声辐射特性的影响，本文设计了如图5所示的含损伤自由阻尼加筋板结构有限元模型。损伤区域分别有3 个位置满足a1≤x≤a2和b1≤y≤b2。对各向同性损伤情况，定义损伤程度k= 1−ES/E代表受损后钢板结构刚度的弱化程度，k取值是任意给定的，方便进行有限元的计算。

图5 含损伤自由阻尼加筋层合板结构有限元模型Fig.5 Finite element model of structural damaged stiffened laminated plate with unconstrained damping

计算过程中，钢材、黏弹性材料阻尼层的材料参数，层合板、加强筋的几何参数如表1所示。表4是自由阻尼加筋板在同样的损伤位置1，但是在不同损伤程度情况下对应的前6 阶固有频率，损伤程度k取值分别为0.3、0.7 和0.9，从表4 中可以看出，随损伤程度的增加，结构的固有频率有所降低，但是当损伤程度较小时，对结构的前两阶固有频率影响几乎可忽略，但是对高阶数的固有频率影响明显。

表4 自由阻尼加筋层合板不同损伤程度的前6阶固有频率Table 4 The first six natural frequencies of damped stiffened laminated plates at different damaged degree(单位:Hz)

表5 是自由阻尼加筋板在相同的损伤程度k= 0.9、在不同损伤位置时，根据前文有限元模型求解的前5阶固有频率。从表5可以看出，随着损伤位置的不同，自由阻尼加筋板的模态固有频率也会发生变异。

表5 自由阻尼加筋层合板不同损伤位置的前5阶固有频率Table 5 The first five natural frequencies of damped stiffened laminated plates at different damaged locations(单位:Hz)

3.3 损伤位置对自由阻尼加筋层合板结构模态振型的影响

使用数值分析软件计算自由阻尼加筋板健康结构的第5 阶模态振型，如图6(a)所示。图6(b)为使用ANSYS 建立阻尼加筋板结构有限元模型。从图6 可以看出计算的第5 阶模态振型与数值分析软件计算的振型是吻合的，健康的加筋板结构第5 阶振型关于板中心点呈现对称形态。

图6 健康自由阻尼加筋层合板第5 阶模态振型Fig.6 The fifth mode shape of healthy stiffened laminated plate with unconstrained damping

图7 为自由阻尼加筋板在位置1 出现损伤时的第5 阶模态振型。从图7可以看出，当自由阻尼加筋层合板在不同位置出现损伤后，模态振型发生明显改变，但是基本形态还是保持了与健康结构大致相同的振型，只是在局部位置发生了改变，表明出现局部损伤后，加筋层合板在损伤区域出现局部振动。

图7 损伤位置1 时自由阻尼加筋层合板第5 阶模态振型Fig.7 The fifth mode shape of stiffened laminated plate with unconstrained damping at damage Position 1

图8 为自由阻尼加筋层合板在位置3 出现损伤时的第5 阶模态振型。从图8 可以看出，当阻尼加筋板在位置3 出现损伤后，模态振型发生了较大的改变，不再呈现关于中心对称的形态。并且根据出现的损伤位置不同，加筋层合板的模态振型都有明显的变化，表明加筋层合板结构模态振型对于损伤位置敏感。

图8 损伤位置3 时自由阻尼加筋层合板第5 阶模态振型Fig.8 The fifth mode shape of stiffened laminated plate with unconstrained damping at damaged Position 3

3.4 损伤程度对自由阻尼加筋层合板声辐射功率和指向性的影响

图9 中比较了健康的自由阻尼加筋板、损伤程度k分别取值0.3、0.7 和0.9 时，在同一个损伤位置2 的声辐射功率与频率的曲线。从图9 中可以看出，随着损伤程度增加，加筋板声辐射功率峰值总体趋势向低频移动，这是由于加筋板结构出现损伤后，结构整体刚度弱化使得结构固有频率降低。在0～350 Hz低频范围内，声辐射功率变化不明显；在350～800 Hz频率范围内，随着损伤程度的增加，由于系统刚度弱化，在同一激励下结构振动幅度加大，导致加筋板向外场辐射的声功率幅值增大。

图9 不同损伤程度对自由阻尼加筋层合板声辐射功率的影响Fig.9 Influence of different damage degrees on acoustic radiation power of stiffened laminated plate with unconstrained damping

图10 表示自由阻尼加筋板的损伤程度分别为0.3、0.7 和0.9，激励频率分别为400 Hz 和500 Hz时的声辐射指向性。从图10(a)中可以看出频率为400 Hz 时，健康的加筋板声辐射指向性在90°和270°时出现极大值；当自由阻尼加筋板受损后，在120°和300°两个角度出现极大值。从图10(b)可以看出，激励频率为500 Hz时，健康加筋板在0°和180°出现极大值，阻尼加筋板出现不同程度损伤，均在60°、150°、240°和330°四个角度出现极大值，呈现更加明显的指向性。

图10 不同损伤程度对阻尼加筋层合板声辐射指向性的影响Fig.10 Influence of different damage degree on acoustic radiation directivity of stiffened laminated plate with unconstrained damping

3.5 损伤位置对自由阻尼加筋板声辐射功率和指向性的影响

图11 显示了自由阻尼加筋层合板在不同位置出现损伤时声辐射功率与频率的曲线。从图11 中可看出，自由阻尼加筋层合板损伤位置对声辐射功率的影响较大，由于加筋层合板发生损伤部位局部振动比较强烈，不同损伤位置时声功率幅值相差不大，由于不同位置出现损伤后，结构刚度弱化的局部位置不同，固有频率不同，所以声辐射功率曲线的峰值出现位置各不相同。由图11 中可见，损伤位置2 和损伤位置3 的声辐射功率曲线变化有相似的规律，这是由于损伤位置2 在自由阻尼加筋层合板的右上侧，损伤位置3 在自由阻尼加筋层合板的左下侧，损伤区域关于板中心点对称。

图11 损伤位置对自由阻尼加筋层合板声功率影响Fig.11 Influence of damage location on sound power of stiffened laminated panel with unconstrained damping

图12 显示了自由阻尼加筋层合板在3 个不同位置出现损伤，激励频率在400 Hz 和500 Hz 时的声辐射指向性曲线。从图12(a)中可看出，当频率为400 Hz 时，自由阻尼加筋层合板在第1 个位置出现损伤时，声辐射指向性在120°和300°出现最大值；若在第2个位置出现损伤，声辐射指向性在120°和300°出现最大值；而在第3 个位置出现损伤，声辐射指向性在90°和270°出现极大值。图12(b)为激励频率为500 Hz、自由阻尼加筋层合板在第3 个不同位置出现损伤时的声辐射指向性。从图12(b)中可见，自由阻尼加筋层合板在第1 个位置出现损伤，声辐射指向性在60°和240°出现最大值；若在第2 和第3 个位置出现损伤，声辐射指向性在60°、150°、240°、330°四个方向出现最大值。随着频率的增加，含损伤的自由阻尼加筋层合板在更多角度上出现了明显的指向性。由于损伤位置2 和损伤位置3 分别位于加筋板结构右上角和左下角，在400 Hz和500 Hz 时，自由阻尼加筋层合板声辐射指向性呈现出类似的特征。

图12 损伤位置对自由阻尼加筋层合板声辐射指向性的影响Fig.12 Influence of damage location on acoustic radiation directivity of stiffened laminated panel with unconstrained damping